統計学
西 山
これまでの確率分布
4
データをサンプル
元の集団を
母集団と呼ぶ
確率分布とは
1
母集団の分布です
標本分布
どんなサンプルが
多いか
合計、平均は
どうなるか?
分散は
どうなるか?
【例】100回後に合計でどうなるでしょう?
値
-10
+10
確率
0.5
0.5
1000
100回目
-1000
【例】さいころの目の出方の検査
平均値をチェックします
正しいサイコロを6回振ります・・・
1,3,1,6,6,4なら平均は3.5
2,6,5,4,4,6なら平均は4.5
・
・
・
・
・
これを平均値
の標本分布と
いいます
6回の平均値が5を超えることはありうるのか?
平均値が決まる確率法則はあるのか?
平均値=合計値÷個数
合計値の確率法則
平均値の確率法則
両方、本質的には同じ問題です
合計の公式―平均
合計の平均は平均の合計である.
EX  Y   EX   EY 
例:
二つの正しいサイコロを振ったときの目の数の和は平均いくらか?
データについて同じ問題を考えよ.
合計の公式―ばらつき
≪合計の分散は分散の合計≫になるとは限らない!
一般には、合計の分散がどうなるか分からない.
英語
高い
普通
低い
数学
高い
普通
低い
合計点
極めて高い
普通
極めて低い
分散上昇
英語
高い
普通
低い
数学
低い
普通
高い
合計点
普通
普通
普通
分散縮小
XとYが独立なら、
V X  Y   V X   V Y 
【例題1】100回目の合計はどの範囲におさまりますか?
値
-10
+10
確率
0.5
0.5
毎回の値は左のような分布
1.平均値はいくらですか?
2.分散と標準偏差はいくらですか?
100回後の値を合計の公式で予測してください。
どの位の範囲に収まるはずですか?
合計値には、通常、正規分布が当てはまります
値ごとに平均とばらつきを確認する!
Y  X  X   X  X
1
2
99
100
EY   EX  X    X  X
1
2
99
100

EY   EX   EX     EX   EX
1
2
99
EY   100  0  0
100

値1個の平均とばらつきを確認する!
Y  X  X   X  X
1
2
99
V Y   V X  X    X  X
1
2
99
独立
100
100

V Y   V X   V X     V X   V X
1
V Y   10010
2
2
99
100

SDY   100 10
100個の合計値の確率分布
平均値: 100×1個の平均値
分散: 100×1個の分散
標準偏差: ルート100×1個の標準偏差
ルートNの法則と呼んでいます
<ルートNの法則>とは?
1個ずつにわけて値を確認すると、平均がμ、標準偏差がσ
N個のサンプルをとると
合計値
ゲタの公式
期待値  N  
標準偏差  N  
平均値=合計÷N
期待値  
標準偏差 

N
【まとめ】サンプル平均について
平均がμ、分散がσ2 である集団から無作為に取り出した n 個のデータを X 1 , X 2 , X n と
し、データから求められる標本平均を X とおく。このとき、 X の標本分布の平均と分散は
それぞれ
E X   
V X  
2
n
第3章の定理8が
基本じゃが、
ここまで
定理10までは落
5/28
とせんな
となる。
合計値は平均値×個数
分布の形は常に
正規分布
<中心極限定理>
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第7回(5月28日)