第8回 関連多群の差の検定
教科書p172~191
問題例1
健常人3名につき、血中物質Xの濃度を季節ごとの調べた。
個体 春
夏
秋
冬
a
9
6
6
11
b
4
1
4
7
c
5
2
2
3
Xの濃度には個体差があるといえるか。
帰無仮説:Xの濃度に個体差、季節差を認めない
個体差によるバラツキも季節差によるバラツキも統計的である
対立仮説: Xの濃度に個体差、季節差を認める
個体差または季節差による要因で平均値に差がある
有意水準5%で検定
列間変動
二元配置分散分析法
行
間
変
動
B1
B2
・
Bc
平均値
分散
A1
x11
x12
・
x1c
m1・
s1・2
A2
x21
x22
・
x2c
m2・
s2・2
・
・
・
xij
・
・
・
Ar
xr1
xr2
・
Xrc
mr・
sr・2
平均値
m・1
m・2
・
m・c
分散
s・12
s・22
・
s・c2
水準A1
10
水準A2
5
水準A3
1
B1
B2
B3
B4
水準の平均値
水準Bj
B1
B2
・
Bc
平均値
分散
A1
x11
x12
・
x1c
m1・
s1・2
A2
x21
x22
・
x2c
m2・
s2・2
・
・
・
xij
・
・
・
Ar
xr1
xr2
・
Xrc
mr・
sr・2
平均値
m・1
m・2
・
m・c
分散
s・12
s・22
・
s・c2
m・j
x1j
xij
列間変動
誤差変動
xij-m
総変動
水準Ai
mi・
xi1
xij
行間変動
全体
sT
m
総変動:(xij-m)
行間変動: (mi・-m)
列間変動: (m・j-m)
誤差変動: (xij- mi・ -m・j+m)
列間変動
行
間
変
動
B1
B2
・
Bc
平均値
分散
A1
x11
x12
・
x1c
m1・
s1・2
A2
x21
x22
・
x2c
m2・
s2・2
・
・
・
xij
・
・
・
Ar
xr1
xr2
・
Xrc
mr・
sr・2
平均値
m・1
m・2
・
m・c
分散
s・12
s・22
・
s・c2
xij  m  mi  m  m j  m eij
eij  xij  mi  m j  m
総変動
(xij-m)
 x
r
c
i 1 j 1
行間変動
(mi・-m)
列間変動
(m・j-m)
誤差(残差)変動
(xij- mi・ -m・j+m)
ij  m   cmi  m    r m j  m    xij  mi  m j  m 
2
r
i 1
ST=SA+SB+SE
2
c
j 1
2
r
c
i 1 j 1
2
偏差平方和
ST   xij  m
r
総変動:
c
2
i 1 j 1
r
行間変動: S A   cmi  m
2
dfT=rc-1
dfA=r-1
i 1
2
列間変動: S B   r m j  m
c
j 1
dfB=c-1
2
誤差変動: S E   xij  mi  m j  m
r
c
dfE=(r-1)(c-1)
i 1 j 1
2
sA
u

分散比: A
2
sE
F分布:f(u:r-1,(r-1)(c-1))
2
分散比: u B 
sB
2
sE
F分布:f(u:c-1,(r-1)(c-1))
二元配置分散分析
要因
偏差平方和
行間変動
56
列間変動
30
誤差変動
12
総変動
98
自由度 分散
r-1=2
28
c-1=3 10
6
2
rc-1=11
2
分散比
u A
sA
28

 14.0
2
2
sE
2
s
10
uB B2 
 5.0
2
sE
F(2,6)α=5%=5.14
πF≧14.0<α
帰無仮説を棄却
Xの濃度に個体差が認められる
F(3,6)α=5%=4.76
πF≧5.0<α
帰無仮説を棄却
Xの濃度に季節差が認められる
問題例2
4人の糖尿病患者にある薬物Aを投与し、0,3,6,12時間後の血糖値
を測定した。A剤投与後、血糖値に有意な変化があるといえるか。
有意水準5%で検定しなさい。(正規分布ではない)
データ数
n=4
水準数:k=4
帰無仮説:A剤投与後の血糖値の変動はランダム
H0:時間ごとの順位の和は統計量χ2rに従う
対立仮説: A剤投与後の血糖値の変動は経時的に変動する
H1:時間ごとの順位の和は統計量χ2rに従わない
Friedman検定(ノンパラメトリック法)
B1
B2
・
Bc
A1 x11
x12
・
x1c
A2 x21
x22
・
x2c
・
・
・
xij
・
Ar
xr1
xr2
・
xrc
データは水準毎にどんな分布かは
問わないが水準間の変化を見たい
要因Bの検定
要因Aの検定
B1
B2
・
Bc
A1 準
x11
A2 x21
x12
準
x22
・
・
x1c
準
x2c
・
・
xij
・
Ar
・
xr1
xr2 ・
xrc
位
位
位
水準数:k=r、データ数n=c
合計
R1
R2
・
・
Rr
Friedman検定の統計量χ2r:
B1
B2
・
Bc
A1 準
x11
x12
・
位
x1c
A2 準
x21
x22
・
位
x2c
・
・
xij
・
xr2
・
xrc
位
・
Ar 準
xr1
合計 R1
R2 ・ ・
Rc
水準数:k=c、データ数n=r
 2r
k
12
2

R

i  3n(k  1)
nk (k  1) i 1
Friedman検定表:χ2rの有意点
k=3
n
3
4
5
6
7
8
9
∞
P<0.05
6.00
6.50
6.40
7.00
7.14
6.25
6.22
5.99
P<0.01
-------8.00
8.40
9.00
8.86
9.00
9.56
9.21
k≧5
自由度k-1のχ2分布
k=4
n
3
4
5
∞
P<0.05 P<0.01
7.40
9.00
7.80
9.60
7.80
9.96
7.81
11.34
自由度k-1のχ2分布

Friedman検定
2
r
k
12
2

R

i  3n(k  1)
nk (k  1) i 1
Friedman検定の統計量χ2r(k=4,n=4)α=5%=7.8
πχ2r≧8.1<α
帰無仮説を棄却
A剤投与後の血糖値に有意な変動があることが認められる
問題例3
5人の高血圧患者の尿水メタネフリン(MN)を2ヶ月毎に測定したところ
次の結果を得た。MNの排泄量には季節変動があるといえるか。
有意水準5%で検定しなさい。
患者
2月
4月
6月
8月
10月
12月
a
493
582
530
497
711
565
b
929
730
493
524
414
877
c
497
581
382
330
534
1134
d
432
615
451
392
1437
1442
e
729
818
463
440
437
550
平均
616
665
464
437
707
914
s
208
105
55
79
424
382
Bartlett検定
 
k
 
M  ( N  k ) log e sE   (ni  1) log e si
2
i 1
1  k 1
1 
 

C  1

3(k  1)  i 1 ni  1 N  k 
M=23.08、C=1.10、χ2=21.03
等分散ではない
2
k=6,n=5

2
r
k
12
2

R

i  3n(k  1)
nk (k  1) i 1
=10.9
χ2 (df=k-1=5)α=5%=11.07
πχ2≧10.1>α
帰無仮説を棄却できない
演習8.1
ある酵素-基質反応系で、pHを3段階、温度を4段階変化させて、その生成物の
量を調べた。調べた範囲のpH、温度で生成物の量に差があるといえるか。
有意水準5%で検定しなさい。
pH
温度
7.0
7.5
8.0
30℃
5
12
7
25℃
6
10
5
20℃
3
8
4
15℃
2
6
4
演習8.2
健常人6人に登山前後の血中GOTの動きを
経時的調べた。運動前後に血中GOTが優位
に変動してよいと考えてよいか。
有意水準5%で検定しなさい。
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