電磁流体力学
第2回
「MHDの概念」
花田 和明
レポートの回答
• 静電場は渦なしであることを示せ。
r
E = −∇φ
r
∇ × E = −∇ × ∇φ = 0
レポートの回答
球座標の微分ベクトル演算子を求めよ。
z
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
θ
z = r cos θ
y
φ
x
球座標2
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
dx = sin θ cos φdr + r cos θ cos φdθ − r sin θ sin φdφ
dy = sin θ sin φdr + r cos θ sin φdθ + r sin θ cos φdφ
dz = cos θdr − r sin θdθ
球座標3
ds = (h11dq1 ) + ( h22 dq2 ) + (h33dq3 )
2
2
2
2
から
dx + dy + dz = dr + r dθ + r sin θdφ
2
2
したがって、
h11 = 1
h22 = r
h33 = r sin θ
2
2
2
2
2
2
2
球座標4
∂φ r
∂φ r
∂φ r
b1 +
b2 +
b3
∇φ =
h11∂q1
h22∂q2
h33∂q3
から、
r
∂ϕ
∂ϕ r ∂ϕ r
∇ϕ =
br +
bθ +
bφ
∂r
r∂θ
r sin θ∂φ
球座標5
r
∇ ⋅V =
1
h11h22 h33
 ∂

∂
∂
(V1h22 h33 ) +
(V2 h11h33 ) +
(V3h11h22 )

∂q2
∂q3
 ∂q1

から、
r
∇ ⋅V =
1
r 2 sin θ
∂Vφ 

∂ 2
∂
sin θ ∂r ( r Vr ) + r ∂θ (Vθ sin θ ) + r ∂φ 


さらに
1
∇ ⋅ ∇ϕ = 2
r sin θ

1 ∂ 2ϕ 
∂
∂ϕ
∂ 2 ∂ϕ
)+
(sin θ
)+
sin θ (r
2
sin
∂
θ
θ
φ
∂
∂
θ
∂
∂
r
r


球座標6
r
h11b1
r
∂
1
∇ ×V =
h11h22 h33 ∂q1
h11V1
r
h22b2
∂
∂q2
h22V2
から、
r
br
r ∂
∇ ×V =
∂r
Vr
r
rbθ
∂
∂θ
rVθ
r
r sin θbφ
∂
∂φ
r sin θVφ
r
h33b3
∂
∂q3
h33V3
MHD方程式の導出手順
•
•
•
•
•
•
単一荷電粒子の電磁場中での運動
分布関数の導入
ボルツマン方程式の導出
2流体方程式
1流体方程式
MHD方程式
単一荷電粒子の運動1
定常電場中での運動
r
r
dv
m
= qE
dt
z
電場 E
y
m,q
x
d 2z
m 2 = qE z
dt
z (t ) = qE z t 2 + v z (0)t + z (0)
単一荷電粒子の運動2
定常磁場中での運動
r
r r
dv
= q (v × B )
m
dt
磁場 B z
m,q
x
dvx
= qv y Bz
m
dt
dv y
m
= −qv x Bz
dt
y
2
2
d vx
 qBz 
2
=
−
Ω
v
vx
=
−


x
2
dt
 m 
v x = v x (0) exp(iΩt )
単一荷電粒子の運動3
定常電磁場中での運動
r
z
r r r
d
v
磁場 B
m
= q ( E + v × B)
dt
m,q
x
電場 E
r
r
r r
dv
m
= q ((v − vdrift ) × B)
dt
r r
r
E×B
y vdrift =
B2
個々の粒子の運動方程式
mj
r
dv j
dt
r
r r
= q ( E j (qik , vik , t ) + v j × B j (qik , vik , t ))
J番目の粒子の運動方程式は外部から与えられる
電磁場以外にもJ番目以外の荷電粒子の運動に
よって生じる電磁場を感じる。電磁気力は遠距離力
であるため離れた粒子間にも影響を与える。
このような方程式を多数の粒子に関して解くことは
非常に困難である。
位相空間
ある粒子の位相空間での位置が、正準変数
(q1 , q2 , q3 , p1 , p2 , p3 )
で表現できるとすると、ハミルトニアンを用いて、
dqi ∂H (qi , pi , t )
=
∂pi
dt
∂H (qi , pi , t )
dpi
=−
∂qi
dt
という式で運動を表現することができる。
位相空間2
位相空間での微小体積の時間変化は、
d (δp1 )
d∆ d (δq1 )
δq2δq3δp1δp2δp3 +
δq1δq2δq3δp2δp3 + L
=
dt
dt
dt
ここで
∂H
∂2H
d (δq1 )
dq1
=δ
=δ
=
δq1
∂p1 ∂q1∂p1
dt
dt
すると、
d∆
∂2H
∂2H r r
= ∑(
−
)δqδp = 0
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
dt
i
位相空間3
位相空間内の有限な領域内の各点が正準方程式に従って
変化(運動)するとき位相空間の体積は変化しない。
これをリューヴィユの定理と呼ぶ。
微小体積中の粒子数を、
r r
r r
f (q , p, t )δqδp
と書くと、
r r
df (q , p, t )
=0
dt
dqi ∂f dpi ∂f
∂f
)=0
+ ∑(
+
dt ∂qi dt ∂pi
∂t
i
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式
電磁場を記述する相対論的ハミルトニアンは、
r 2 12
r
H = c( m c + ( p − qA) ) + qφ
2 2
0
pi = m0γvi + qAi
γ ≡ (1 − v 2 c 2 ) −1 2
と書くことができる。
ここで
r
r
∂A
E = −∇φ −
∂t
r
r
B = ∇× A
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式2
dpi
∂H
q
=−
=−
dt
m0γ
∂qi
∂Ak
∂φ
∑k ∂q ( pk − qAk ) − q ∂q
i
i
ここで、ベクトルポテンシャルAはq,tの関数であることに注意
pk − qAk = m0γvk
を用いて、
∂Ak
dpi
∂φ
vk − q
= −q∑
dt
∂qi
k ∂qi
r 2 12
r
H = c(m c + ( p − qA) ) + qφ
2 2
0
pi = m0γvi + qAi
γ ≡ (1 − v 2 c 2 ) −1 2
r 2 12
r
2 2
(m0 c + ( p − qA) ) = m0 cγ
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式3
dpi
∂φ
∂Ak
vk − q
= −q∑
dt
∂qi
k ∂qi
について
左辺第一項は、
∑ vk
k
∂A
∂A
∂Ak 
∂A ∂A
∂A ∂A 
∂A
= − v2 ( 1 − 2 ) + v3 ( 3 − 1 ) + v1 1 + v2 1 + v3 1
∂q1
∂q2
∂q3
∂q1 
∂q2 ∂q1
∂q1 ∂q3 
[
] [
]
r
r
r
r
∂Ak
∑k vk ∂q = v × (∇ × A) i + (v ⋅ ∇) A i
i
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式4
dqi ∂H
=
= vi
dt ∂pi
ここで、ベクトルポテンシャルAは位置qと時間tの
関数であることに注意
r 2 12
r
H = c(m c + ( p − qA) ) + qφ
2 2
0
pi = m0γvi + qAi
γ ≡ (1 − v c )
r 2 12
r
2 2
(m0 c + ( p − qA) ) = m0 cγ
2
2 −1 2
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式5
dqi ∂f dpi ∂f
∂f
+
)=0
+ ∑(
∂t
dt ∂qi dt ∂pi
i
に代入すると、
[
]
r
r
r
r
∂f
∂f
∂f
+ ∑ (vi
− q v × (∇ × A) + (v ⋅ ∇) A + ∇φ i
)=0
∂t
∂qi
∂pi
i
ここでfはp,q,tの関数である。
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式6
[
]
r
r
r
r
∂f
∂f
∂f
− q v × (∇ × A) + (v ⋅ ∇) A + ∇φ i
)=0
+ ∑ (vi
∂t
∂qi
∂pi
i
ここでf(p,q,t)をf(v,q,t)に変数変換する。
r r
r r
r r
∂f ( p, q , t )
∂f (v , q , t ) ∂vk ∂f (v , q , t )
=∑
+
∂qi
∂vk
∂qi
∂qi
k
r r
r r
∂f ( p, q , t )
∂f (v , q , t ) ∂vk
=∑
∂pi
∂vk
∂pi
k
r r
r r
r r
∂f ( p, q , t )
∂f (v , q , t ) ∂vk ∂f (v , q , t )
=∑
+
∂t
∂vk
∂t
∂t
k
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式7
∂γ
∂ pk − qAk
∂Ak
1
∂vk
+ ( pk − qAk )
=
(
) = − 2 2 (m0γq
)
∂qi
∂qi
∂qi ∂qi
m0γ
m0 γ
ここで、
1
∂
∂γ
(1 + 2 2
=
∂qi ∂qi
m0 c
2 12
(
)
−
p
qA
∑ k k )
k
−q
∂Ak −1
(
)
p
qA
γ
=
k −
k
2 2 ∑
∂qi
m0 c k
を用いると、
q
∂vk
=
∂qi m0γ
vk v j ∂A j
∑j (δ jk − c 2 ) ∂q
i
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式8
∂ pk − qAk
∂vk
1
vk vi
=
(
)=−
(δ ik − 2 )
∂pi ∂pi
m0γ
m0γ
c
∂vk
q
=−
∂t
m0γ
v j vk ∂A j
∑j (δ jk − c 2 ) ∂t
r 2 12
r
H = c(m c + ( p − qA) ) + qφ
2 2
0
pi = m0γvi + qAi
γ ≡ (1 − v c )
r 2 12
r
2 2
(m0 c + ( p − qA) ) = m0 cγ
2
2 −1 2
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式9
[
]
r
r
r
r
∂f
∂f
∂f
− q v × (∇ × A) + (v ⋅ ∇) A + ∇φ i
)=0
+ ∑ (vi
∂qi
∂pi
∂t
i
変数変換を行うと、
∂f ∂vk
∂f
∂f ∂vk
∂f
+ ∑[
+ ∑ vi ∑
+ ∑ vi
+∑
∂qi
∂t k ∂vk ∂t
i
i
k ∂vk ∂qi
i
ここで、
∂f ∂vk
∂f
∂vk
vi
∑i vi ∑k ∂v ∂q = ∑
∂qi
i , k ∂vk
k
i
を用いて整理すると
] ∑ ∂f
i k
∂vk
=0
∂vk ∂pi
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式10
∂f ∂vk
∂f
∂f ∂vk
∂f
+ ∑[
+ ∑ vi ∑
+ ∑ vi
+∑
∂qi
∂t k ∂vk ∂t
i
i
k ∂vk ∂qi
i
] ∑ ∂f
i k
∂vk
=0
∂vk ∂pi
は、
∂f
∂f ∂vk
∂f
∂f  ∂vk
+∑
+ ∑ vi
+∑
+[
vi
∂t k ∂vk ∂t
∂qi i ,k ∂vk  ∂qi
i
]i
∂vk 
=0
∂pi 
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式11
∂f
∂f ∂vk
∂f
∂f  ∂vk
+∑
+ ∑ vi
+∑
+[
vi
∂t k ∂vk ∂t
∂qi i ,k ∂vk  ∂qi
i
]i
∂vk 
=0
∂pi 
となる。ここで
∂vk
∂f
∂f
−q
=∑
vi
vi
∑
∂qi i ,k ∂vk m0γ
i , k ∂vk
と、
[
]
∂A j
∑ ∂q
j
i
r ∂vk
r
∂f
∂f q
q (v ⋅ ∇ ) A
=∑
∑
∂pi i ,k ∂vk m0γ
i , k ∂vk
は、キャンセルされて
(δ jk −
v j vk
c
2
)
vi vk
∂Ai
∑j v j ∂q (δ ik − c 2 )
j
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式12
[
]
r
r
∂f  ∂vk
∂f
∂f
 ∂vk
δ ik
=0
+ q v × (∇ × A) − ∇φ i 
+∑
+ ∑ vi

∂t
∂qi i ,k ∂vk 
∂t
 ∂pi
i
となる。ここで
∂vk
vi vk
∂f
∂f − q ∂Ai
(δ ik − 2 )
δ ik
=∑
∑
c
∂t
i , k ∂vk
i , k ∂vk m0γ ∂t
から、
Fi ∂f
vi vk
∂f
∂f
(δ ik − 2 ) = 0
+∑
+ ∑ vi
c
∂qi i , k m0γ ∂vk
∂t
i
r
r
r
r
r r r
∂A
F = q (v × (∇ × A) − ∇φ − ) = q (v × B + E )
∂t
電磁場中の荷電粒子の運動を
表現する方程式13
非相対論の場合、
γ →1
v2
→0
2
c
を用いて、
r
F
∂f v
+ v ⋅ ∇r f +
⋅ ∇v f = 0
m0
∂t
これをブラソフ(Vlasov)方程式という。
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