ロジスティクス工学
第2章
経済発注量モデル
サプライ・チェインの設計と管理
pp. 49-52, 3.2.1節
経済的ロットサイズ・モデル
東京商船大学
久保 幹雄
経済発注量(Economic Ordering
Quantity :EOQ)モデル
• d (個/日): 1日あたりの品目の需要量
• Q (個): 発注量(変数)
[生産現場ではロットサイズ]
• K (円): 発注1回あたりの固定費用
[生産現場では段取り費用
• h ( 円/(日・個) ): 品目1個あたり・1日あたりの在庫保管
費用
目的:
無限期間における最適な(発注費用+在庫保管費用を
最小にする)発注方策(いつ,どれだけ発注するのか)を
決める.
条件:
品切れは許さない.
注文した品目はすぐに(リード時間0で)到着する. 初期在庫は 0
とする.
例:研究室のビール在庫
• K研究室ではビールを冷蔵庫で適切に管理する
ことが義務づけられている.ビールは新鮮さが第
一だの先生のモットーにより,1日あたりのビー
ルの劣化は,1本あたり 10円で,発注は近所の
コンビニに出前を頼むので1回あたり300円か
かる.また,研究室には大酒のみが多いため1
日に10本のペースで消費されるものとする.最
適な(研究室費を無駄にしない)発注方策を考え
よ.
在庫レベル
d:傾き=-需要のスピード
Q
h×面積
サイクル時間 (T 日) = [
]
T 日間の総費用 = 発注費用 +在庫保管費用
=
f(Q)= 1日あたりの費用 =
時間
EOQモデル
• 最小化 f(Q)
– ∂f(Q)/∂Q =
– ∂2f(Q)/∂Q2 =
– f(Q) は [ ] 関数.
• Q* =
• f(Q* )=
練習問題 2-1 (易)
• Find the optimal ordering quantities when
d =10 items/day
K =300 yen
h=10 yen/day・item.
• Check the dimension of the EOQ formula.
Q[個] 
 
  
 
 
 
 

練習問題 2-2 (中)
• Consider EOQ model in a factory. When the
inventory is zero, production of Q items
starts at a rate of p (items/day) (p ≧d).
The set-up cost is K (yen) and every time
production starts at a level p, we incur a
cost of α×p (α>0).
• What is the optimal production rate?
練習問題 2-3(難)
• Consider EOQ model at a warehouse. When
an order of size Q is placed, the items are
delivered by trucks of capacity q; thus the
number of trucks used to deliver Q
is Q / q . The set-up cost is a linear
function of the number of trucks used;
K0  Q / q  K (yen) .
• What is the optimal ordering quantities?
感度分析
(「サプライ・チェインの設計と解析」p.52 表3-1)
• 最適な発注量が整数でないかもしれない.
最適からずれたら,どれくらい費用が増え
るのだろう?->感度分析
• ビールの在庫の例
はずれ率
Q
T
発注費用
在庫保管費用
費用
費用の増加
0.5
0.8
0.9
12.25
19.6
22.05
1.225
1.96
2.205
244.898 153.0612 136.0544
61.25
98
110.25
306.148 251.0612 246.3044
1.249844 1.024953 1.005534
1
1.1
1.2
1.5
2
24.5
26.95
29.4
36.75
49
2.45
2.695
2.94
3.675
4.9
122.449 111.3173 102.0408 81.63265 61.22449
122.5
134.75
147
183.75
245
244.949 246.0673 249.0408 265.3827 306.2245
1 1.004565 1.016705 1.08342 1.250156
Table3-1.xls
感度分析の図
費用の増加
350
300
1.4
250
1.2
1
発注費用
在庫保管費用 0.8
費用
0.6
200
150
100
0.4
50
0.2
0
0
0
10
20
30
40
50
60
0
0.5
1
1.5
2
最適値の20%増しのの発注量でも,費用は(たった)1.6% しか増えない!
-> EOQモデルの解は頑強(robust)である!
2.5
2のべき乗方策(Power-of-two Policy)
• サイクル時間が1.732日や1.4142日は実用的
か?
• たとえば,タバコの配送では,配送周期を1週間,
2週間,1ヶ月(4週間)に一度に限定している.
2のべき乗方策
基準となる時間間隔 B (Basicの頭文字)を与え,
kを整数(・・・-2,-1,0,1,2,・・・)としたとき,サイクル
時間をB 2k に限定して発注を行う.
2のべき乗方策(定式化)
• 発注固定費用K,在庫保管費用h,需要量d
• g=h d/2 を導入(記号の簡略化のため)
• (発注量Qでなく)サイクル時間 Tを変数とする!
2のべき乗方策
最小化 f(T)= K/T + g T
条件
T = B 2k
kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・
T≧0
2のべき乗方策の最悪の場合の保証(悪くても6%以下)
(式変形については,「ロジスティクス工学」pp.34-35参照)
• 2のべき乗であることを外した(緩和した)問題の
最適サイクル時間と最適値;EOQ公式より
K
T 
f (T * )  2 Kg
g
• 2のべき乗に限定したときのサイクル時間
*
f ( B2k 1 )  f ( B2k )  f ( B2k 1 )
を満たす Tˆ  2 B k
• 式変形すると: f (Tˆ )
1 1
 (
 2 )  1.06
*
f (T ) 2 2
直列多段階( 2段階)モデル
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
1
小売店
h’1
第2段階(卸)
2
第1段階(小売店)
2
T=2
需要 d
ノコギリ型にならない!
T=1
エシェロン在庫
第2段階のエシェロン在庫
2
第2段階(エシェロン在庫)
1
h’2
需要 d
h’1
各在庫点からみて下流(需要側)
の在庫をすべて含めた在庫
第1段階
2
2
T=2
T=1
エシェロン在庫費用
3
メーカー
2
卸
h’3 =0
h’2
第2段階(卸)の
のエシェロン在庫費用
h2 = h’2-h’3 = h’2
1
小売店
需要 d
h’1
第1段階(小売店)
のエシェロン在庫費用
h1 = h’1-h’2
• 下流(需要側)に行くにしたがって在庫費用は増加
(品目に付加価値がつくから)
• 外部(メーカー)の在庫費用は0 とする.
• エシェロン在庫費用=
各在庫点とそこに供給する上流の在庫点との在庫費用の差
通常の在庫費用と
エシェロン在庫費用の関係
エシェロン在庫費用(4日分)
第2段階(卸)=2×4× h2
=[
]
第1段階(小売店)=4 h1
=[
通常の計算法(4日分)
第2段階(卸)=4 h’2
第1段階(小売店)=4 h’1
2
1
T=2
T=1
]
練習問題2-4
•
•
•
以下のサプライ・チェインに対して,通常の定義
による在庫費用がエシェロン在庫費用と一致す
ることを確認せよ.
3段階のサプライ・チェイン
3
2
1
メーカー
サイクル時間=4
卸
サイクル時間=2
小売店
サイクル時間=1
1倉庫・多小売店モデル
小売店1
サイクル時間=1,需要=1
倉庫
サイクル時間=4,需要=3
小売店2
サイクル時間=2,需要=2
入れ子方策(nested policy)
• 入れ子方策:ある在庫点が発注を行うなら,かな
らずその下流の在庫点も発注を行う.
• 直列多段階モデルにおいては,入れ子方策の中
に最適方策がある.
• 2のべき乗方策の下では,
上流のサイクル時間≧下流のサイクル時間
を満たせばよい.
入れ子方策でない方策
第2段階(卸)
エシェロン在庫
2段階(卸)が発注して
いないときに発注
第1段階(小売り)
2
2
0に近づけると在庫減少
2段階直列モデルの定式化
2のべき乗・入れ子方策
• 需要量d,第 i段階の在庫点の発注固定費用Ki,
エシェロン在庫保管費用hi,サイクル時間(変数)Ti
• gi=hi d/2 を導入(記号の簡略化のため)
2のべき乗・入れ子方策
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti
条件
Ti = B 2k kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・, i=1,2
Ti ≧ Ti-1
i=2
i=1,2
2のべき乗方策 Ti ≧ 0
入れ子方策
(2のべき乗方策の下)
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(1)
• 需要量 10
• 第 1段階の在庫点の発注固定費用K1=300
• エシェロン在庫保管費用h1=5=(10-5), g1=h1 d/2=25
• 第 2段階の在庫点の発注固定費用K2=100(他のビールと
一緒に注文するので安い)
• エシェロン在庫保管費用h2=5=(5-0), g2=h2 d/2=25
入れ子条件より0以下
• 2のべき乗・入れ子方策
0以上のLagrange乗数
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1)λ
Ti = B 2k kは・・・-2,-1,0,1,2,・・・, i=1,2
条件
Ti ≧ Ti-1
i=2
Ti ≧ 0
i=1,2
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(2)
• 2のべき乗・入れ子方策を緩和(外した)式
• 0以下の項を目的関数に加えて制約を外した
->下界(最適値以下の値)を算出する!
最小化 Σi Ki/Ti + gi Ti +(-Ti +Ti-1)λ
i=1,2
条件 Ti ≧ 0
->2つのEOQモデルに分解
第1段階:最小化 K1/T1 + (g1 +λ) T1
第2段階:最小化 K2/T2 + (g2 -λ) T2
T 1
K1
g1  
T 2
K1
g2  
2段階直列モデルの最適解
Lagrange緩和(3): Excelによるλの推定
B1
=SQRT(300/(50+B1))
λ(Lagrange乗数)
0
2
4
6
8
10
12
12.5
13
14
15
T1
3.464102 3.333333 3.216338 3.110855 3.015113
2.9277 2.847474 2.828427 2.809757 2.773501 2.738613
T2
2 2.085144 2.182179 2.294157 2.425356 2.581989 2.773501 2.828427 2.886751 3.015113 3.162278
=SQRT(500/(100-B1))
4
Section2-3.xls
3.5
3
2.5
T1
T2
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
1倉庫・多小売店モデル
入れ子方策が悪くなる例
小売店1 発注費用1
需要=2 エシェロン在庫費用=1
倉庫
発注費用 =1 需要=2+ε
小売店2 発注費用 K(大きな数)
需要=ε(小さな数) エシェロン在庫費用=1
エシェロン在庫費用=1
最適方策:小売店1,倉庫が毎日発注,小売店2は約
->1日あたり K に比例した費用
K /
日に1回発注
入れ子方策1:小売店2を約 K /  日に1回;入れ子方策より倉庫も約
K /  日に1回;小売店1むけの倉庫における在庫費用は, K /  に
比例
入れ子方策2:小売店2,倉庫が毎日発注;小売店2の在庫費用 は K に比例
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