力学Ⅰ
仕事



物体に作用する合力 F (t ) が分かっても,運動方程式 ma (t )  F (t ) を解いて


位置 r (t ) や速度 v(t ) を求めることが,数学的に難しい場合も多い。


運動方程式 ma (t )  F (t ) を出発点にして,新しい関係式を導く。
「エネルギー」に関する関係式である。
他の科目や日常生活でもよく耳にするように,
「エネルギー」という考え方は,
「力学」という分野を超えて,あらゆる自然現象を理解するための鍵となる。
仕事(work)

まず,物体に作用する力 F から,
「仕事」という量を導入する。
仕事は,物体がもつ「エネルギー」を変化させる働きをもつ量である。

物体に一定の力 F [N]を加えて,力の方向に L [m]移動させるとき,

力 F がする仕事 W は
F
F
W  F L
L
(「仕事」=「力」×「移動距離」)
で表される。
仕事の単位は[N]×[m]=[N・m]である。
この仕事の単位は重要で,よく使う単位なので,名前がついている。
[
J ]
(
ジュール
)
(絶対覚えること!)

練 習 1 ① 大 き さ が F  3.0 [ N ] で あ る 一 定 の 力 F を 加 え て , 力 の 向 き に

L  20[m]移動させた。力 F がした仕事 W を数値で求めよ。
W  F  L  3.0[N]×20[m]=60[J]
② m  2.0[kg]の物体が,鉛直下向きに L  5.0[m]落下した。
重力がした仕事 W を数値で求めよ。
F
L
F  mg  2.0[kg]×9.8[m/s2]=19.6[N]
W  F  L  19.6[N]×5.0[m]=98[J]
===
37
F
力学Ⅰ
次に,力の向きと物体の移動方向が異なる場合の仕事を考える。
まず,力の向きと移動方向が垂直(   90 )の場合の
仕事はゼロ。

F

F
W 0
垂直の向きの力は物体のエネルギーを
s
変化させないからゼロに決める。
では一般的に,力の向きと移動方向が角度  をなしている場合は?

F

力 F を分解して,仕事をするのは移動方向
だけなので,
の成分 F||  F cos 
W  ( F cos  )  s
である。

F

F||
 Fs cos 
s
力の向きと移動方向は直接関係ない。複数の力が作用している
とき,個々の力について「○○力がする仕事」を計算できる。
練習2 ① 粗い(摩擦がある)水平面で,質量 m  5.0 [kg]の物体が,直線上を
s  10[m]滑った。動摩擦係数を    0.20 として,重力 f 重 ,垂直抗力 f N ,
動摩擦力 fま がする仕事 W重 , W N , Wま を求めよ。
重力:   90 → W重  0
fN
垂直抗力:   90 → W N  0
動摩擦力:   180
→ Wま  ( f ま cos180)  s   f ま  s
fま
s
f重
   mg  s  0.20  5.0 [kg]  9.8 [m/s 2 ]  10 [m]  98 [J]
② 滑らかな(摩擦がない)斜面を,質量 m  5.0[kg]の物体が,s  2.0[m]
滑り降りた。斜面の水平からの傾き角を   30 とする。垂直抗力 f N ,重
力 f 重 がする仕事 W N , W重 を求めよ。
fN
垂直抗力:   90 → W N  0
重力:   60
f 重 sin 
→ W重  ( f 重 cos 60)  s
1
 mg   s
2
f重
1
 5.0 [kg]  9.8 [m/s ]   2.0 [m]
2
 49 [J]
2
38
s

力学Ⅰ
仕事の表し方
内積

B  (Bx , B y )
 
A  B  AB cos  (  Ax B x  Ay B y )
B sin 
というベクトルの掛け算がある。
(内積は平行な成分の掛け算)
B cos
A
内積を用いると仕事が簡潔に表せる。
 
W  F s
練習3
y
(  Fx  x  F y  y )
 Fs cos 

A  ( Ax , A y )

 ( Fx , F y )

F


一定の力 F  ( 3.0 , 2.0 )[N]を物体に
作用させながら,点 P1( 1.0 ,5.0 )
[m]から

[m]まで移動させた。力 F
点 P2( 7.0 ,2.0 )
が物体にした仕事 W を数値で求めよ。

F

s  ( x, y )
O
x

移動量(変位)ベクトル s は,
  
s  r2  r1  ( 7.0 , 2.0 )
[m]-( 1.0 , 5.0 )
[m]=( 6.0 ,  3.0 )
[m]
仕事 W は,
 
W  F  s  Fx  x  F y  y = 3.0 [N]  6.0 [m]  2.0 [N]  (3.0 [m])
= 12 [J]
===
一般的に,物体が移動する軌道が直線でもなく,力
の大きさ F や,力の向きと移動方向のなす角  が
移動の途中で変化する場合,仕事はどうやって計算するのか?

まず,軌道曲線を,直線と見なせるくらい細かい区間 ds ( ds )に分割する。
微小仕事
 
dW  ( F cos  )  ds  F  ds
を計算する。各区間で求めた dW をすべて足しあげる(積分記号
仕事は次のように表される。(具体例は後に計算する。
)
W 
2
2
2
1 dW  1 ( F cos )  ds  1
 
F  ds
の意味)
。

F


r1
39


ds
F cos 

r2
力学Ⅰ
応用 曲面上を運動する物体に作用する垂直抗力がする仕事を求めよ。
曲面上を運動する物体に作用する垂直抗力の向きは,曲面の
接線(接平面)に垂直な向き(法線方向)である。

FN  接線,

ds // 接線
したがって垂直抗力がする微小仕事は

FN

ds
dW  ( FN cos 90)  ds  0
接線
(接平面)
である。曲面上を運動する場合も垂直抗力は仕事をしない。
仕事率(power)
同じ量の仕事でも,ゆっくりするのか,すばやくするのかで,能率は全く違う。
これを比べるために,単位時間(1[s]間)あたりにする仕事を考える。
t [s]間で, W の仕事をしたとき,(平均の)仕事率は,
W
P  [W]
:仕事率の単位[ W ]
(ワット)=[J/s]
t
注意 仕事率の単位[W]と仕事を表す文字 W を混同しないこと!
dW (t )
であるが,
瞬間の仕事率は P (t ) 
dt


dW (t )
ds
 ( F cos  ) 
P (t ) 
 ( F cos  )  v  F (t )  v(t )
dt
dt

で移動速度 v(t ) を用いて表せる。(速く移動させれば仕事率は大きい)
練習4 一定の大きさ F  10[N]の力を鉛直上向きに加えて,物体を真上に s  5.0
[m]持ち上げた。持ち上げるのに要した時間が t  0.40[s]だったとき,
力 F がした仕事の平均の仕事率 P を数値で求めよ。
W 
P
F  s  10 [N]  5.0 [m]  50 [J],
W
50 [J]

 125 [W]
t
0.40 [s]
発展1 質量 m の物体を静かに落下させた。重力の仕事率 P (t ) を求めよ。
落下を始めてから t [s]後の落下速度 v(t ) は
v(t )  gt
したがって, t [s]後の仕事率 P (t ) は,
P (t ) 
dW (t )
 ( F cos  )  v(t )  (mg  cos 0)  gt  mg 2 t
dt
力は一定だが,落下とともに速さが増大するので,仕事率も増大する。
40
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講義ノート37~40