2006. 11. 21
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
先週の補足と極値問題
先週の補足
作用素について、もう少し説明を行う。
関数
f
について
d
df
と
の違いとは?
dx
dx
結論から述べると:
d
:作用素
dx
df :導関数
dx
作用素と導関数
作用素と導関数の違いと
は?
d :作用素は、この記号の後に来る関数をxで微分
dx せよ、という命令記号のようなもの。
df :導関数は、関数fをxで微分した後の関数
dx
f の記号の場合も全く同様
x
具体的な例として、次の先週の課題を例にとって説明する。
作用素と導関数
教科書p.141問6.2
2 f 2 f
 2  0 を、極座標 (r , ) を用いて書き換えよ。
2
x
y
解答例:
2 f
2
 2 f
2
x
x
関数
作用素
  
 
f
x  x 
偏導関数
  f
f sin  
  cos  

x  r
 r 
作用素と導関数
  f
f sin  
  cos  

x  r
 r 
作用素


F
x
偏導関数
関数 F
関数
(6.30)式を適用


sin 
 F  cos  
F
F を元に戻す
r

r
  f
f sin  
  cos  
  cos 
r  r
 r 



f sin   sin 
 f
 cos  

 r  r
 r
作用素と導関数
  f
f sin  
 cos  
 cos 
r  r
 r 
作用素
偏導関数
関数
   f
   f sin  
   cos    
 cos 
 r   r 
 r  r
偏導関数






関数
の内部は関数の積になっているので、
積の微分公式を適用する。
作用素と導関数
   f
   f sin  
   cos    
 cos 
 r   r 
 r  r
  f
f 
   f sin  f  sin  
 
cos  
cos    

 cos 
r r
 r r 
  r  r
 r r
  2 f
   2 f sin  f sin  
 cos 
  2 cos   0    2

2 
r
 r 
  r
 r
作用素とはその直後の関数に作用する命令
記号のようなもの
以下、第2項以降の各項についても同様に計算する。
極値問題
関数の極大・極小
極大
極小
2変数関数における極大値・極小値を求める問題
を考える。
極大値・極小値
まず、1変数の場合と同様に考えるとする。
1変数関数の場合:
f (x)
a
0
x  a で極値ならば f (a)  0
f (x)
x
f ( x)  0 となる方程式を解いて、極値の候補を探した。
極大値・極小値
2変数の場合も同様に考えるとする。
定理6.11:
領域 D で全微分可能な関数 f ( x, y ) が点 (a, b)  D
で極値をとるならば
f x ( a, b)  f y ( a, b)  0
注)この定理の逆は成り立たない。1変数関数
でも f ( x)  x 3の場合があるのと同様。
鞍点
2変数では極大点・極小点でもないもう一
種類の点が存在する。
もし、下のような山があったとして、手前側から向こう
側へ行きたいとき、どのルートを通るか?
峠
鞍点
鞍点
峠
この峠に相当する点は、x軸方向に対しては極小点
だが、y軸方向に対しては極大点。
鞍点
(この考え方は、後に、最適制御などで用いる。)
極大値・極小値
極大値・極小値の求め方
定理6.12:
関数 f ( x, y ) は点 (a, b) を含む領域で C 2級で、
f x ( a, b)  f y ( a, b)  0
を満たすとする。
  f xx (a, b)  f yy (a, b)  f xy (a, b)
2
と置くとき、次が成り立つ。
1) f xx (a, b)  0 かつ   0 のとき、 f (a, b) は極大値
2) f xx (a, b)  0 かつ   0 のとき、 f (a, b) は極小値
3)   0 のとき、 f (a, b) は極大値でも極小値でもない
注   0 のとき、 これだけでは判定出来ない
本日の課題
2変数関数 f ( x, y)  3x 2  6 xy  2 y 2 の極値を調べよ。
定理6.12については、次回に詳しく説明する。
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先週の補足と極値問題