システム制御工学Ⅰ
電気電子工学科
2015年度
今日の講義内容
制御系の即応性
• 制御系の設計
• 直結フィードバック系
• 過渡特性と定常特性
• 速応性
– 過渡特性と周波数特性
– ニコルス線図
2
制御系の設計
例えば,ステップ状の目標入力の場合
()
0
()

0
遅れ時間は短く
行き過ぎは少
ない方が良い
速く立ち上
がってほしい

に時
一間
致が
した
てて
ほば
し目
い標
安定であることは当然の条件として,それ以外にも多
くの目標(制御性能)がある.特に,目標値付近に速く
到達すること(速応性)と,最終的に目標に一致するこ
と(定常特性).
3
直結フィードバック系(1)
()
+
()
()
−
()
′()
+
等価変換
()
()
−
フィードバック制御系
1
 
()()
この部分を見ると
′()
+
()
()
()
−
4
直結フィードバック系(2)
()
+
()
()
−
直結フィードバック系 (  = 1)
以下,簡単のため直結フィードバック系を対象
にする
• 開ループ伝達関数は ()
• 閉ループ伝達関数は   =
()
1+()
5
復習
以下のフィードバック系を直結フィードバック系
に書き換えよ.
()
+
−
10
( + 3)( + 5)
()
1
+1
6
直結フィードバック系の応答(1)
直結フィードバック系のステップ応答
  =ℒ
−1
() = ℒ
−1
1
 ()

 () の極を 1 , 2 , ⋯ ,  とすると
1
()
1
  =   =
 ( − 1 ) ⋯ ( −  ) 

定数倍して
0

0 = 1 とする
=
+
系が安定なら  の実部は負

 − 
ことができる
したがって
=1

  = 0 +
 
=1
多重極なら     の形
 
極の実部の絶
対値が大きい項
は急激に減衰
7
直結フィードバック系の応答(2)
安定な制御系の場合,虚軸から遠い極(実部
の絶対値が大きい極)の応答はすぐに減衰
虚軸に近い極(実部の絶対値が小さい極,主要
極とも言う)が応答波形の大勢を決める
応答波形については,高次の制御系も低次の
制御系で近似できる
8
問
以下の伝達関数の主要極はどれか?
29
  =
( + 1)( + 3 − )( + 3 + )
また,主要極だけが存在するものと考えてス
テップ応答を求めよ.
9
典型的なステップ応答波形
過渡特性
1.05
0.95
定常特性
1.00
0.90


lim ()
→∞
0.50
0.10
0


 : 遅れ時間,  : 立ち上がり時間,  : 整定時間
lim () : 定常偏差(オフセット)
→∞
10
過渡特性
• 速応性
– 遅れ時間  : 応答が最終値の50%に達するまで
の時間 ⇒ 小さい方が良い
– 立ち上がり時間  : 応答が最終値の10%から
90%まで変化する経過時間 ⇒ 小さい方が良い
– 整定時間  : 応答が最終値の ±5% 以内におさ
まるまでの時間 ⇒ 小さい方が良い
• 遅れ時間  と立ち上がり時間  を小さくし
ようとしすぎると行き過ぎ量  が大きくなり,
整定時間  が長くなる
トレードオフ
11
定常特性
定常偏差
十分時間が経過した後の目標値と制御量の差
lim () = lim (  −   )
→∞
→∞
0 になることが望ましい
ラプラス変換の最終値の定理を用いると
lim () = lim ()
→∞
→0
伝達関数領域
で計算できる
12
過渡特性と周波数特性
過渡特性 ⇔ 周波数特性
関係が知りたい
1
1
1
1
2
0
2


−
安定な制御系の周波数特性
は多くの場合,低域通過特性
0


−
計算のしやすい理想低域通
過フィルタで考えてみる
13
理想低域通過フィルタ(1)
理想低域通過フィルタ
 − (0 ≤  ≤  )
  =
0
( >  )
ステップ応答
1
1 1
−1
  =ℒ
 () = + S  ( − 0 )

2 
0

  =
0
sin()
 =


0
2 4
1 − + − ⋯ 
3! 5!
積分正弦関数
14
理想低域通過フィルタ(2)
遅
れ
時
間
は
に
等
し
く
な
る
  = 0.5 の点で接線を引き,接線と 0 および 1 との交
点を求め,その間の間隔で立ち上がり時間を近似する
15
理想低域通過フィルタ(3)
 = 0 におけるステップ応答の値
1 1
1
 0 = + S  0 − 0 =
2 
2
よって遅れ時間は
周波数  のとき

 = 0 =
位相が  遅れる

遅れ時間の定義
積分正弦関数の1次近似

2
  =
1− +⋯
3!
0

 ≅
1  = 
0
16
理想低域通過フィルタ(4)
 = 0 における接線
1  ( − 0 )
= +
2

0 との交点
1  (0 − 0 )

+
= 0 ∴ 0 = 0 −
2

2
1 との交点
1  (1 − 0 )

+
= 1 ∴ 1 = 0 +
2

2
よって,立上がり時間は

 ≅ 1 − 0 =

17
理想低域通過フィルタ(5)
理想低域通過フィルタの時間応答


 =
,
 =


• 帯域幅(遮断周波数)  が広いほど,基本
的に応答は速くなる
• 遮断周波数における位相遅れ  が分かれ
ば,遅れ時間を具体的に計算できる
18
例題(1)
閉ループ伝達関数   =
1
2 +2+1
ボード線図から
遮断周波数
 ≅ 0.7[rad/sec]
位相
 ≅ −70° =
− 1.2 [rad]
Octaveで描い
たボード線図
19
例題(2)
遅れ時間・立上り時間の概略値
 =


=
1.2
0.7
≅ 1.7 sec
 =


=

0.7
≅ 4.5 sec
ステップ応答から
読み取ると
 ≅ 1.6 sec
 ≅ 3.5 sec
Octaveで描い
たステップ応答
20
問
下記のゲイン特性・位相特性から遅れ時間・立
上り時間の概略値を求めよ.
(注) 遮断周波数付近が見やすいように,意図的に線形軸で描いてある
21
ニコルス線図(1)
安定性
ナイキスト線図を用いると,開ループ伝達関
数 () だけから安定性の判別ができる.閉
ループ伝達関数  () を計算しなくとも良い.
過渡応答についても同様に計算したい
ニコルス線図
22
ニコルス線図(2)
開ループ伝達関数
  =  + 
閉ループ伝達関数
()
  =
=  
1 + ()
 
 =   =
1 +  
()
 = ∠  = ∠
1 + ()
23
ニコルス線図(3)
()
 + 
  =
=
1 + () 1 +  + 
2 +  2
(1 + )2 + 2
=
 の式を変形すると
−
中心  =
2
1 − 2
2
,
1−2
2

2
+ =
1 − 2
= 0 ,半径

1−2
2
の円の式
開ループ伝達関数の実部・虚部と閉ループ伝達関
数のゲインの関係 ⇒ 円という作図しやすい形
24
ニコルス線図(4)
同様に
 = tan
−1

2 +  +  2
 = tan() とすると

 ++ − =0

2
2
1
1
2 + 1
+
+ −
=
2
2
4 2
2
中心  =
1
− ,
2
2
=
1
2
,半径
2 +1
2
の円
25
ニコルス線図(5)
=1
Im
 = 1.5
 = 2/3
=2
−1
 軌跡
 = 0.5
0
Re
ナイキスト線図
複素平面に予め  一定の軌跡( 軌跡)を描いておくと,
開ループ伝達関数のナイキスト線図と 軌跡の交わると
ころで閉ループ伝達関数のゲインが分かる
同様に  軌跡とナイキスト線図の交点から位相が分かる
26
ニコルス線図(6)
ニコルス線図
ゲイン位相線図に同様に 軌跡, 軌跡を
書き込んだもの
予めM軌跡・N軌跡を
書き込んだ用紙が売
られている
MATLABなどにはM軌
跡・N軌跡を書き込ん
だグラフを作成するコ
マンドがある
(nicholschart)
27
例題(1)
開ループ伝達関数   =
100
 2 +3+2
開ループの軌跡
が角周波数0.17
と0.33の間でニコ
ルス線図の0dB
ラインを越えるの
で,閉ループは
ピークを持つ
閉ループの遮断
角周波数は2.4
付近,その時の
位相は−160°を
少し超える
28
例題(2)
閉ループ伝達関数   =
()
1+()
=
100
 2 +3+102
29
練習問題
直結フィードバック制御系の開ループ伝達関数
が
1
  =
( + 2)
であるとき,以下の問いに答えよ.
1. 閉ループ伝達関数  () を計算せよ.
2.  () の遮断周波数を求め,立上り時間 
の概略値を計算せよ.
30
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第9回講義資料