コンピュータグラフィックス
平成23年8月
情報学群
岡田 守
このスライドは,
前川佳徳編著による「コンピュータグラフィックス」
(オーム社)を基に作成されている.
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
1.座標系


最もよく使われる座標系はデカルト座標系である.
この座標系で「右手の法則」を用いる.
Y
Zは奥行き方向にとる.
X
Z
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
1.座標系



アプリケーションによっては,デカルト座標系では
ない(非デカルト座標系),極座標系,円柱座標
系,球座標系がよく用いられる.
コンピュータグラフィックスでは,最終的にはデカ
ルト座標系に変換し直す.
したがって,非デカルト座標系とデカルト座標系
の変換関係を理解しておく必要がある.
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
1.座標系
( x, y )

極座標からデカルト座標への変換
( r,  )
y
x  r cos
r
y  r sin 

x

デカルト座標から極座標への変換
r
x2  y2
y
  arct an
x
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
1.座標系


円柱座標からデカルト座標への変換
x  r cos
y  r sin 
z  z0
z
(r,  , z0 )
デカルト座標から円柱座標への変換
r  x2  y2
y
  arctan
x
z  z0

x
y
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
1.座標系


z
球座標からデカルト座標への変換
x  r cos sin 
y  r sin  sin 
z  r cos
デカルト座標から球座標への変換
P( r ,  ,  )

r  x2  y2  z2
y
x
z
  arccos
r
y

  arct an
x
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
2.空間位置のベクトル表現



コンピュータグラフィックスの計算→マトリクス演算
空間の位置はベクトルで表現(これを位置ベクトルとよ
ぶ)
点Pの位置ベクトルは原点から点Pへのベクトル
x 


P y
 
 z 

位置ベクトルの絶対値
P  x2  y2  z2

単位ベクトル
P  P  P0
P
P0 
P
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
3.ベクトルの内積とその幾何学的意味

2つのベクトルの内積
v1  v2  v1  v2 cos

内積を通してベクトル間のなす角度が計算できる
v1  v 2
  arccos
v1  v 2

内積の結果はスカラー量であり各ベクトルの成分から
計算される
v1  v2  v  v2  x1x2  y1 y2  z1z2
T
1
0章 コンピュータグラフィックスの基礎数学
3.ベクトルの外積とその幾何学的意味


v1  v 2
ベクトルの外積
v2

ベクトルの長さ
v1
v1  v2  v1  v2 sin

ベクトルの外積は行列式を用いて次のように定義
i
j
k
i, j, k
v1  v 2  x1
x2
y1
y2
z1
z2
はそれぞれx,y,z軸の単位ベクトル
 ( y1z2  z1 y2 )i  ( x1z2  z1x2 ) j  ( x1 y2  y1x2 )k
1章
コンピュータグラフィックスとは何か
応用分野を理解し,それを通じてCG
とはどのようなものであるか,本質を
理解する.
1.1 コンピュータグラフィックスの定義

CG (Computer Graphics) とは,「コンピュータ
内に画像を定義し,コンピュータで処理し,それら
をグラフィックス出力装置に表示出力する技術」
(狭義の)画像[2次元]
静止画像
(狭義の)図形[2次元]
図形
画像
形状[3次元]
映像
動画像
アニメーション
ラスタ走査型ディスプレイの基礎とフレーム
バッファ
ラスタ走査型ディスプレイで最も重
要な概念がフレームバッファであ
る.
このメモリ領域を用いて各ピクセ
ルの輝度や色を制御する.
たとえば,
解像度512x512の白黒ディスプレ
イの場合,フレームメモリのサイズ
も512x512である.ピクセル当たり
最低1ビットのメモリをもつ.
この1ビットの深さを持つ512x512
個のメモリ領域をビットプレーンと
いう.
電子が加熱され,電子レンズによっ
て細いビームに絞られる
水平と垂直偏向増幅器でビーム
が偏向され,ある座標(x,y)に位
置づけられる
電子がスクリーン上の蛍
光面に衝突すると,点で
光が生じる
*中心輝度の50%直径
をスポットサイズとよぶ
電子ビームは決められたパターン(左から
右,上から下)によって走査線を生成し,
画像を構成する(これをラスタ型という).
1.1 コンピュータグラフィックスの定義


2次元CG(2 Dimensional CG) と
3次元(3 Dimensional CG)
形状モデリング(geometric modeling)


形状モデル(geometric model)
レンダリング(rendering)


シェーディング(shading)
表示モデル(display model)
1.2 コンピュータグラフィックスの応用
分野
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
設計・製造分野での利用
CAD (Computer Aided Design)
CAM (Computer Aided Manufacturing)
映画・ゲーム・コマーシャルフィルム制作分野での利用
景観シミュレーションでの利用
ファッション検討での利用
医学分野での利用
バーチャルヒューマン
バーチャルリアリティ
CGアート
1.3 コンピュータグラフィックスの本質
・オブジェクトは頂点の集合
・ユーザ座標はワールド座標ともよぶ
・モデリング変換とビューイング変換を1つに
まとめたもの
・モデリング変換とはモデルを動かすこと
・ビューイング変換とは見る角度を変えたり
すること
ユーザ座標
モデルビュー変換
・射影変換は投影範囲外の部分
を切り取る処理を行う
・遠くにあるオブジェクトは小さく,近く
にあるオブジェクトは大きく表示し,
遠近感をつける処理を行う
・カメラを中心とする座標系
・モデルビュー変換によってユーザ
座標から変換される
アイ座標
・投影範囲外の部分を切り取るか
らクリップ座標へ変換される
射影変換
クリップ座標
遠近処理
正規化座標
・表示するデバイスの座標系に
変換する処理を行う
ビューポート変換
・通常は第1象限の[0,1]の範囲
で,浮動小数点数で表す
・グラフィックスパッケージがハー
ドウェアに依存しないように利用
できる
ウィンドウ座標
ウィンドウに表示
・デバイス座標とも呼ぶ
ダウンロード

1章 コンピュータグラフィックスとは何か