3 二次方程式
1章 二次方程式
§1 二次方程式とその解き方
(3時間)
§1 二次方程式とその解き方
《パンの半径を求める》
ここに、50.24cm3のパン生地(材料)がある。
このパン生地から厚さ1cmの丸いパンを作りたい。
パンの半径を何cmにすればいいだろうか。
ただし、円周率は3.14とする。
円柱の体積は、V=πr 2h の式で求められるので、
半径を x cmとすると、次の方程式が成り立つ。
50.24=3.14×x 2×1
3.14 x 2=50.24
x 2=16
x 2=16 にあてはまる x の値 4と-4である。
よって、パンの半径は4cmである。
は、
《ドーナッツ型パンの幅を求める1》
次は、同じ体積のパン生地から厚さ1cm、半径
5cmの丸いドーナッツ型パンを作りたい。ドーナッ
ツの矢印の生地の幅を何cmにすればいいだろうか。
ただし、円周率は3.14とする。
幅を x cmとすると、次の方程式が成り立つ。
(3.14×52×1)-{3.14×(5-x)2×1}=
2
78.5-(78.5-31.4
x+3.14
x
)=50.24
50.24
-3.14 x 2+31.4 x=50.24
x 2-10 x=-16
x 2-10 x+16=0
しかし、この形の方程式はまだ解けないの
《ドーナッツ型パンの幅を求める2》
中空部分の半径を x cmとすると、次の方程式が成
り立つ。
(3.14×52×1)-(3.14×x 2×1)=50.24
78.5-3.14 x 2=50.24
-3.14 x 2=-28.26
x 2=9
3と-3である。
x 2=9 にあてはまる x の値は、
よって、中空部分の半径は3cmなので、
ドーナッツの生地の幅は2cmである。
x 2-10 x+16=0 に x=2 を代入すると、
22-10×2+16= 0
《二次方程式》
3.14 x 2=50.24
x 2=16
x 2-10 x+16=0
3.14 x 2-50.24=0
x 2-16=0
ax 2+bx+c=0
移項して整理すると、x の二次式が 0 に等しいと
いう形になる方程式を、x についての二次方程式とい
う。
方程式の解
二次方程式にあてはまる文字の値
二次方程式を解く 解をすべて求めること
二次方程式 x 2-16=0 の解は、4と-4である。
これを、x=±4 と書いてもよい。
《P58 解答 ②》
x 2-5 x+6=0
《 x 2=k の解き方》
平方根の意味にもと
づいて解く。
x 2=k
x=± k
《例1》
2 x 2=50
1 x 2=25
x=± 25
x=±5
3 x 2=9
1 x 2=3
x=± 3
《 ax 2=b の解き方》
両辺を a でわり、x 2=
k の形に変形して解く。
b2
x =―
ax=± b
a
《P59 解答 ③》
(1 2 x 2=18
)
(2 5 x 2=35
)
《例2》
3 x 2-24=0
3 x 2=24
x 2=8
x=± 8
x=±2 2
4 x 2-3=0
4 x 2=3
3
x =―
4
2
3
x=±
4
3
x=± 2
《P60 解答 ④》
(1 2 x 2-36=0
)
(2 9 x 2-2=0
)
《 ( x+m) 2=n の解き方 》
x+m を1つのものとみて、これを X とおくと、
X 2=n となり、解くことができる。
《例3》
( x+1) 2=36
x+1=X とおくと、
X 2=36
これから、
X=±6
X をもとにもどして、 x+1=±6
x+1=6 から、
x=5
x+1=-6 から、
x=-7
よって、
x=5 , -
(7x=5 , x=
《P60 解答 ⑤》
(1 ( x-2) 2=9
)
(2 ( x+3) 2-25=0
)
《例4》
( x-3) 2=7
x-3=± 7
x=3± 7
《P60 解答 ⑥》
(1 ( x-1) 2=5
)
(2 ( x+5) 2=27
)
《 x 2+bx+c=0 の解き方》
(1 x 2+6 x-1=0
) -1 を移項して、
x 2+6 x=1
左辺を ( x+m) 2 の形にするために、
x
x
3
3
6
《 x 2+bx+c=0 の解き方》
(1 x 2+6 x-1=0
) -1 を移項して、
x 2+6 x=1
左辺を ( x+m) 2 の形にするために、
x の係数の半分の2乗を両辺に加える。
x 2+6 x+32=1+32
( x+3) 2=10
x+3=± 10
x=-3± 10
《P61 練習解答 ①》
(1 x 2=64
)
(2 2 t 2=14
)
(3 5 x 2-60=0
)
(4 4 x 2-11=0
)
《P61 練習解答 ②》
(1 ( x+1) 2=49
)
(2 ( x-5) 2-5=0
)
《P61 練習解答 ②》
(3 x 2-10 x+16=0
)
《 ax 2+bx+c=0 の解き方》
(2 ax 2+bx+c=0
) c を移項して、
ax 2+bx=-c
b
両辺を左辺を a でわる。 c 2
x +― x=-―
a
2
a
左辺を ( x+m) の形にするために、
x の係数の半分の2乗を両辺に加える。
b
b
c2
b
2
x +―
x+(
―
)
=-―+
2
(―)
a
2a
2a
a
b
b
c2
b
2
x +―
x+(
―
)
=-―+
2
(―)
a2
b 2a
c a
2a
b
2
( x+― ) =-―+
――
b
-4a
2
22a
4a
ac+b
( x+― )2=
―――――
2
2ab
-
4
a
c
+
b
2
4a x+― =
±
4 a2
2a
b
b2-4 ac
x+― =±
2a
2a
b b2-4 ac
x=-― ±
2a 2 a
-b b2-4 ac
x=
2a
END
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