大学に合格したら
大学に合格したら
忘れてほしい高校の数学
§1. はじめに
§1. はじめに
高校で数学を学び始めてまだ半年余りの皆さんに
「大学に合格したら忘れてほしい高校の数学」と
いう過激なタイトルで,これからお話をしますが,
§1. はじめに
高校で数学を学び始めてまだ半年余りの皆さんに
「大学に合格したら忘れてほしい高校の数学」と
いう過激なタイトルで,これからお話をしますが,
このお話でお伝えしたいのは,高校で学ぶ数学と
大学で学ぶ数学のギャップと,そのギャップを乗
り越えるための心構え(と言うか,気の持ちよう)
についてです.
§1. はじめに
高校で数学を学び始めてまだ半年余りの皆さんに
「大学に合格したら忘れてほしい高校の数学」と
いう過激なタイトルで,これからお話をしますが,
このお話でお伝えしたいのは,高校で学ぶ数学と
大学で学ぶ数学のギャップと,そのギャップを乗
り越えるための心構え(と言うか,気の持ちよう)
についてです.
ですから,このお話で高校生の皆さんに
高校の数学なんか
高校の数学なんか
勉強する必要はありませんよ.
高校の数学なんか
勉強する必要はありませんよ.
と言いたいのではなく,言いたいのは
高校の数学なんか
勉強する必要はありませんよ.
と言いたいのではなく,言いたいのは
大学に合格するまでは,
高校の数学なんか
勉強する必要はありませんよ.
と言いたいのではなく,言いたいのは
大学に合格するまでは,
高校の数学をしっかり勉強
して下さい.
高校の数学なんか
勉強する必要はありませんよ.
と言いたいのではなく,言いたいのは
大学に合格するまでは,
高校の数学をしっかり勉強
して下さい.
そして,
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
高校で学んだ数学を
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
高校で学んだ数学を
一旦忘れて頭をリセット
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
高校で学んだ数学を
一旦忘れて頭をリセット
すれば,大学の数学で学ぶ新しい考え方を受け入
れることができるようになり,
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
高校で学んだ数学を
一旦忘れて頭をリセット
すれば,大学の数学で学ぶ新しい考え方を受け入
れることができるようになり,ギャップを乗り越
えることができます
大学で数学を学び,高校で学んだ数学とのギャップ
を感じたときは,
高校で学んだ数学を
一旦忘れて頭をリセット
すれば,大学の数学で学ぶ新しい考え方を受け入
れることができるようになり,ギャップを乗り越
えることができます(たぶん).
§2. 関数の極限
§2. 関数の極限
aを実数の定数とし,f(x) を x=a の近くで定義
された関数とします.
§2. 関数の極限
aを実数の定数とし,f(x) を x=a の近くで定義
された関数とします.
変数xをaに近づけたとき,f(x) が一定の値pに
近づくことを
§2. 関数の極限
aを実数の定数とし,f(x) を x=a の近くで定義
された関数とします.
変数xをaに近づけたとき,f(x) が一定の値pに
近づくことを
lim
f(x)
=
p
x→a
によって表し,pを
§2. 関数の極限
aを実数の定数とし,f(x) を x=a の近くで定義
された関数とします.
変数xをaに近づけたとき,f(x) が一定の値pに
近づくことを
lim
f(x)
=
p
x→a
によって表し,pを
「xをaに近づけたときのf(x)の極限値」
といいます.
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
p
・
・f(x)
・
・
x
a
0
・
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
p
・
・f(x)
・
a
0
・
・
x
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
・
・
x a
p
・
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
・
・
x a
p
・
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
p
・
・f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・ ・
p
・f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・ ・
p
・f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
p
・f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
f(x)
・
・
p
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
f(x)
・
・
p
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
f(x)
・
p・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
f(x)
・
p・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・・
f(x)
・
p・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
f(x)
・
p・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
f(x)
・
・
p
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたとき
f(x)がpに近づく様子
・
・
f(x)
・
・
p
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
§3. 高校で学ぶ微分法
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.xをaに近づけたときに,
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.xをaに近づけたときに,
f(x) - f(a)
x-a
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.xをaに近づけたときに,
f(x) - f(a)
x-a
が,一定の値Aに近づくとき,
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.xをaに近づけたときに,
f(x) - f(a)
x-a
が,一定の値Aに近づくとき,f(x)はaで微分可能
であるといいます.
§3. 高校で学ぶ微分法
aを実数の定数とし,f(x)を x=a の近くで定義
された関数とします.xをaに近づけたときに,
f(x) - f(a)
x-a
が,一定の値Aに近づくとき,f(x)はaで微分可能
であるといいます.このとき,極限値Aをf(x)の
aにおける微分係数と呼びます.
このことを,極限の記号を用いて,数式で表せば
このことを,極限の記号を用いて,数式で表せば
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
となります.
このことを,極限の記号を用いて,数式で表せば
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
となります.
微分係数Aは次のように解釈される数です.
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
Lx
・
・
・
x
・
a
・f(a)
・f(x)
0
f(x)のグラフ
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
f(x) - f(a)
x-a
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
f(x) - f(a)
x-a
は,直線Lxの傾きです.
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
f(x) - f(a)
x-a
は,直線Lxの傾きです.xをaに近づけていくと,
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
f(x) - f(a)
x-a
は,直線Lxの傾きです.xをaに近づけていくと,
Lx はf(x)のグラフの(a,f(a))における「接線」に
近づくと考えられるので,
座標平面において,f(x)のグラフ上の点(a,f(a))と
(x,f(x))を通る直線をLxとすれば,
f(x) - f(a)
x-a
は,直線Lxの傾きです.xをaに近づけていくと,
Lx はf(x)のグラフの(a,f(a))における「接線」に
近づくと考えられるので,Lxの傾きは「接線」の
傾きに近づいていくと考えられます.
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
・
x
・
a
・f(a)
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
・
x
・
a
・f(a)
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
・
・
x a
・f(a)
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
・
・
x a
・f(a)
・f(x)
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
f(a)
・
・f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・ ・
・f(a)
f(x)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・ ・
f(x)
・f(a)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・f(a)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・
・f(a)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・
・f(a)
・
・
x a
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・
f(a)
・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・
f(a)
・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・・
f(x)
・
f(a)
・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
f(x)
・
f(a)
・
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
f(x)
・
・f(a)
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
・
f(x)
・
・f(a)
・
・
xa
0
f(x)のグラフ
xをaに近づけたときLxが(a,f(a))
における「接線」に近づく様子
・
f(x)
・f(a)
・
ax
0
f(x)のグラフ
従って,f(x)のaにおける微分係数はf(x)のグラフ
の(a,f(a))における「接線」の傾きであると解釈
できます.
従って,f(x)のaにおける微分係数はf(x)のグラフ
の(a,f(a))における「接線」の傾きであると解釈
できます.
ここで,カギ括弧付きで「接線」と書いてきたの
は接線の定義をきちんと行なわずに,
従って,f(x)のaにおける微分係数はf(x)のグラフ
の(a,f(a))における「接線」の傾きであると解釈
できます.
ここで,カギ括弧付きで「接線」と書いてきたの
は接線の定義をきちんと行なわずに,接線と聞い
たときに皆さんが浮かべるイメージに訴えるとい
う曖昧さを持つ言葉だからです.
従って,f(x)のaにおける微分係数はf(x)のグラフ
の(a,f(a))における「接線」の傾きであると解釈
できます.
ここで,カギ括弧付きで「接線」と書いてきたの
は接線の定義をきちんと行なわずに,接線と聞い
たときに皆さんが浮かべるイメージに訴えるとい
う曖昧さを持つ言葉だからです.
そこで「接線」は x=a のときの値がf(a)である
1次関数のグラフであることに着目して
,
従って,f(x)のaにおける微分係数はf(x)のグラフ
の(a,f(a))における「接線」の傾きであると解釈
できます.
ここで,カギ括弧付きで「接線」と書いてきたの
は接線の定義をきちんと行なわずに,接線と聞い
たときに皆さんが浮かべるイメージに訴えるとい
う曖昧さを持つ言葉だからです.
そこで「接線」は x=a のときの値がf(a)である
1次関数のグラフであることに着目して,微分係
数
の解釈をやり直すことにします.
§4. 大学で学ぶ微分法
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,f(x)を x=a のときの値がf(a)である1次関数で
近似することを考えます.
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,f(x)を x=a のときの値がf(a)である1次関数で
近似することを考えます.このような1次関数
は
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,f(x)を x=a のときの値がf(a)である1次関数で
近似することを考えます.このような1次関数
は
y=A(x-a)+f(a)
という形になりますから,
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,f(x)を x=a のときの値がf(a)である1次関数で
近似することを考えます.このような1次関数
は
y=A(x-a)+f(a)
という形になりますから,この関数でf(x)を近似
したときの誤差をε(x)とすれば,
§4. 大学で学ぶ微分法
前と同様にf(x)を x=a の近くで定義された関数と
し,f(x)を x=a のときの値がf(a)である1次関数で
近似することを考えます.このような1次関数
は
y=A(x-a)+f(a)
という形になりますから,この関数でf(x)を近似
したときの誤差をε(x)とすれば,
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
です.
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
そのために,次のように考えます.
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
そのために,次のように考えます.
xをaに近づけたとき,x-aは0に近づきますが,
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
そのために,次のように考えます.
xをaに近づけたとき,x-aは0に近づきますが,
ε(x)がx-aより「速く」0に近づけば,誤差ε(x)は
小さいと言えます.
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
そのために,次のように考えます.
xをaに近づけたとき,x-aは0に近づきますが,
ε(x)がx-aより「速く」0に近づけば,誤差ε(x)は
小さいと言えます. そこで,一般に x=a の近くで
定義された二つの関数ε(x)と δ(x)が与えられたとき,
xがaに近いとき,誤差ε(x)が「小さい」ならば,
1次関数y=A(x-a)+f(a)はf(x)のよい近似であると
言えますが「誤差が小さい」とはどういうことか
きちんと定義する必要があります.
そのために,次のように考えます.
xをaに近づけたとき,x-aは0に近づきますが,
ε(x)がx-aより「速く」0に近づけば,誤差ε(x)は
小さいと言えます. そこで,一般に x=a の近くで
定義された二つの関数ε(x)と δ(x)が与えられたとき,
xをaに近づけたときにε(x)が δ(x)より「速く」0に
近づくことを,数式で表現することを考えてみます.
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
が成り立つとき,
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
とおけば,
ε(x)
が成り立つとき,ρ(x) =
δ(x)
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
ε(x)
が成り立つとき,ρ(x) =
δ(x)
とおけば,ε(x)はxをaに近づけたときに0に近づく
関数ρ(x)をδ(x)にかけた関数
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
ε(x)
が成り立つとき,ρ(x) =
δ(x)
とおけば,ε(x)はxをaに近づけたときに0に近づく
関数ρ(x)をδ(x)にかけた関数 ε(x)=ρ(x)δ(x) ですか
ら,
n
δ(x)は,例えば δ(x)=(x-a) (nは自然数)のように,
x≠aならば δ(x)≠0であり,xをaに近づけたとき,
δ(x)が0に近づく関数であるとします.
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
ε(x)
が成り立つとき,ρ(x) =
δ(x)
とおけば,ε(x)はxをaに近づけたときに0に近づく
関数ρ(x)をδ(x)にかけた関数 ε(x)=ρ(x)δ(x) ですか
ら,xをaに近づけたときε(x)はδ(x)よりも「速く」
0に近づくと考えられます.
そこで,xをaに近づけたときにε(x)の方が
そこで,xをaに近づけたときにε(x)の方がδ(x)
よりも「速く」0に近づくとは,
そこで,xをaに近づけたときにε(x)の方がδ(x)
よりも「速く」0に近づくとは,
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
そこで,xをaに近づけたときにε(x)の方がδ(x)
よりも「速く」0に近づくとは,
ε(x)
lim
=
0
x → a δ(x)
が成り立つことであると,定義します.
話を元に戻して,
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
が,
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
が,xをaに近づけたときに,
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
が,xをaに近づけたときに,関数 δ(x)=x-aより
速く0に近づくとは,
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
が,xをaに近づけたときに,関数 δ(x)=x-aより
速く0に近づくとは,次の式が成り立つことです.
話を元に戻して,関数f(x)を1次関数
y=A(x-a)+f(a)
で近似したときの誤差
ε(x)=f(x)-f(a)-A(x-a)
が,xをaに近づけたときに,関数 δ(x)=x-aより
速く0に近づくとは,次の式が成り立つことです.
ε(x)
lim
x → a δ(x)
f(x)-f(a)-A(x-a)
=
lim
=
0
x→a
x-a
従って,もし
従って,もし
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
従って,もし
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在すれば,
従って,もし
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在すれば,1次関数
y=A(x-a)+f(a) は
従って,もし
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在すれば,1次関数
y=A(x-a)+f(a) はf(x)のよい近似であるという
ことになります.
以上の考察をふまえて,
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在するとき,
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在するとき,f(x)は
aで微分可能であると定義します.
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在するとき,f(x)は
aで微分可能であると定義します.
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在するとき,f(x)は
aで微分可能であると定義します.
すなわち,f(x)がaで微分可能であるとは,
以上の考察をふまえて,x=a の近くで定義された
関数f(x)に対し,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在するとき,f(x)は
aで微分可能であると定義します.
すなわち,f(x)がaで微分可能であるとは,aの近く
でf(x)の「よい近似」を与える1次関数が存在する
ことを意味します.
ここで,
ここで,
f(x)-f(a)-A(x-a)
x-a
ここで,
f(x)-f(a)-A(x-a)
x-a
ですから,
f(x)-f(a)
=
-A
x-a
ここで,
f(x)-f(a)-A(x-a)
x-a
f(x)-f(a)
=
-A
x-a
ですから,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
ここで,
f(x)-f(a)-A(x-a)
x-a
f(x)-f(a)
=
-A
x-a
ですから,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
は,次の等式と同値です.
ここで,
f(x)-f(a)-A(x-a)
x-a
f(x)-f(a)
=
-A
x-a
ですから,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
は,次の等式と同値です.
f(x)-f(a)
lim
-A =0
x-a
x→a
(
)
さらに,この最後の式は,
さらに,この最後の式は,
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
さらに,この最後の式は,
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
と同値ですから,上の定義は高校で学ぶ微分の
定義と同じことになり,
さらに,この最後の式は,
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
と同値ですから,上の定義は高校で学ぶ微分の
定義と同じことになり,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
さらに,この最後の式は,
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
と同値ですから,上の定義は高校で学ぶ微分の
定義と同じことになり,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在すれば,
さらに,この最後の式は,
f(x) - f(a)
lim
=
A
x→a
x-a
と同値ですから,上の定義は高校で学ぶ微分の
定義と同じことになり,
f(x)-f(a)-A(x-a)
lim
=
0
x→a
x-a
が成り立つような定数Aが存在すれば,ただ1つ
であることもわかります.
このように微分の定義を行うことの利点は,
このように微分の定義を行うことの利点は,
「微分とは一般の関数を1次関数で近似すること」
このように微分の定義を行うことの利点は,
「微分とは一般の関数を1次関数で近似すること」
であるという,微分という概念の本質が明確に
なるだけでなく,
このように微分の定義を行うことの利点は,
「微分とは一般の関数を1次関数で近似すること」
であるという,微分という概念の本質が明確に
なるだけでなく,この定義は2つ以上の変数を
持つ「多変数関数」の微分の定義に一般化でき
たり,
このように微分の定義を行うことの利点は,
「微分とは一般の関数を1次関数で近似すること」
であるという,微分という概念の本質が明確に
なるだけでなく,この定義は2つ以上の変数を
持つ「多変数関数」の微分の定義に一般化でき
たり,n次関数を用いることにより,さらに精密
な近似を行うという一般化が可能になるという
点です.
§6. 高校で学ぶ積分法
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを「f(x)を微分する」といいます.
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを「f(x)を微分する」といいます.
この「f(x)を微分する」という操作の逆の操作,
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを「f(x)を微分する」といいます.
この「f(x)を微分する」という操作の逆の操作,
すなわち,関数f(x)が与えられたとき,
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを「f(x)を微分する」といいます.
この「f(x)を微分する」という操作の逆の操作,
すなわち,関数f(x)が与えられたとき,微分す
ればf(x)になる関数を求めることを
§6. 高校で学ぶ積分法
関数f(x)が各xで微分可能であるとき,xをxに
おけるf(x)の微分係数f’(x)に対応させることに
よって関数が定義されますが,この関数f’(x)を
f(x)の導関数といいます.また,f(x)の導関数を
求めることを「f(x)を微分する」といいます.
この「f(x)を微分する」という操作の逆の操作,
すなわち,関数f(x)が与えられたとき,微分す
ればf(x)になる関数を求めることを「f(x)を積分
する」といいます.
そこで,次のように言葉と記号を定義します.
そこで,次のように言葉と記号を定義します.
関数f(x)に対し,F’(x)=f(x)を満たす関数F(x)
を
そこで,次のように言葉と記号を定義します.
関数f(x)に対し,F’(x)=f(x)を満たす関数F(x)
をf(x)の原始関数または不定積分といい,
そこで,次のように言葉と記号を定義します.
関数f(x)に対し,F’(x)=f(x)を満たす関数F(x)
をf(x)の原始関数または不定積分といい,
∫ f(x)dx
で表します.
そこで,次のように言葉と記号を定義します.
関数f(x)に対し,F’(x)=f(x)を満たす関数F(x)
をf(x)の原始関数または不定積分といい,
∫ f(x)dx
で表します.
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.言い換えれば,
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.言い換えれば,
定数Cで,すべてのxに対して
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.言い換えれば,
定数Cで,すべてのxに対して等式
G(x)=F(x)+C
を満たすものが存在します.
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.言い換えれば,
定数Cで,すべてのxに対して等式
G(x)=F(x)+C
を満たすものが存在します.このことは,
もし,2つの関数F(x)とG(x)の導関数が一致す
る
とき,すなわち等式
F’(x)=G’(x)
が成り立つとき,G(x)-F(x)の値はxによらない
一定の値であることが示されます.言い換えれば,
定数Cで,すべてのxに対して等式
G(x)=F(x)+C
を満たすものが存在します.このことは,
「関数f(x)の不定積分は定数の差しか違わない」
ことを意味します.
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
関数f(x)はa ≦ x ≦ bの範囲で定義されているとし,
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
関数f(x)はa ≦ x ≦ bの範囲で定義されているとし,
F(x)がf(x)の不定積分(の一つ)であるとき,
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
関数f(x)はa ≦ x ≦ bの範囲で定義されているとし,
F(x)がf(x)の不定積分(の一つ)であるとき,f(x)の
b
定積分 a f(x)dxを
∫
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
関数f(x)はa ≦ x ≦ bの範囲で定義されているとし,
F(x)がf(x)の不定積分(の一つ)であるとき,f(x)の
b
定積分 a f(x)dxを
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
∫
∫
によって定義します.
不定積分という概念を用いて,関数の(定)積分を
次のように定義します.
関数f(x)はa ≦ x ≦ bの範囲で定義されているとし,
F(x)がf(x)の不定積分(の一つ)であるとき,f(x)の
b
定積分 a f(x)dxを
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
∫
∫
によって定義します.
もし,関数G(x)もf(x)の不定積分ならば,
もし,関数G(x)もf(x)の不定積分ならば,定数C
で,すべてのa ≦ x ≦ bに対して
もし,関数G(x)もf(x)の不定積分ならば,定数C
で,すべてのa ≦ x ≦ bに対して等式G(x)=F(x)+C
を
を満たすものが存在しましたから,
もし,関数G(x)もf(x)の不定積分ならば,定数C
で,すべてのa ≦ x ≦ bに対して等式G(x)=F(x)+C
を
を満たすものが存在しましたから,
G(b)-G(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)
が成り立ちます.
もし,関数G(x)もf(x)の不定積分ならば,定数C
で,すべてのa ≦ x ≦ bに対して等式G(x)=F(x)+C
を
を満たすものが存在しましたから,
G(b)-G(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)
が成り立ちます.
従って,前述の定積分の定義は,f(x)の不定積分
の選び方に依存しません.
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
ある場合,
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,
∫
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
a
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
a
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
a
b
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
0
a
b
座標平面において,f(x)のグラフがx軸より上に
b
ある場合,定積分 a f(x)dxの値は,x軸,直線
∫
x=aとx=bおよびf(x)のグラフで囲まれた部分
の「面積」に等しいことが示されます.
f(x)のグラフ
∫
0
a
b
f(x)dx
a
b
§7. 大学で学ぶ積分法
§7. 大学で学ぶ積分法
高校では,定積分を微分の逆の操作に基づいて
定義しましたが,
§7. 大学で学ぶ積分法
高校では,定積分を微分の逆の操作に基づいて
定義しましたが,以下で述べるように定積分は
微分の考えを用いずに定義されます.
§7. 大学で学ぶ積分法
高校では,定積分を微分の逆の操作に基づいて
定義しましたが,以下で述べるように定積分は
微分の考えを用いずに定義されます.
そのために,まず必要な用語の定義を行います.
a ≦ x ≦ bを満たす実数x全体の集合を閉区間といい
,[a,b]で表します.
a ≦ x ≦ bを満たす実数x全体の集合を閉区間といい
,[a,b]で表します.
a=x0 ≦ x1 ≦ x2 ≦ ≦ xi ≦ xi+1 ≦ ≦ xn =bを満たす実数
x0,x1,x2, …,xn の列を[a,b]の分割と呼びます.
a ≦ x ≦ bを満たす実数x全体の集合を閉区間といい
,[a,b]で表します.
a=x0 ≦ x1 ≦ x2 ≦ ≦ xi ≦ xi+1 ≦ ≦ xn =bを満たす実数
x0,x1,x2, …,xn の列を[a,b]の分割と呼びます.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)に対し,x1 -x0,x2 -x1,…,
xn -xn-1 の中で最大のものを分割Δの粗さといい,
|Δ|で表します.
a ≦ x ≦ bを満たす実数x全体の集合を閉区間といい
,[a,b]で表します.
a=x0 ≦ x1 ≦ x2 ≦ ≦ xi ≦ xi+1 ≦ ≦ xn =bを満たす実数
x0,x1,x2, …,xn の列を[a,b]の分割と呼びます.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)に対し,x1 -x0,x2 -x1,…,
xn -xn-1 の中で最大のものを分割Δの粗さといい,
|Δ|で表します.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)に対し,xi-1 ≦ ui ≦ xi
(i=1,2,…,n)を満たす実数u1,u2, …,un の列を分割
Δの代表系と呼びます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)と
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)とΔの代表系R=(u1,u2,
…,un)
に対し,
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)とΔの代表系R=(u1,u2,
…,un)
に対し,
f(u1)(x1-x0)+f(u2)(x1-x0)+…+f(un)(xn-xn-1)
を,
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)とΔの代表系R=(u1,u2,
…,un)
に対し,
f(u1)(x1-x0)+f(u2)(x1-x0)+…+f(un)(xn-xn-1)
を,[a,b]の分割ΔとΔの代表系Rに関するf(x)の
リーマン和と呼んで,
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とします.
[a,b]の分割Δ =(x0,x1, …,xn)とΔの代表系R=(u1,u2,
…,un)
に対し,
f(u1)(x1-x0)+f(u2)(x1-x0)+…+f(un)(xn-xn-1)
を,[a,b]の分割ΔとΔの代表系Rに関するf(x)の
リーマン和と呼んで,S(f(x),Δ, R)で表すことに
し
ます.
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
f(x)は積分可能であるといい,
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
f(x)は積分可能であるといい,S(f(x),Δ, R)が近づ
いてゆく一定の値を
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
f(x)は積分可能であるといい,S(f(x),Δ, R)が近づ
いてゆく一定の値を
∫
で表し,
b
f(x)dx
a
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
f(x)は積分可能であるといい,S(f(x),Δ, R)が近づ
いてゆく一定の値を
∫
b
f(x)dx
a
で表し,これをf(x)の(リーマン)積分といいます.
準備が整ったので,f(x)の積分の定義を次のように
します.
[a,b]の分割Δを細かくしていったときに,f(x)の
リーマン和S(f(x),Δ, R)が一定の値に近づくとき,
f(x)は積分可能であるといい,S(f(x),Δ, R)が近づ
いてゆく一定の値を
∫
b
f(x)dx
a
で表し,これをf(x)の(リーマン)積分といいます.
ここで「[a,b]の分割Δを細かくする」とは,
ここで「[a,b]の分割Δを細かくする」とは,Δの
粗さ|Δ|が0に近づくようにΔを取り替えていく
ことで,
ここで「[a,b]の分割Δを細かくする」とは,Δの
粗さ|Δ|が0に近づくようにΔを取り替えていく
ことで,Δを取り替えれば,
ここで「[a,b]の分割Δを細かくする」とは,Δの
粗さ|Δ|が0に近づくようにΔを取り替えていく
ことで,Δを取り替えれば,Δの代表系Rも同時
に取り替えます.
f(x)のグラフ
f(u3)
f(u2)
f(u1)
0
a=x0 x1 x2
x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9x10=b
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とするとき,
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とするとき,
関数F(t)を
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とするとき,
関数F(t)を
∫
t
F(t) = af(x)dx
で定めれば,
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とするとき,
関数F(t)を
∫
t
F(t) = af(x)dx
で定めれば,
F’(x)=f(x)
が成り立ちます.
以上のように,積分の定義は微分の考えを用いず
に行われましたが,次の「微積分学の基本定理」
によって,微分と積分が結びつきます.
f(x)を閉区間[a,b] で定義された関数とするとき,
関数F(t)を
∫
t
F(t) = af(x)dx
で定めれば,
F’(x)=f(x)
が成り立ちます.
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,F(x)
がf(x)の不定積分ならば
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,F(x)
がf(x)の不定積分ならば
∫
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
が成り立ちます.
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,F(x)
がf(x)の不定積分ならば
∫
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
が成り立ちます.
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,F(x)
がf(x)の不定積分ならば
∫
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
が成り立ちます.
高校では定積分の定義であった等式は,
微積分学の基本定理から,直ちに次の定理が得ら
れます.
閉区間[a,b] で定義された関数f(x)に対し,F(x)
がf(x)の不定積分ならば
∫
b
f(x)dx=F(b)-F(a)
a
が成り立ちます.
高校では定積分の定義であった等式は,大学では
定理として証明されます!
§8. おわりに
§8. おわりに
以上,微分と積分の定義を例に挙げて,高校で学
ぶ数学と大学で学ぶ数学の違いについてお話しし
てきましたが,如何だったでしょうか?
§8. おわりに
以上,微分と積分の定義を例に挙げて,高校で学
ぶ数学と大学で学ぶ数学の違いについてお話しし
てきましたが,如何だったでしょうか?
当然のことですが,大学で学ぶ数学は高校で学ぶ
数学より,厳密でより理論的なものになります.
§8. おわりに
以上,微分と積分の定義を例に挙げて,高校で学
ぶ数学と大学で学ぶ数学の違いについてお話しし
てきましたが,如何だったでしょうか?
当然のことですが,大学で学ぶ数学は高校で学ぶ
数学より,厳密でより理論的なものになります.
でも,そのために,高校の数学では曖昧にされて
いてわかりにくかったことが,明確になって
,
かえってわかりやすいことも多いです
.
ですから,大学でも数学をちゃんと勉強して
いれば,
ですから,大学でも数学をちゃんと勉強して
いれば,大学で学ぶ数学は決して難しいもの
ではありません.
ですから,大学でも数学をちゃんと勉強して
いれば,大学で学ぶ数学は決して難しいもの
ではありません.「数学は難しい!」という
先入観を持つことが,一番いけないことです.
ですから,大学でも数学をちゃんと勉強して
いれば,大学で学ぶ数学は決して難しいもの
ではありません.「数学は難しい!」という
先入観を持つことが,一番いけないことです.
で,最後に一言.
高校で学んだ数学を忘れる
ことができるのは,
高校で学んだ数学を忘れる
ことができるのは,高校で
ちゃんと数学を勉強した人
だけです.
おしまい
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