The Bas-Relief Ambiguity
P. Belhumeur, D. Kriegman, A. Yuille
Int. Journal of Computer Vision, 1999
宮崎大輔
概要
• bas-relief
– bas-relief (1)
– GBR変換 (2)
– bas-relief ambiguityの例 (1)
• 陰影におけるbas-relief ambiguity (3)
• motionとbas-relief ambiguity (1)
• photometric stereoとbas-relief ambiguity
– 古典的photometric stereo (1)
– 積分可能性制約とGBR変換 (2)
– GBR曖昧性の除去 (1)
Bas-relief (浅浮き彫り)
GBR変換
• 点(x, y)の高さをz=f(x, y)、fのxとyの偏微分
をfx, fyとすると法線は
 f x 
n ( x, y )    f y 
 1 
• GBR(generalized bas-relief)変換は
f ( x, y)  f ( x, y)  x y
GBR変換
1 0 0
G   0 1 0 
    
 
1
1
G   0

 
0


0
0
1 
• 上のGを使ってGBR変換を表す
• 点 p  ( x, y, f ( x, y)) と
GBR変換後の点 p  ( x, y, f ( x, y)) は
p  Gp の関係がある
T
n

G
n の関係がある
• 表面法線は
• sは光源方向ベクトルであるとする
影
• 表面fが光源s下で、影
↓
fをGBR変換Gで変化させた表面fが光源s=Gs下で、
影
陰
• 影なし、Lambertian表面を仮定
• 表面fのアルベドがaの時画像の輝度Iは
I f ,a,s ( x, y)  b( x, y) s
T
• bはアルベドaと単位法線nをかけたもの
• fがfに変換された時、アルベドは 1
2
2
2


(

f


)

(

f


)

1
a x
y

a

 
f x2  f y2  1

陰
• アルベドa、Lambertian表面fの画像
||
アルベドa、Lambertian表面fの画像
(ただし、fは任意のGBR変換を施したもので
あり、aは前のスライドにある式から求める)
浅浮き彫り曖昧性:モーション
•
•
•
•
画像は画像平面に対して正射影を仮定
微小移動を行い、motion fieldを取得
motion field: 各点の速度の集合
表面fのmotion field
||
表面 f ( x, y)  f ( x, y) のmotion field
• 微小移動では浅浮き彫り曖昧性が残る
古典的photometric stereo
• 影なし、Lambertian表面を仮定
• 表面fのアルベドがaの時画像の輝度Iは
I f ,a,s ( x, y)  b( x, y) s
T
• bはアルベドaと単位法線nをかけたもの
• 異なる光源下で複数の画像を取得
• 光源の位置と強さが既知(i.e. sが既知)
→bを求める事ができる
• 以下、光源が未知の場合を考える
積分可能性制約
• Integrability constraint (積分可能性制約)
とは
f xy  f yx
すなわち、  b
 1
 b3
  b2 
   
 y  b3  x
T
なお、 b  (b1 , b2 , b3 ) であり、添え字xとyは
偏微分を表す
積分可能性制約=GBR変換
• b(x,y)が、アルベドがa(x,y)で表面がf(x,y)の
ものを表す時、b*(x,y)=Ab(x,y)が積分可能
性制約を満たすものは、A=G-Tである
• Lambertian表面fで、異なる光源下で3枚
以上の画像を取得し、積分可能性制約を
用いると、表面fをGBR変換まで制限できる
• アルベドや光源の情報を得ていた場合、こ
の曖昧性を少なくできる
GBR曖昧性の除去
• アルベドa(x,y)が定数(もしくは既知)である
か、光源si全てが同じ(もしくは既知)
↓
GBR曖昧性Gは以下のように制限される
λ=±1、μ=0、υ=0
(in-out ambiguity)
(c) Daisuke Miyazaki 2001
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