東京大学 前期 入試問題 2015 年度理系
第 1 問 正の実数 a に対して,座標平面上で次の放物線を考える。
1 − 4a2
4a
a が正の実数全体を動くとき,C の通過する領域を図示せよ。
C : y = ax2 +
1
のさいころを 1 つ用意し,次のように左から順に文字を書く。
6
さいころを投げ,出た目が 1,2,3 のときは文字列 AA を書き,4 のときは B を,
第 2 問 どの目も出る確率が
5 のときは文字 C を,6 のときは文字 D を書く。さらに繰り返しさいころを投げ,
同じ規則に従って,AA,B,C,D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく。
たとえば,さいころを 5 回投げ,その出た目が順に 2,5,6,3,4 であったとする
と,得られる文字は,
AACDAAB
となる。このとき,左から 4 番目の文字は D,5 番目の文字は A である。
(1) n を正の整数とする。n 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から n
番目の文字が A となる確率を求めよ。
(2) n を 2 以上の整数とする。n 回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左
から n − 1 番目の文字が A で,かつ n 番目の文字が B となる確率を求めよ。
第 3 問 a を正の実数とし,p を正の有理数とする。
座標平面上の 2 つの曲線 y = axp (x > 0) と y = log x (x > 0) を考える。この 2 つ
の曲線の共有点が 1 点のみであるとし,その共有点を Q とする。
xp
以下の問いに答えよ。必要であれば, lim
= ∞ を証明なしに用いてよい。
x→∞ log x
(1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ。
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を,x 軸のまわりに 1 回転してできる立体
の体積を p を用いて表せ。
(3) (2) で得られる立体の体積が 2π になるときの p の値を求めよ。
第 4 問 数列 {pn } を次のように定める
p1 = 1,p2 = 2,pn+2 =
p2n+1 + 1
(n = 1, 2, 3, · · · )
pn
p2n+1 + p2n + 1
が n によらないことを示せ。
pn+1 pn
(2) すべての n = 2, 3, 4, · · · に対し,pn+1 + pn−1 を pn のみを使って表せ。
(1)
(3) 数列 {qn } を次のように定める。
q1 = 1,q2 = 1,qn+2 = qn+1 + qn (n = 1, 2, 3, · · · )
すべての n = 1, 2, 3, · · · に対し,pn = q2n−1 を示せ。
第 5 問 m を 2015 以下の正の整数とする。2015 Cm が偶数となる最小の m を求めよ。
第 6 問 n を正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数 g(x) を次のように定める。

 cos (πx) + 1
g(x) =
2
 0
(| x | ≦ 1 のとき)
(| x | > 1 のとき)
1
f (x) を連続な関数とし,p,q を実数とする。| x | ≦ をみたす x に対して
n
p ≦ f (x) ≦ q が成り立つとき,次の不等式を示せ。
Z 1
p≦n
g(nx)f (x)dx ≦ q
−1
(2) 関数 h(x) を次のように定める。
( π
− sin (πx)
2
h(x) =
0
このとき,次の極限を求めよ。
lim n
n→∞
Z
2
1
−1
(| x | ≦ 1 のとき)
(| x | > 1 のとき)
h(nx) log (1 + ex+1 )dx
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