大阪電気通信大学 情報通信工学部 光システム工学科 2年次配当科目
コンピュータアルゴリズム
良いアルゴリズムとは
第2講: 平成21年10月9日 (金) 4限 E252教室
中村 嘉隆(なかむら よしたか)
奈良先端科学技術大学院大学 助教
[email protected]
http://narayama.naist.jp/~y-nakamr/
第 1 講の復習
アルゴリズムの定義
入力と出力
正当性,決定性,有限性,停止性
ユークリッドの互除法
フローチャートの描き方
擬似言語の書き方
2009/10/9
第 1 講の補足

フローチャート
start
m と n を入力
m←n
n←r
m ÷ n の余りを r とする
No
r=0?
Yes
n を出力
end
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と
擬似言語
int gcd(int m, int n)
{
do{
r ← m ÷ n の余り;
m ← n;
n ← r;
}while(r <> 0);
return m;
}
擬似言語とは
この部分のこと
今日の講義の内容
良いアルゴリズムの評価基準
時間計算量
領域計算量
多項式時間アルゴリズムと指数時間アルゴリ
ズム
オーダ記法
再帰アルゴリズム
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計算量
 アルゴリズムの計算量
アルゴリズムを実行するのに必要となる計算の量
 時間計算量
 アルゴリズム実行に必要な時間の尺度
 領域計算量
 アルゴリズム実行に必要な領域(メモリ)の尺度
計算量が小さい=アルゴリズムは効率的
 時間計算量と領域計算量はトレードオフの関係
 本講義では時間計算量で評価していく
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平均計算量と最大計算量
一般にアルゴリズムの計算量は入力に依存する
アルゴリズムごとに「得意な入力」と「苦手な入
力」がある
最大(時間,空間)計算量
最も不得意な入力が与えられたときの計算量
平均(時間,空間)計算量
全ての入力に対する計算量の平均
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時間計算量の評価例 1
#define
MAX
5
int
perm[MAX]={2, 5, 3, 4, 1};
search(key)/* 配列 perm の中から値 key の位置を探す */
int
key;
{
int
i = 0;
while (i < MAX) {
if (perm[i] == key) 配列:データを一列に並べたもの,
return(i);
先頭から番号を使って参照できる
i++;
例 perm[i]:
}
配列 perm の i 番目の要素
return(-1);
}
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key の値
ステップ数
1
15
2
3
3
9
4
12
5
6
時間計算量の評価例 2
最大ステップ数
15 = 3 × MAX
平均ステップ数
3
 MAX 
9    3i  / MAX  (MAX  1)
2
 i 1 
key の値
ステップ数
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1
15
2
3
3
9
4
12
5
6
計算量評価のコストパフォーマンス
プログラムのステップ数を厳密に評価すること
は,一般にはかなり手間がかかる
ステップ数を厳密に評価しても,現実世界の
時間単位への対応付けは難しい
もっと大雑把で良いから簡単に使える尺度が
欲しい! ⇒ アルゴリズムのオーダー
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アルゴリズムのオーダー
アルゴリズムの時間計算量が f(n) のオーダー
である: O(f(n)) である
入力データの大きさ n に対し,アルゴリズムの実
行時間が関数 f(n) に比例して増加する
さきほどの例の場合:
最大ステップ数
平均ステップ数
係数は考えない
15 = 3 × MAX
3
 MAX 
9    3i  / MAX  (MAX  1)
2
 i 1 
配列サイズ=入力データサイズと考えると...
最大時間計算量,平均時間計算量とも O(n) である
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オーダーの見積もり
 計算量のオーダー表現:
 きわめて大雑把な評価尺度
 大雑把な見積もりで導出することができる
1. アルゴリズムを小さな操作単位に分割
2. 各操作単位のオーダーを評価
3. 操作単位のオーダーを合成して,全体のオ
ーダーを得る
2009/10/9
アルゴリズムの分割
search(key) /* 配列 perm の中から値 key の位置を探す */
int
key;
{
int
i = 0;
while (i < MAX) {
if (perm[i] == key)
return(i);
i++;
}
return(-1);
}
実行時間が入力サイズに依存しないステップ
(基本ステップ)
ループ回数が入力サイズに依存するループ構造
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オーダーの評価 (1)
 ルール 1:基本ステップのオーダーは O(1)
 基本ステップ
 実行時間が入力サイズに依存しないステップ
 変数への代入
 数値の演算
 ポインタ操作 etc.
 一般に,以下は基本ステップでないことに注意
 (入力サイズに依存した)配列のコピー
 関数呼び出し
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オーダーの評価 (2)
ルール 2: O(f(n)) の操作と O(g(n)) の操作を
連続して行う場合,操作全体のオーダーは
O(max(f(n), g(n)))
O(f(n))
O(max(f(n), g(n)))
O(g(n))
ただし,関数の大小比較は増加率により行う
1 < log n < n < n log n < n2 < n3 < … 2n
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オーダーの評価 (3)
ルール 3: O(f(n)) 回だけまわるループの内
部で O(g(n)) の操作を実行する場合,全体の
オーダーは O(f(n) × g(n))
O(f(n)) 回ループ
O(g(n))
O(f(n) × g(n))
係数は無視してよい
最高次の項以外は無視してよい
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アルゴリズムの分割
search(key) /* 配列 perm の中から値 key の位置を探す */
int
key;
{
int
i = 0;
O(1)
while (i < MAX) {
if (perm[i] == key)
return(i);
i++;
}
return(-1);
}
O(n)
O(1)
O(1)
O(1)
O(1)
O(n)
O(1)
ループの回数: 平均時,最悪時とも O(n)
⇒ 平均時間計算量,最大時間計算量とも O(n)
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O(n)
練習問題 1
以下の手続きのオーダーを求めよ
void maxmin(int a[], int n)
{
int i, max, min;
max = min =
for (i = 1;
if (max <
if (min >
}
printf(“%d,
}
a[0];
O(1)
i < n - 1; i++) {
O(n)
a[i]) max = a[i]; O(1)
a[i]) min = a[i]; O(1)
%d\n”, max, min); O(1)
全体は O(1) + O(n) + O(1) = O(n)
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O(1)×O(n) = O(n)
練習問題 2
以下の手続きのオーダーを求めよ
void maxmin2(int a[], int n)
{
int i, max, min;
max = min =
for (i = 1;
if (max <
for (i = 1;
if (min >
printf(“%d,
}
a[0];
i < n - 1; i++)
a[i]) max = a[i];
i < n - 1; i++)
a[i]) min = a[i];
%d\n”, max, min);
O(1)
O(n)
O(1)
O(n)
O(1)
O(1)
全体は O(1) + O(n) + O(n) + O(1) = O(n)
2009/10/9
O(1)×O(n) = O(n)
O(1)×O(n) = O(n)
練習問題 3
以下の手続きのオーダーを求めよ
void bubble(int a[], int n)
{
int i, j, t;
O(n)×O(n) = O(n2)
O(n)
O(1)×O(n) = O(n)
for (i = 0; i < n - 1; i++)
for (j = n - 1; j > i; j--)
O(n)
if (a[j – 1] > a[j]) {
t = a[j]; a[j] = a[j – 1]; a[j – 1] = t; O(1)
}
}
全体は O(n2)
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オーダー評価:特殊ケース 1
条件分岐部の評価には要注意
if (x % 2 == 0)
O(f(n)) の処理
else
O(g(n)) の処理
計算量は
O(max(f(n), g(n)))
if (x % 2 == 3)
O(f(n)) の処理
else
O(g(n)) の処理
計算量は
O(g(n))
表現上の構造にとらわれず,実質的な振舞いの把握が必要
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オーダー記法に用いる関数
 n,nlogn,n2,n3
: n の多項式
多項式時間アルゴリズム
Polynomial Time Algorithm
現実的
 2n,n!,nn
: n の指数関数
指数時間アルゴリズム
Exponential Time Algorithm
非現実的
2009/10/9
多項式オーダーと指数オーダー
計算速度向上の効果
2009/10/9
再帰アルゴリズム
 処理手順が自身を用いて定義されているもの
recursive (n) {
if (自明なケース) {
自明なケースの処理 ; /* 終了条件 */
} else {
recursive (m) ; /* m < n */
(処理) ;
}
}
自身の引数より小さな引数で自身を呼び出す
自明なケースの処理が存在
表面的にループが出現しない
2009/10/9
再帰プログラムの例: 階乗の計算
 階乗
 例: 6! = 5×4×3×2×1
 ヒント
 6! = 6×5!,5! = 5×4!,・・・,2! = 2×1!,1! = 1
 プログラム
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int fact (int n)
{
int m;
if(n = 1)
return(1);
else{
m = fact(n-1);
return(n × m);
}
}
ちょっとフローチャー
トでは書けない
再帰プログラムの概念
ちょっと分かりにくいので以下の図のように考
えるとよい
int fact (4)
{ 6
m = fact(3);
return(4 × m);
} return(4×6);
int fact (3)
{
2
m = fact(2);
return(3 × m);
}
return(3×2);
fact(4)
int fact (1)
{
return(1);
= 4×3×2×1
}
= 24
2009/10/9
int fact (2)
{
1
m = fact(1);
return(2 × m);
}
return(2×1);
ユークリッドの互除法を再帰で書く
ヒント
r = 0 でないなら,m,n の最大公約数の代わり
に n,r の最大公約数を求める
int gcd (int m, int n)
{
int r;
r = m % n;
r=0 なら n が 最大公約数
if(r = 0)
return(n);
r=0 でないなら n と r の 最
else
大公約数を求める
return( gcd(n,r) );
}
2009/10/9
オーダー評価:特殊ケース 2
再帰プログラムのオーダー評価は,少し面倒
int recursive(int n)
{
if (n <= 1)
return(1);
else
return(recursive(n – 1) + recursive(n – 1));
}
入力が n のときの,この再帰プログラム
の計算量を Tn とする
この場合のステップ数は,漸化式 Tn = 2Tn-1 で与えられる
⇒ 計算量は O(2n)
(互除法は Tn = Tn-1 なので O(n))
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第 2 講のまとめ
アルゴリズムの評価は時間計算量で行う
領域計算量もある
計算量の評価にはオーダー記法を使う
並んでいる計算量は足し算
繰り返しに含まれる計算量は掛け算
係数は省略する
多項式オーダーと指数オーダー
指数オーダーのアルゴリズムは使い物にならない
再帰プログラム
2009/10/9
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