数学Ⅰ
数学Ⅰの【例題】
次の等式が成り立つとき、△ABCはどのような
三角形か。
⑴ asinA+bsinB =csinC ⑵ acosA+bcosB =ccosC
【問題文数訳】
三角形の形状を決めるときは、正弦定理・余弦定理を
使って、辺だけの関係式にする。
【解答】
(1) 正弦定理より sinA= a , sin=  , sin= 
2
2
2
したがって、条件式は
a²
²
²
asinA+bsinB =csinC ⇔ ⇔
a²+b²=c² したがって ABを斜辺とする直角三角形・・・・・(答)
+
=
2 2
2
(2) 余弦定理より
²+² − a²
²+ a² − ²
a²+² − ²
cosA=
, cos=
, cos=
2bc
2c a
2b
したがって、条件式は
2
2
2
2
2
2
2
a( + − a ) ( + a −  )
(a +2 −  2 )
acosA+bcosB =ccosC ⇔
+
=
2bc
2c a
2b
⇔ a²(b²+c²− a²)+b²(c²+ a²-b²)=c²( a²+b²-c²)
4
4
4
⇔ a²b²+a²c²-a +b²c²+b²a²-b =c²a²+c²b²-c
4
4
4
4
⇔ c -(a -2a²b²-b ) ⇔ c -(a²-b²)²=0
⇔ (c²+ a²-b²)(c²- a²+b²)=0
⇔ b² =a²+c² または a² =b²+c²
したがって、 ACまたはBCのいずれかを斜辺とする直角三角形・・・・・(答)
数学Ⅱ
数学Ⅱの【例題】


<α<π でsinα = のとき、次の値を求めよ。


⑴ sin2α ⑵ cos2α ⑶
sin


【問題文数訳】
2倍角、半角の公式を使う。そのとき、⑴、⑶ではcosα が必要になるので求めておくこと。
⑶はα /2の範囲に注意して、符号を決定する。
[2倍角の公式] [半角の公式]
sin 2α =2sinα cosα
cos2α =cos²α -sin²α

1+cos
=2cos²α -1 →
cos² 2 =
=1-2sin²α →

sin²
2
2
1− cos
=
2
【解答】

<α<π
2
より , cosα<0
したがって、
3
4
cosα = − 1 − sin2  =− 1 − (5)² =− 5
⑴ sin2α =2sinccos =2・ 3・(- 4) =-・・・・・(答)
5
5

3
5
⑵ cos2α =1 − sin2 =2・( )²=1-
⑶

<α<π
2

sin 2 =



18

= ・・・・・(答)
25


より、 4 < 2 < 2 だから sin 2 >0
9
10
=
3
10
=
 

・・・・・(答)
sin²

2
1− 
2
=
4
5
1−(−
=
2
)
9
9
==52 ==10
数学Ⅲ
数学Ⅲの【例題】
+
⑴ 第n項が(
)ⁿ で表される数列が収束するためのx の値の範囲を求めよ。

 ・²ⁿ
⑵ を求めよ。

→∞ +²ⁿ
【問題文数訳】
数列{rⁿ}が収束するための条件は -1<r≦1のときである。
⑵はr の値で場合分けして考える。
例えば-1<r<1 , r =-1 , r =1 , 1<r などに分けて考える。
【解答】
(1) この無限等比数列が収束するための必要十分条件は -1<(+2 )≦1 である。
3
-3<x+2≦3 ⇔ -5<x≦1・・・・・(答)
(2) (i) r=-1のとき
 ・²ⁿ
−1 ・1

lim
= lim
= −  ・・・・・(答)
→∞ 1+²ⁿ →∞ 1+1
(ii) -1<r<1のとき
(iii) r=1のとき
 ・²ⁿ
0
 ・²ⁿ
1 ・1
1

lim
=
=・・・・・(答)
lim
= lim
=
= ・・・・・(答)
→∞ 1+²ⁿ 1+0
→∞ 1+²ⁿ →∞ 1+1 1+1
(iv) r<-1または 1<r のとき
lim
 ・²ⁿ
←分母・分子をr²ⁿでわる。
→∞ 1+²ⁿ
= lim
→∞


²ⁿ
+1
=

0+1
=r ・・・・・(答)
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数学Ⅰ 数学Ⅰの【例題】 次の等式が成り立つとき、 ABCはどのような