6 月 11 日の補足説明
回転する 2 つの質点
m
2l
ω0
x
v0
rG
m
r1
r2
2 つの質点の位置ベクトル r 1 (t), r 2 (t) および速度ベクト
ル v 1 (t), v 2 (t) は
( )
( )
v0 t
v0
(1)
rG =
, vG =
0
0
(
)
cos ω0 t
r1 = rG + `
(2)
sin ω0 t
(
)
cos ω0 t
(3)
r2 = rG − `
sin ω0 t
( ) (
)
v1x
v0 − `ω0 sin ω0 t
v1 =
=
(4)
v1y
`ω0 cos ω0 t
( ) (
)
v2x
v0 + `ω0 sin ω0 t
(5)
v2 =
=
v2y
−`ω0 cos ω0 t
ですから,運動エネルギーの和は,
v12 = (v0 − `ω0 sin ω0 t)2 + (`ω0 cos ω0 t)2
= v02 + `2 ω02 − 2v0 `ω0 sin ωo t
(6)
v22 = (v0 + `ω0 sin ω0 t)2 + (`ω0 cos ω0 t)2
= v02 + `2 ω02 + 2v0 `ω0 sin ωo t
1
1
1
∴ K = mv12 + mv22 = m(v12 + v22 )
2
2
2
2
2 2
= mv0 + m` ω0
(7)
(8)
一方,質量中心の並進運動エネルギーと 2 つの質点の質量
中心まわりの回転運動エネルギーの和は,接線速度 v = `ω0
であることに注意して
1
1
(2m)v02 + 2 m(`ω0 )2 = mv02 + m`2 ω02
2
2
と,簡単に計算できます.
■ なるべくベクトルで計算
(9)
講義では,質点ごとの運動エ
ネルギーの和の計算を間違えてしまいました.その原因の
一端は,すぐに成分計算を始めてしまったことにあります.
なるべくベクトルを用いて計算するよう心掛けましょう.
r 12 = r 1 − r 2 ,
r1 = rG +
r 12
,
2
v 12
v 12
, v2 = vG −
(12)
2 (
2
(
v 12
v 12
v12 = v 1 · v 1 = v G +
) · vG +
)
2
2
v2
2
= vG
+ v G · v 12 + 12
(13)
4
v2
2
(14)
v22 = vG
− v G · v 12 + 12
4
したがって,質点ごとの運動エネルギーの和は,
(
)
2
1
1
m( 2
m
v12
2
2
2
2
mv + mv =
v + v2 ) =
2vG +
2 1 2 2
2 1
2
2
1
2
2
= mvG
+ mv12
(15)
4
ところで,vG = v0 .また,
(
)
r 12 = r 1 − r 2 = 2` cos θk + sin θj
)
(
= 2` cos(ω0 t)k + sin(ω0 t)j
(16)
)
(
v 12 = 2`ω0 − sin(ω0 t)k + cos(ω0 t)j
(17)
v1 = vG +
r1 + r2
2
r 12
r2 = rG −
2
rG =
(10)
(11)
2
∴ v12
= (2`ω0 ) = 4`2 ω02
(18)
ですから,式 (15) に代入して式 (8) と同じ結果を得ます.か
なり労力は減少しましたが,1 行で済む式 (9) にはかないま
せん.
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