応用数学(I1 クラス)
・中間試験・解答
(担当)緒方秀教 (e-mail) [email protected]
2015 年 6 月 23 日(火)10:50∼11:50(60 分)
第1問
f (x) を次で定義する周期 2π の周期関数とする.
f (x) = x2
( −π 5 x < π )
1. f (x) の複素フーリエ級数を求めよ.
2. f (x) の実フーリエ級数を求めよ.
3.
∞
∑
1
の値を求めよ.
2
n
n=1
4. パーセバルの等式を用いて
∞
∑
1
の値を求めよ.
4
n
n=1
1. f (x) の複素フーリエ級数を f (x) =
∞
∑
cn einx とおく(f (x) は連続関数であるから等号が
n=−∞
成立する).
cn =
1
2π
∫
π
f (x)e−inx dx =
−π
1
2π
∫
π
x2 e−inx dx
−π
である.n 6= 0 の場合,部分積分により
∫ π
∫ π
1
1
x2 e−inx dx = −
x2 (e−inx )0 dx
cn =
2π −π
2nπi −π
{[
}
]π
∫ π
1
2 −inx
2 0 −inx
= −
−
x e
(x ) e
dx
2nπi
−π
−π
∫ π
∫ π
1
1
−inx
=
xe
dx = 2
x(e−inx )0 dx
nπi −π
n π −π
{[
}
]π
∫ π
1
−inx
0 −inx
= 2
xe
−
(x) e
dx
n π
−π
−π
∫ π
1
2(−1)n
2(−1)n
−inx
−
e
dx
=
,
=
n2
n2 π −π
n2
n = 0 の場合,
1
c0 =
2π
∴
∫
π
x2 dx =
−π
π2
.
3
∑ (−1)n
π2
f (x) =
+2
einx .
3
n2
n6=0
2. 前問の結果から,
f (x) =
∞
∞
∑
∑
π2
(−1)n inx
π2
(−1)n
−inx
+2
(e
+
e
)
=
+
4
cos nx.
2
3
n
3
n2
n=1
n=1
1
(1)
3. 前問の等式に x = π を代入して,
π2 =
4. パーセバルの等式
∞
∑
π2
1
+4
,
3
n2
n=1
∫
∫
∞
∑
π
−π
において,
∫ π
∞
∑
1
π2
.
=
2
n
6
n=1
∴
|f (x)|2 dx = 2π
|cn |2
n=−∞
π
2π 5
x4 dx =
,
5
−π
−π


(
)
∞
∞
( π 2 )2 ∑ 2(−1)n 2 
∑
∑
1
π4
2
2π
|cn | = 2π
+
,
n2  = 2π 9 + 8
 3
n4
n=−∞
n=1
|f (x)|2 dx =
n6=0
∞
∑
1
π4
.
=
n4
90
n=1
∴
第2問
f (x) を次で定義する周期 2π の周期関数とする.
( −π 5 x < π ).
f (x) = xeix
1. f (x) の複素フーリエ級数を求めよ.
2. x sin x, x cos x ( −π 5 x < π ) の実フーリエ級数を求めよ.
1. f (x) の複素フーリエ級数を f (x) ∼
∞
∑
cn einx とおく.
n=−∞
1
cn =
2π
∫
π
−inx
f (x)e
−π
1
dx =
2π
∫
π
xe−i(n−1)x dx
−π
である.n 6= 1 の場合,部分積分により,
cn = −
1
2(n − 1)πi
1
= −
2(n − 1)πi
∫
π
−π
x{e−i(n−1)x }0 dx
{[
xe
−i(n−1)x
]π
∫
−π
−
π
}
−i(n−1)x
e
−π
n = 1 の場合,
c1 =
∴
1
2π
f (x) ∼ i
∫
π
xdx = 0.
−π
∑ (−1)n−1
einx .
n−1
n6=1
2
dx
=
i(−1)n−1
.
n−1
2. 前問の結果より,
}
∞
∞
∑
(−1)n−1 inx ∑ (−1)n−1 −inx
f (x) ∼ i 1 +
e −
e
n−1
n+1
n=2
n=1
{
( inx
)}
∞
1 −ix ∑
e
e−inx
n−1
=i 1− e
+
−
(−1)
2
n−1 n+1
n=2
{
}
∞
∑
1
n−1 cos nx + in sin nx
= i 1 − (cos x − i sin x) + 2
(−1)
.
2
n2 − 1
n=2
{
両辺の虚部をとって,
x sin x ∼ 1 −
∞
∑
cos x
(−1)n−1
+2
cos nx
2
n2 − 1
n=2
( −π 5 x < π ),
実部をとって,
∞
∑
1
(−1)n n
x cos x ∼ − sin x + 2
sin nx ( −π 5 x < π ).
2
n2 − 1
n=2
3
ダウンロード

応用数学(I1クラス)・中間試験・解答