プログラミング論
バイナリーサーチ
http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ct13140/Prog/
J-1
概要
• アルゴリズム,計算量,オーダー
– 抽象的で,多少難しい.
• バイナリーサーチ
– 中程度.
J-2
アルゴリズム
• 問題を解決するための手法,手続き.処理を並
べた手順.
– 必ず有限時間,有限の計算量で解けなくてはならな
い.
– 各手続きの意味が明瞭で無くてはならない.
– 主に計算機科学の分野で用いる
J-3
アルゴリズム
• 例えば
「複数の数字を大きい順に並び変える」
という問題があり,
それを解決できる手法があったら,それがアルゴ
リズム.
J-4
アルゴリズの善し悪し
• アルゴリズの善し悪し
– 短時間,少ない処理数で問題を解決できるのが良い
アルゴリズム
– 少ないメモリ消費で問題を解決できるのが良いアルゴ
リズム.
– プログラミングが楽なアルゴリズムが優れたアルゴリ
ズム
J-5
計算量,計算時間
• 通常,問題の大きさが増すと,計算量や計算時
間も増える.
– 「n個の整数の合計を求める」問題を解くのにかかる
時間,計算量は「nに比例」.
• nが増えると,解くのにかかる時間も増える.
– 「1辺の長さがnの正方形型に列んだ整数の合計を求
める」問題を解くのにかかる時間,計算量は「n2に比
例」.
J-6
計算量のオーダー
• 計算量のオーダーは「おおよその計算量」
• 通常,一番支配的な(重要な)部分のみを語る.
– 計算量が(厳密には)「n2+2n+1」に比例するとき,
「n2に比例する」と言い,
O(n2)と表記し,「オーダーn2」と読む.
J-7
計算量のオーダー
• 基本的にnは巨大な数字を想定.
• 比例なので「3n2に比例」の様な考え方はない.
– そもそも計算量に単位はない.
– 計算量の単位が明確に分かり,例えば「比較回数が
n3と10n3」の2種類があっても,共にO(n3).
• 10倍の差は誤差として無視.
• 計算量が「1000n2」と「n3」では,前者がO(n2),
後者がO(n3)となり,前者の方が計算量が少な
いと考える.
– 1000倍は無視.nが巨大なら事実.nが小さいなら計
算量の考察は不要か,オーダーでは考えない.
J-8
アルゴリズムと計算量オーダー
• 同じ問題を解くアルゴリズムでも,計算量のオー
ダーが異なることがある.
– バケツソートはO(n),Quick Sortは通常
O(nlog(n)),バブルソートはO(n2).
– nが大きい場合は,アルゴリズムにより計算時間が
100倍や10000倍異なることは珍しくない.
J-9
バイナリーサーチ
二分探索
大きい順/小さい順に並んでいる
配列の中から,目的の値を探す.
J-10
ソートされたデータからの検索
• ソートされた配列から,目的の数値を探す問題を
考える.
– 例えば,int a[100]に,100個の整数が入ってお
り,それは昇順にソートされているとする.
何番目に,123が入ってるか(あるいは123はどこに
も無いか)知るには?
• 次スライド以降でアルゴリズムを2個紹介
J-11
単純な検索 0/3
• a[0]が123か調査.
– そうなら終了.そうで無ければ続ける.
• a[1]が123か調査.
• a[2]が123か調査.
(以下略)
J-12
単純な検索 1/3
for(i=0; i<100; i++){
if( a[i] == 123 ){
printf("a[%d]が123.\n",i);
break;
}
}
int a[100]の中から,
(つまりa[0]~a[99]の中から)
123を探す例.
J-13
単純な検索 2/3
• データがn個あった場合,
– 運が良ければ1回の調査で見つかる.
• 目的の数値が最初の1個だったとき.
運が悪ければ,n回の調査.
• 目的の数値が最後の1個だったとき.
– 平均すると,n/2回で見つかると期待される.
• よって,O(n).
• オーダーを語るときは,O(n/2)とは言わない.
J-14
バイナリサーチ
• データがソートされていることを利用し,探索範囲
を半減させていき,目的の値を発見するアルゴリ
ズム.
• 2分法に非常に近い.
J-15
バイナリサーチ
• 以下を繰り返し,探索範囲を高速に狭めていく.
• 検索対象値が,L番目とR番目の間にあるとき,
(L+R)/2番目の要素に注目し,
「(L+R)/2番目の要素」と「検索対象」を比較.
– (L+R)/2番目の要素<検索対象 なら,
検索対象は,(L+R)/2+1番目~R番目にある.
– 検索対象<(L+R)/2番目の要素 なら,
検索対象は,L番目~(L+R)/2-1番目にある.
– 検索対象=(L+R)/2番目の要素 なら発見,終了.
J-16
バイナリサーチの例
• a[10]の中から,55を検索.
– 以下の様になっており,a[6]が正解の例を考える.
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
10
21
31
32
46
48
55
67
69
77
J-17
バイナリサーチの例
調査前
L=0,R=9
• a[10]の中から,55を検索.
– 検索対象はa[0]~a[9]にある.
中間のa[4]を調査し,検索対象と大小比較をしてみる.
「a[4]<検索対象」なので,
検索対象は,a[4]よりも右にあることが分かる.
(0と9の中間は4.5だが,切り捨てする.切り上げでもよい)
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
?
調査後
L=5,R=9
?
?
?
46
?
?
?
?
検索対象は
この範囲にある
?
J-18
バイナリサーチの例
調査前
L=5,R=9
• a[10]の中から,55を検索.
– 検索対象はa[5]~a[9]にある.
中間のa[7]を調査し,検索対象と大小比較をしてみる.
「検索対象<a[7]」なので,
検索対象は,a[7]よりも左にあることが分かる.
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
?
調査後
L=5,R=6
?
?
?
46
?
?
67
検索対象は
この範囲にある
?
?
J-19
バイナリサーチの例
調査前
L=5,R=6
• a[10]の中から,55を検索.
– 検索対象はa[5]~a[6]にある.
中間のa[5]を調査し,検索対象と大小比較をしてみる.
(5と6の中間は5.5であり,切り捨てで5とした)
「a[5]<検索対象」なので,
検索対象は,a[5]よりも右にあることが分かる.
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
?
調査後
L=6,R=6
?
?
?
46
48
?
67
検索対象は
この範囲にある
?
?
J-20
バイナリサーチの例
調査前
L=6,R=6
• a[10]の中から,55を検索.
– 検索対象はa[6]~a[6]にある.
中間のa[6]を調査し,検索対象と大小比較をしてみる.
(6と6の中間は6としましょう...)
「a[6]=検索対象」なので,検索終了.
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
?
?
?
?
46
48
55
67
検索対象は
この範囲にある
?
?
J-21
バイナリサーチの例
調査前
L=6,R=6
• a[10]の中から,55を検索.
– 検索対象はa[6]~a[6]にある.
中間のa[5]を調査し,検索対象と大小比較をしてみる.
(6と6の中間は6としましょう...)
もし,「a[6]<検索対象」だったら,Lは7となる.
L>Rとなってしまったら,「存在しない」で終了.
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
?
調査後
L=7,R=6
?
?
?
46
48
54
67
検索対象は
この範囲にある
?
?
J-22
left = 0;
right = SIZE-1;
while( left <= right ){
mid = (left + right)/2;
if( data[mid] == target ){
target_index = mid;
break;
} else if( data[mid] < target ){
left = mid+1;
} else if( target < data[mid] ){
right = mid-1;
}
}
J-23
バイナリサーチ
• 検索時間はO(log(n)).
– 1回の調査で,データの検索範囲は半減する.
– 最悪でも,検索範囲のn個が,1になるまで繰り返せ
ばよい.(途中で偶然見つかることもある)
– nは,何回半減させると1(以下)になるか?
→ log2(n)回.
• 値の大小関係を利用しているので,ソートされて
いないデータには使用できない.
J-24
補足
• 通常のプログラミング言語では,ソートや検索の
ような基本的な機能は標準で提供されている.
• ソートの場合
– C言語では,qsort()関数がある.
– Java,Ruby,Perlなどにもある.RDBMSにソート機
能が用意されている.
• 検索では,
– Java,Ruby,Perlなどには,Hashがある.
– Hashは,O(1)で検索できる手法.
J-25
課題
• a[0]~a[10]が
1,2,3,5,6,8,9,10,12,14,16 であり,
これらの中から 9 を探すことを考える.
L=0, R=10からはじめ,
L,R,midの推移を記せ.
J-26
ダウンロード

PPT