統計解析 第5回
第4章 確率
今日学ぶこと
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経験的確率
理論的確率
加法定理
条件付き確率
経験的確率と理論的確率
• 経験的確率:経験(過去のデータ)からわかる
確率(理由はわからない)(例:ナンパ成功の
確率)
• 理論的確率:理由がわかっている確率(過去
のデータは調べない)(例:さいころ、ルーレッ
ト、宝くじ)
用語
• 標本空間:起こりえる結果の集合
– さいころの目ならば1~6
• 標本点:起こりえる結果
– さいころの目ならば1や2など
• 事象:起こりえる結果の部分集合
– さいころの目が偶数
• すべての結果が同じくらい起こりそうな場合、
事象の確率=事象の大きさ / 標本空間の大きさ
– さいころの目が偶数の確率= 3/6 = ½
• 事象Aの確率をP(A)と表す
– P(さいころの目が偶数) = 1/2
• 確率は0以上1以下
加法定理
さいころの目が偶数あるいは5以上である確率は?
事象A = さいころの目が偶数
事象B = さいころの目が5以上
偶数あるいは5以上の確率 = P(偶数) + P(5以上) – P(偶数かつ5以上)
= 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 = 2/3
ベン図
偶数
3
5以上
加法定理
2
4
6
5
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
1
さいころの目の標本空間
排反と余事象
ベン図で
重なりがない
排反: 同時に起こりえないこと
事象A = さいころの目が偶数
事象B = さいころの目が1
排反の加法定理
P(A∩B) = 0
このとき、
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B)
Aの余事象: Aが起こらないこと
Aの余事象をAで表す
P(A) = 1 – P(A)
P(目が1でない) = 1 – 1/6 = 5/6
P(AUB) = P(A) + P(B)
3
目が偶数
2
6
4
目が1
1
5
さいころの目の標本空間
ちょっと練習問題
学生が全部で37人いる。
サッカー部に属している学生は21人、
バスケットボール部に属している学生は23人いる。
サッカー部とバスケットボール部の両方に属している学生は13人いる。
ランダムに選んだ1人が
サッカー部あるいはバスケットボール部に属している確率は?
ランダムに選んだ1人が
サッカー部にもバスケットボール部にも属していない確率は?
P(バスケUサッカー)
= P(バスケ)+ P(サッカー)-P(バスケ∩サッカー)
= 23/37 + 21/37 – 13/37 = 31/37
バスケ
10
P(サッカーでもバスケでもない)
=1 – P(バスケUサッカー)
= 1 – 31/37 = 6/37
6
サッカー
13
8
条件付き確率
学生が30人いる。
15人の目は青い
5人は左利き
2人は目が青く、かつ、左利き
事象A = 左利き
事象B = 目が青い
学生の目が青いとわかったときに左利きである確率 = 2/15
事象Bが起こったときに事象Aが起きる確率: P(A|B)
左利き
目が青い
条件付き確率
3人
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
2人
12人
学生の標本空間
13人
乗法定理と独立事象
条件付き確率
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(B)P(A|B) = P(A∩B)
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P(A)P(B|A) = P(A∩B)
乗法定理
P(A∩B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A)
AとBは独立: Aが起こる確率とBが起こる確率は関係ない
独立の乗法定理
P(A∩B) = P(B) P(A|B) = P(B) P(A)
P(A|B) = P(A)
ちょっと練習問題
学生が全部で31人いる。
全員サッカー部かバスケットボール部に属している。
サッカー部に属している学生は21人、
バスケットボール部に属している学生は23人いる。
サッカー部に属している学生が
バスケットボール部に属している確率は?
バスケットボール部に属している学生が
サッカー部に属している確率は?
P(バスケ| サッカー) = P(バスケ∩サッカー) / P(サッカー)
= 13/21
P(サッカー| バスケ) = P(バスケ∩サッカー) / P(バスケ)
= 13/23
確率と直感の話
あなたはクイズ番組の優勝者
3つの扉のうち1つが当たり(2つはハズレ)
あなたが1つの扉を選ぶと、司会者が別の扉を
「ちなみにこれはハズレです。」
と言ってあける。そして
「もう一度選びなおしますか?」
と聞いてくる。
どうするか?
選択肢は3つ
•そのまま
•もう一つの扉を選ぶ
•どっちでもいい
おわり
• 今日説明しなかったこと
– ベイズの定理
– 非復元抽出(口頭で説明)
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