統計解析 第8回
第7章 2項分布
今日学ぶこと
•2項分布
•2項分布の平均
•2項分布の分散
硬貨を2回投げる場合
硬貨を投げるとき
1
表が出る確率 
2
1
裏が出る確率 
2
硬貨を2回投げるとき
1 1 1
表が 2回出る確率   
2 2 4
表
表
1 1 1
表が 0回出る確率   
2 2 4
裏 裏
1 1 1
表が1回出る確率  2     
2 2 2
表
裏
裏
表
硬貨を4回投げる場合
1
表が出る確率 
2
1
裏が出る確率 
2
硬貨を4回投げるとき
1 1 1 1
表が 2回出る確率  4 C2      
2 2 2 2
1 1 1 1
表が 0回出る確率  4 C0      
2 2 2 2
1 1 1 1
表が1回出る確率  4 C1      
2 2 2 2
1 1 1 1
表が3回出る確率  4 C3      
2 2 2 2
1 1 1 1
表が 4回出る確率  4 C4      
2 2 2 2
表 表 裏 裏
表 裏 表 裏
裏 表 表 裏
表 裏 裏 表
裏 表 裏 表
裏 裏 表 表
硬貨を2回投げる場合
硬貨を2回投げるとき
1 1 1
表が 0回出る確率  2 C0     
2 2 4
1 1 1
表が1回出る確率  2 C1     
2 2 2
1 1 1
表が 2回出る確率  2 C2     
2 2 4
1
表が出る確率 
2
1
裏が出る確率 
2
0.60
0.50
0.40
確
0.30
率
0.20
0.10
0.00
0
1
表が出る回数
2
硬貨を4回投げる場合
表が出る確率 
1
2
裏が出る確率 
表が 0回出る確率
1 1 1 1 1
 4 C0       
 2 2 2 2  16
1
2
表が1回出る確率
1 1 1 1 1
 4 C1       
2 2 2 2 4
表が 2回出る確率
0.40
1 1 1 1 3
 4 C2       
2 2 2 2 8
0.35
0.30
0.25
確
0.20
率
0.15
表が3回出る確率
1 1 1 1 1
 4 C3       
 2 2 2 2 4
0.10
0.05
0.00
0
1
2
表が出る回数
3
4
表が 4回出る確率
1 1 1 1 1
 4 C4       
 2 2 2 2  16
硬貨を4回投げる場合
硬貨を投げたとき、表が出る確率が1/3、裏が出る確率が2/3とする。
硬貨を4回投げるとき、
1 1 2 2
表が 2回出る確率  4 C2      
3 3 3 3
硬貨を投げるとき、
表が出る確率がp、
裏が出る確率が(1 - p)とする。
硬貨をn回投げたとき、
表がr回出る確率をP(r)とする
P(r) = nCr×pr×(1 – p)n-r
2項分布
表 表 裏 裏
表 裏 表 裏
裏 表 表 裏
表 裏 裏 表
裏 表 裏 表
裏 裏 表 表
硬貨を4回投げる場合
表が出る確率 
1
3
裏が出る確率 
2
3
硬貨を4回投げたとき、
0
4
 1   2  16
表が0回出る確率 4 C0       
 3   3  81
1
3
 1   2  32
表が1回出る確率 4 C1       
 3   3  81
表が 2回出る確率
2
2
24
1  2
4 C2       
81
3  3
表が 3回出る確率
3
1
8
1  2
 4 C3       
 3   3  81
表が 4回出る確率
4
0
1
1  2
4 C4       
 3   3  81
0.45
0.40
0.35
0.30
確 0.25
率 0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0
1
2
表が出る回数
3
4
ちょっと練習問題
表が出る確率 
1
2
裏が出る確率 
3
3
硬貨を2回投げたとき、
表が0回出る確率、表が1回出る確率、表が2回出る確率は?
表が出る回数
(変量)
0
1
2
確率
?
2 = 4/9
C
×(2/3)
2 0
1
1
2C1×(1/3) ×(2/3) = 4/9
2 = 1/9
C
×(1/3)
2 2
2項分布の期待値
表が出る回数
(変量)
0
確率
変量×確率
16/81
0×16/81 = 0
1
32/81
1×32/81 = 32/81
2
8/27
2×8/27 = 16/27
3
8/81
3×8/81 = 8/27
4
1/81
4×1/81 = 4/81
期待値 = 0 + 32/81 + 16/27 + 8/27 + 4/81 = 4/3
期待値 = n×p = 4×1/3 = 4/3
2項分布の分散
表が出る回 確率
数(変量)
0
16/81
(変量 – 期待値)2×確率
1
32/81
(1 – 4/3)2×32/81 = 32/729
2
8/27
(2 – 4/3)2×8/27 = 32/243
3
8/81
(3 – 4/3)2×8/81 = 200/729
4
1/81
(4 – 4/3)2×1/81 = 64/729
(0 – 4/3)2×16/81 = 256/729
期待値 = 4/3
分散 = 256/729 + 32/729 + 32/243 + 200/729 + 64/729 = 8/9
分散 = n×p×(1- p) = 8/9
ちょっと練習問題
1
2
表が出る確率  裏が出る確率 
3
3
硬貨を2回投げるとき、
表が出る回数の期待値、分散は?
変量 確率
0
1
2
4/9
4/9
1/9
変量×確率 (変量 – 期待値)2 ×確
率
0
(0-2/3)2×4/9 = 16/81
4/9
(1-2/3)2×4/9 = 4/81
2/9
(2-2/3)2×1/9 = 16/81
?
期待値 = 4/9 + 2/9 = 2/3
分散 = 16/81 + 4/81 + 16/81 = 4/9
ダウンロード

PPT