標本平均の標本分布
1.標本平均の特性値
2.母分散既知の標本平均の分布
3.大数法則と中心極限定理
標本平均値の特性値

確率変数は互いに独立に同じ分布に従う
2
(iidデータ)場合、期待値  、分散 の母
集団から取られた大きさnの標本の平均値


の期待値は
、分散は
である。
x
n
2
E( X )  ,
V (X ) 

2
n
証明(1)
E(X )  E( x1  x2      xn ) / n
1
 E ( x1  x2      xn )
n
1
 E ( x1 )  E ( x2 )    E ( xn )
n
1
  n  
n
証明(2)
1

V (X )  V  ( x1  x2    xn )
n

1
 2 V ( x1  x2     xn )
n
1
 2 V ( x1 )  V ( x2 )    V ( xn )
n
2
1

2
 2 n 
n
n
有限母集団の修正係数

有限母集団(  ,  )から抽出したn個の無
作為標本の標本平均を x とすると
2
E(x )  
N n 
V ( x) 

N 1 n
2
(N-n)/(N-1)を有限母集団の修正係数という
分散既知の標本平均の分布

母集団の分布が正規分布 N (, 2 ) であると
き、そこから取られた大きさnの無作為標本の
標本平均の標本分布は正規分布
N ( ,  2 / n) である。従って、
x
Z 
/ n
の分布は標準正規分布N(0,1)である。
推定区間
P(| z | c)  P(c  Z  c)
c
c
 P( x     x  )
n
n
大数の法則

 に対しても
P(| x   |  )  1
一般にどんな小さい正数
が成立する。
x が  の一致推定量である。
標本平均で母平均を推定する場合に
大数法則は保証される。
中心極限定理

分布がどのようなものであっても、期待値 
分散  2 をもつ母集団からとられた大きさnの
標本の平均値 x の分布は、nが大となるとき
正規分布 N ( ,  2 / n) に近づく。従って
Z
x
/ n
の分布は、nが大となるとき、標準正規分布
N(0,1)に近づく。
データの実験(1)
二項分布(n=5, p=0.7)
0.4
0.3
0.2
確率関数
0.1
0
0
2
4
6
データの実験(2)
二項分布(n=10,p=0.7)
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
確率関数
0
5
10
15
データの実験(3)
二項分布(n=20,p=0.7)
0.25
0.2
0.15
0.1
確率関数
0.05
0
0
10
20
30
データの実験(4)
二項分布(n=30, p=0.7)
確率関数
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
練習問題



ある株価の月次変化率の分布は以前の経
験上、平均0%、標準偏差2.5%であること
が分かっている。ただし、各月の株価変化
率は独立であるとする。
1).この株の25ヶ月の変化率の平均を取っ
たとき、プラスになる確率を求めよ。
2).この株の25ヶ月の変化率の平均を取っ
たとき、-0.6%以下になる確率を求めよ。
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