数理解析
I 問題解説 #9 河野
D(x, y)
D(u, v)
及び
を求めよ。
D(u, v)
D(x, y)
(1) x = v 2 , y = u2
(2) x = u2 − v 2 , y = 2uv
(3) x = u cos v, y = u sin v
(4) x = u, y = u + v
演習問題 2.4
次の場合に
D(u, v)
D(x, y)
D(u, v)
を直接求めることは難しいので,最初に
を求めて,逆行列を求めることにより,
を
D(x, y)
D(u, v)
D(x, y)
D(x, y)
求める。ヤコビ行列は変数の順序が変わると別のヤコビ行列になる。順序を間違えないこと。
でいうと,
D(u, v)
独立変数が左から右へ u, v ,従属変数は縦に x, y となる。
∂x
∂x
∂y
∂y
(1)
= 0,
= 2v,
= 2u,
= 0 なので
∂u
∂v
∂u
∂v


∂x
∂x
Ã
!
 ∂u

0
2v
D(x, y)
∂v
=
= 
 ∂y
D(u, v)
∂y 
2u 0
∂u
∂v
となる。
D(u, v)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(x, y)
D(u, v)
µ
D(u, v)
D(x, y)
D(x, y)
D(u, v)
=
0
2u
2v
0
!−1

 0
= 1
2v

1
2u 

0
Ã
!
u v
D(u, v)
1
,
=
D(x, y)
2(u2 + v 2 )
−v u


Ã
!
cos
v
sin
v
cos v −u sin v
D(x, y)
D(u, v)
(3)
=
,
=
sin v
cos v 
D(u, v)
D(x, y)
sin v
u cos v
−
u
u
Ã
!
Ã
!
1 0
1 0
D(x, y)
D(u, v)
(4)
=
,
=
D(u, v)
D(x, y)
1 1
−1 1
Ã
!
!
Ã
a b
d
−b
1
逆行列の求め方が分からない人へ: A =
の逆行列は A−1 =
で与えられる。こ
ad − bc
c d
−c
a
Ã
!
Ã
!
p
q
1
0
れを忘れたときは次の様に定義に基づいて逆行列を計算できる。A−1 =
とおくと,AA−1 =
r s
0 1
D(x, y)
(2)
=
D(u, v)
Ã
=
Ã
¶−1
2u
2v
−2v
2u
!
より連立 1 次方程式
ap + br = 1, aq + bs = 0, cp + dr = 0, cq + ds = 1
を得る。これを解くと p =
d
−b
−c
a
,q =
,r =
,d =
が分かる。
ad − bc
ad − bc
ad − bc
ad − bc
∂z ∂z ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z
,
,
,
,
を求めよ。
∂s ∂t ∂s2 ∂t2 ∂s∂t
(1) z = x + y 2 ,s = x + y, t = xy
(2) z = x + y,s = x2 + y 2 , t = x2 y 2
(3) z = x + y, s = x2 + y 2 , t = xy
(4) z = x + y, s = x2 − y 2 , t = 2xy
演習問題 2.5
次の関数に対し
(5) z = xy, s = x, t = x + y
D(s, t)
(1)
=
D(x, y)
Ã
1 1
y x
(6) z = xy, s = x cos y, t = x sin y
!
である。
D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)

x
D(x, y)

x
−
y
=
y
D(s, t)
−
x−y
µ
D(z)
∂z
となる。一方
= (1 2 y) であり,
D(x, y)
∂s
µ
である。また
∂z
∂s
∂z
∂t
¶
=
∂z
∂t
¶

1
x−y 

1
x−y
D(z)
D(z) D(x, y)
=
なので
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
=
D(z)
=
D(s, t)
−
µ
x − 2 y2
x−y
が成立している。
zss
zts
Ã
を得る。
D(s, y)
(2)
=
D(x, y)
Ã
2x
2 x y2
zst
ztt
zss
zts

y (−1 + 2 y)
4 x y − 2 y2 − x
−


D(zs , zt )
(x − y)2
(x − y)2

=


−1 + 2 y
2x − 1
D(x, y)
−
2
2
(x − y)
(x − y)
!
D(zs , zt )
D(zs , zt ) D(x, y)
=
に代入して
=
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
!
zst
ztt
2y
2 x2 y

−x + 4 x y − y

(x − y)3

2 (−1 + y + x) 
(x − y)3

2 y (−x + 3 x y − y 2 )

(x − y)3
=

−x + 4 x y − y
−
(x − y)3
!
である。
−
D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)

x
 2 (x2 − y 2 )
D(x, y)
=

y
D(s, t)
−
2
2 (x − y 2 )
µ
³
´
D(z)
∂z
= 1 1 であり,
D(x, y)
∂s
µ
である。また
¶

Ã
となる。一方
−1 + 2 y
x−y
∂z
∂s
∂z
∂t
¶
=
∂z
∂t
D(z)
=
D(s, t)

µ
¶
=

2 x (x2 − y 2 ) 


1
2
2
2 y (x − y )
D(z)
D(z) D(x, y)
=
なので
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
1
2 (x + y) x y
1
2 (x + y)
1

2
(x
+
y)2
D(zs , zt )
=

2x + y
D(x, y)
−
2 (x + y)2 x2 y
−
1
−
¶

1

2 (x + y)2


2y + x
−
2
2
2 (x + y) x y
−
Ã
が成立している。
zss
zts
Ã
を得る。
D(s, y)
=
(3)
D(x, y)
Ã
!
zst
ztt
2x 2y
y
x
=
zss
zts
D(zs , zt )
D(zs , zt ) D(x, y)
=
に代入して
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
zst
ztt
!
!
である。

1

4 (x + y)3
=

1
−
4 (x + y)3 x y
−
x
− y2 )
D(x, y)

=
y
D(s, t)
−
2
2 (x − y 2 )
2 (x2
µ
³
´
∂z
D(z)
= 1 1 であり,
D(x, y)
∂s
µ
∂z
∂s
∂z
∂t
¶
=
である。また
∂z
∂t
¶
D(z)
=
D(s, t)
µ
が成立している。
!
=
Ã
を得る。
D(s, y)
(4)
=
D(x, y)
Ã
2 x −2 y
2y 2x
zss
zts
zst
ztt
!
である。
!

µ
³
´
D(z)
∂z
= 1 1 であり,
D(x, y)
∂s
∂z
∂t
¶

1
2 (x + y)3 


1
−
3
(x + y)
−
D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)
x
+ y2 )
D(x, y)

=
y
D(s, t)
−
2
2 (x + y 2 )
∂z
∂s
¶
−
1

4
(x
+
y)3
=

1
−
2 (x + y)3
−
2 (x2
µ
1
x+y
D(zs , zt ) D(x, y)
D(zs , zt )
=
に代入して
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)

となる。一方
x2

1
2 (x + y)2 


1
−
2
(x + y)
1

2
(x
+
y)2
D(zs , zt )
=

1
D(x, y)
−
(x + y)2
zst
ztt

y
2
−y 

x
2
2
x −y
−
1
2 (x + y)
−
zss
zts



D(z)
D(z) D(x, y)
=
なので
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
=

Ã

D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)

となる。一方
1
4 (x + y)3 x y
x2 + 3 x y + y 2
−
4 (x + y)3 y 3 x3
−
∂z
∂t
D(z)
=
=
D(s, t)
µ
¶
=

y
2
+y ) 

x
2
2
2 (x + y )
2 (x2
D(z)
D(z) D(x, y)
=
なので
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
x−y
2 (x2 + y 2 )
x+y
2 (x2 + y 2 )
¶
である。また


x2 − y 2 + 2 x y
x2 − y 2 − 2 x y
−

2 (x2 + y 2 )2
2 (x2 + y 2 )2 
D(zs , zt )

=
2
2
2

D(x, y)
x − y + 2xy
x − y2 − 2 x y 
−
2 (x2 + y 2 )2
2 (x2 + y 2 )2
!
zst
D(zs , zt )
D(zs , zt ) D(x, y)
=
=
に代入して
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
ztt
−
Ã
が成立している。
Ã
を得る。
D(s, y)
=
(5)
D(x, y)
zss
zts
Ã
1
1
zss
zts
!
zst
ztt
0
1

−3 x2 y + y 3 − 3 x y 2 + x3

4 (x2 + y 2 )3
=

3 x2 y − y 3 − 3 x y 2 + x3
−
4 (x2 + y 2 )3
−
!
である。
D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)
D(x, y)
=
D(s, t)
となる。一方
³
D(z)
= y
D(x, y)
´
x
µ
∂z
であり,
∂s
µ
∂z
∂s
∂z
∂t
¶
=
Ã
∂z
∂t
D(zs , zt )
=
D(x, y)
が成立している。
zss
zts
zst
ztt
!
=
D(s, y)
(6)
=
D(x, y)
となる。一方
Ã
cos y
sin y
−x sin y
x cos y
³
D(z)
= y
D(x, y)
µ
∂z
∂s
¶
=
!
D(z)
D(z) D(x, y)
=
なので
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
Ã
−1 1
1 0
!
D(zs , zt ) D(x, y)
D(zs , zt )
=
に代入して
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
Ã
を得る。
1 0
−1 1
³
´
D(z)
= y−x x
D(s, t)
である。また
Ã

3 x2 y − y 3 − 3 x y 2 + x3

4 (x2 + y 2 )3

2
3
2
3 
−3 x y + y − 3 x y + x
4 (x2 + y 2 )3
−
zss
zts
!
である。
zst
ztt
!
Ã
=
−2
1
1
0
!
D(x, y)
D(x, y)
は
の逆行列なので
D(s, t)
D(s, t)


cos y
sin y
D(x, y)
=
sin y
cos y 
D(s, t)
−
x
x
µ
¶
´
∂z ∂z
D(z)
D(z) D(x, y)
=
=
なので
x であり,
∂s ∂t
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
∂z
∂t
¶
=
³
D(z)
= y cos y − sin y
D(s, t)
´
y sin y + cos y
である。また
D(zs , zt )
=
D(x, y)
Ã
が成立している。
zss
zts
zst
ztt
!
Ã
=
Ã
0 −y sin y
0 y cos y
!
D(zs , zt )
D(zs , zt ) D(x, y)
=
に代入して
D(s, t)
D(x, y) D(s, t)
zss
zts
zst
ztt
!

y sin2 y

x
=

y sin y cos y
−
x
−

y sin y cos y

x


y cos2 y
x
を得る。
演習問題 2.6
x = r cos θ, y = r sin θ とする (2 次元の極座標表示)。ヤコビ行列
D(x, y)
およびヤコビアン
D(r, θ)
∂(x, y)
を計算し,関数 z = f (x, y) に対し次を示せ。
∂(r, θ)
µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2
∂z
∂z
∂z
1 ∂z
(1)
+
=
+
∂x
∂y
∂r
r ∂θ
∂2z
∂2z
∂2z
1 ∂z
1 ∂2z
(2)
+
=
+
+ 2
∂x2
∂y 2
∂r2
r ∂r
r ∂θ2

∂x
 ∂r
D(x, y)
=
ヤコビ行列は
 ∂y
D(r, θ)
∂r

∂x
Ã
cos θ
∂θ 
=

∂y
sin θ
∂θ
−r sin θ
r cos θ
!
である。
D(x, y)
∂(x, y)
= det
なので
∂(r, θ)
D(r, θ)
¡
¢
∂(x, y)
= cos θ × r cos θ − (−r sin θ) × sin θ = r cos2 θ + sin2 θ = r
∂(r, θ)
である。
∂z
∂z ∂x
∂z ∂y ∂z
∂z ∂x
∂z ∂y
(1)
=
+
,
=
+
なので
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r ∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂z
∂z
∂z
=
cos θ +
sin θ,
∂r
∂x
∂y
∂z
∂z
∂z
=−
r sin θ +
r cos θ
∂θ
∂x
∂y
となる。よって
µ
∂z
∂r
µ
¶2
+
1 ∂z
r ∂θ
¶2
µ
¶2 µ
¶2
∂z
∂z
∂z
∂z
=
cos θ +
sin θ + −
sin θ +
cos θ
∂x
∂y
∂x
∂y
¶2
µ
¶2
µ
∂z ∂z
∂z
∂z
2
cos θ + 2
cos θ sin θ +
sin2 θ
=
∂x
∂x ∂y
∂y
µ
¶2
µ
¶2
∂z ∂z
∂z
∂z
2
sin θ − 2
cos2 θ
+
cos θ sin θ +
∂x
∂x ∂y
∂y
µ
¶2 µ
¶2
∂z
∂z
=
+
∂x
∂y
(1)
となる。
(2) 式 (1) より
∂2z
∂r2
µ
∂
∂r
=
∂z
∂r
¶
∂
∂r
=
µ
∂z
∂z
cos θ +
sin θ
∂x
∂y
¶
=
∂
∂r
µ
∂z
∂x
¶
cos θ +
∂
∂r
µ
∂z
∂y
¶
sin θ
となるが,
µ
∂
∂r
µ
∂
∂r
¶
∂z
∂x
=
∂
∂x
=
∂
∂x
∂2z
∂r2
=
¶
∂z
∂y
µ
µ
∂z
∂x
∂z
∂y
¶
¶
∂x
∂
+
∂r
∂y
∂x
∂
+
∂r
∂y
µ
µ
∂z
∂x
∂z
∂y
¶
¶
∂y
∂2z
∂2z
=
cos
θ
+
sin θ
∂r
∂x2
∂x∂y
∂y
∂2z
∂2z
=
cos θ +
sin θ
∂r
∂x∂y
∂y 2
を代入して
を得る。計算の途中で
∂2z
∂2z
∂2z
cos2 θ + 2
cos θ sin θ +
sin2 θ
2
∂x
∂x∂y
∂y 2
∂2z
∂2z
=
を使った。
∂x∂y
∂y∂x
同様に式 (1) より
∂2z
∂θ2
¶
∂z
∂z
=
−
r sin θ +
r cos θ
∂x
∂y
µ
¶
µ
¶
∂
∂z
∂z
∂
∂z
∂z
= −
r sin θ −
r cos θ +
r cos θ −
r sin θ
∂θ
∂x
∂x
∂θ
∂y
∂y
∂
∂θ
µ
となるが,
∂
∂θ
∂
∂θ
µ
µ
∂z
∂x
∂z
∂y
¶
=
∂
∂x
=
∂
∂x
¶
µ
µ
∂z
∂x
∂z
∂y
¶
¶
∂x
∂
+
∂θ
∂y
∂x
∂
+
∂θ
∂y
µ
µ
∂z
∂x
∂z
∂y
¶
¶
∂y
∂2z
∂2z
= − 2 r sin θ +
r cos θ
∂θ
∂x
∂x∂y
∂y
∂2z
∂2z
=−
r sin θ +
r cos θ
∂θ
∂x∂t
∂y 2
を代入して
∂2z
∂θ2
=
∂2z 2 2
∂2z 2
∂z
∂2z 2
∂z
r
sin
θ
−
2
r cos2 θ −
r
sin
θ
cos
θ
+
r cos θ −
r sin θ
∂x2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂y
を得る。よって
1 ∂2z
∂2z
+ 2
2
∂r
r ∂θ2
を得る。
=
¢
¢
∂2z ¡ 2
∂2z ¡ 2
1
cos θ + sin2 θ +
sin θ + cos2 θ −
2
2
∂x
∂y
r
=
∂2z
1 ∂z
∂2z
+
−
2
2
∂x
∂y
r ∂r
µ
∂z
∂z
cos θ +
sin θ
∂x
∂y
¶
演習問題 2.7
(1) x = u cos α − v sin α, y = u sin α + v cos α (α は定数) のとき次を示せ。
1) zx2 + zy2 = zu2 + zv2
2) zxx + zyy = zuu + zvv
(2) x + y = eu+v , x − y = eu−v に対し zxx − zyy = e−2u (zuu − zvv ) が成立することを示せ。
(3) x + y = u, y = uv ならば xzxx + yzxy + zx = uzuu − vzuv + zu となる事を示せ。
(1) x を u で微分すると xu = cos α,v で微分すると xv = − sin α を得る。同様に yu = sin α, yv = cos α とな
る。合成関数の微分法より
zu
= zx xu + zy yu
zv
= zx xv + zy yv
が得られる。これを用いて zu2 + zv2 を計算すると
zu2 + zv2
=
(zx cos α − zy sin α)2 + (zx sin α + zy cos α)2
= zx2 cos2 α − 2zx zy cos α sin α + zy2 sin2 α + zx2 + 2zx zy sin α cos α + zy2 cos2 α
= zx2 (cos2 α + sin2 α) + zy2 (cos2 α + sin2 α)
= zx2 + zy2
となる。
zu = zx xu + zy yu を u で微分すると,積の微分法より
(zu )u = (zx )u xu + zx (xu )u + (zy )u yu + zy (yu )u
となる。xu , yu は定数なので (xu )u = 0, (yu )u = 0 である。また (zx )u , (zy )u に合成関数の微分法をもう一度適用
すると,(zx )u = (zx )x xu + (zx )y yu , (zy )u = (zy )x xu + (zy )y yu となる。よってこれらを前式に代入すると
zuu = zxx x2u + 2zxy xu yu + zyy yu2 = zxx cos2 α + 2zxy cos α sin α + zyy sin2 α
が得られる。ただし計算途中で zxy = zyx を使用した。同様に zvv を計算すると
zvv = zxx sin2 α − 2zxy cos α sin α + zyy cos2 α
となり, これらを加えると
zuu + zvv = zxx (cos2 α + sin2 α) + zyy (cos2 α + sin2 α) = zxx + zyy
となる。
(2) x =
eu+v − eu−v
eu+v + eu−v
,y =
なので
2
2
D(x, y)
=
D(u, v)
Ã
x y
y x
!
となる。
zu = zx xu + zy yu = zx x + zy y
を u で微分すると
∂
∂
(zx x) +
(zy y)
∂u
∂u
= (zx )u x + zx xu + (zy )u y + zy yu
zuu
=
= (zxx xu + zxy yu ) x + zx x + (zyx xu + zyy yu ) y + zy y
= zxx x2 + 2zxt xy + zyy y 2 + zx x + zy y
となる。
zv = zx xv + zy yv = zx y + zy x
を v で微分すると
zvv
= (zx )v y + zx yv + (zy )v x + zy xv
=
(zxx xv + zxy yv ) y + zx x + (zyx xv + zyy yv ) x + zy y
= zxx y 2 + 2zxy xy + zyy x2 + zx x + zy y
となる。よって zuu − zv v = (zxx − zyy )(x2 − y 2 ) となるが,x2 − y 2 = e2u なので式が証明された。
(3) x = u − y = u − uv なので
D(x, y)
=
D(u, v)
Ã
1−v
v
−u
u
!
である。
zu = zx xu + zu uy = zx (1 − v) + zy v
を u で微分すると
zuu
= (zu )u (1 − v) + (zy )u v
= (zxx xu + zxy yu ) (1 − v) + (zyx xu + zyy yu ) v
= zxx (1 − v)2 + 2zxy u(1 − v) + zyy v 2
であり,zu を v で微分すると
zuv
=
(zx )v (1 − v) + zx (1 − v)v + (zy )v v + zy vv
=
(zxx xv + zxy yv ) (1 − v) − zx + (zyx xv + zyy yv ) v + zy
= −zxx u(1 − v) + zxy u(1 − v) − zxy uv + zyy uv − zx + zy
となる。よって
uzuu − vzuv + zu
= zxx u(1 − v)2 + 2zxy uv(1 − v) + zyy uv 2 + zxx uv(1 − v) − zxy uv(1 − v)
+zxy uv 2 − zyy uv 2 + zx v − zy v + zx (1 − v) + zy v
= zxx u(1 − v) + zxy uv + zx
= xzxx + yzyy + zx
が得られる。
演習問題 2.8
次の関数の偏導関数を求めよ。
(1) w = f (x, y, z) = x2 y 3 z 4
2
(3) ex
3
+y +z
(2) w = xyz sin(x2 + y 2 + z 2 )
4
(4) x2 y 3 log(x2 + y 3 + z 4 )
この問題に解説は不必要でしょう。この問題を解けない人は早急に その状態を脱する事!
D(x, y, z)
D(u, v, w)
及び
を求めよ。
D(u, v, w)
D(x, y, z)
(1) x = v 2 , y = w2 , z = u2
(2) x = u2 − v 2 + w2 , y = 2uv, z = 2vw
(3) x = u cos v, y = u sin v, z = u + w
(4) x = u, y = u + v, z = u + v + w
演習問題 2.9
次の場合に
3 次行列の逆行列を求める部分を除けば問題は解けると思います。
(1)

 
xu xv xw
0 2v
D(x, y, z)

 
=  yu yv yw  =  0
0
D(u, v, w)
zu zv zw
2u 0

a b

(1) のみ逆行列を求める計算を記す。逆行列を B =  d e
g h

0

 0
2u
2v
0
0

0

2w 
0

c

f  とおくと
i

 
0
a b c
1

 
2w  d e f  =  0
0
g h i
0
0
1
0

0

0 
1
となるので,a, b, c, d, e, f, g, h, i は連立 1 次方程式
2vd = 1, 2ve = 0, 2vf = 0, 2wg = 0, 2wh = 1, 2wi = 0, 2ua = 0, 2ub = 0, 2uc = 1
の解なので
a = 0, b = 0, c =
1
1
1
,d =
, e = 0, f = 0, g = 0, h =
,i = 0
2u
2v
2w
となる (ここで u 6= 0, v 6= 0, w 6= 0 として計算した)。線形解析で学ぶ 3 次行列の逆行列の計算方法を知っている
ものはそれを用いて計算しても,勿論よい。よって

0


 1
D(u, v, w)
=
 2v
D(x, y, z)


0
0
0
1
2w

1
2u 


0 



0
である。
(2)

xu
D(x, y, z)

=  yu
D(u, v, w)
zu
xv
yv
zv
 
2u
xw
 
yw  =  2 v
0
zw
−2 v
2u
2w

0

0 
2v
なので



D(u, v, w)

=

D(x, y, z)

u
2 (u2 + v 2 )
v
−
2 (u2 + v 2 )
w
2 (u2 + v 2 )
v
2 (u2 + v 2 )
u
2 (u2 + v 2 )
wu
−
2 v (u2 + v 2 )
0
0
1
2v







である。
(3)

xu
D(x, y, z)

=  yu
D(u, v, w)
zu
なので
 
cos v
xw
 
yw  =  sin v
1
zw
xv
yv
zv


D(u, v, w)

=
D(x, y, z)

cos v
sin v
−
u
sin v
cos v
u
− cos v
− sin v
−u sin v
u cos v
0
0

0

0 
1


0 


1
である。
(4)

xu
D(x, y, z)

=  yu
D(u, v, w)
zu
なので
xv
yv
zv
 
xw
1 0
 
yw  =  1 1
zw
1 1

0

0 
1


1
0 0
D(u, v, w)


=  −1
1 0 
D(x, y, z)
0 −1 1
である。
∂w ∂w ∂w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w
,
,
,
,
,
,
を求めよ。
∂s ∂t ∂u ∂s2 ∂t2 ∂u2 ∂s∂t
2
3
(1) w == x + y + z ,x + y + z = s, xy + yz + zx = t, xyz = u
(2) w = x + y + z,x2 + y 2 + z 2 = s, xy 2 z = t, xy + yz + zx = u
演習問題 2.10
次の関数に対し
(1) この問題はタイプミスで計算が少々2 面倒な問題になってしまいました。根性のある人はがんばってください。
ない人は w = x3 + y 3 + z 3 と変更して計算してください。解説は元の問題です。

1
D(s, t, u)

= y+z
D(x, y, z)
yz
1
x+z
zx

1

x+y 
xy
なので




D(x, y, z)

=

D(s, t, u)


x2
−x y + y z + x2 − z x
y2
−
x y − z x − y2 + y z
z2
x y − z x − y z + z2
となる。
x
−x y + y z + x2 − z x
y
x y − z x − y2 + y z
z
−
x y − z x − y z + z2
−
³
D(w)
= 1 2y
D(x, y, z)
1
−x y + y z + x2 − z x
1
−
x y − z x − y2 + y z
1
x y − z x − y z + z2









´
3 z2
なので
D(w)
D(s, t, u)
D(w) D(x, y, z)
D(x, y, z) D(s, t, u)
µ 3
2 y z − 2 y 3 x + x2 y − 3 z 4 y − z x2 + 3 z 4 x −2 y 2 z + 2 x y 2 − x y + 3 y z 3 + z x − 3 z 3 x
=
,
,
(x y − z x − y z + z 2 ) (x − y)
(x y − z x − y z + z 2 ) (x − y)
¶
2 x y − y − 2 y z + 3 y z2 + z − 3 z2 x
−
(x y − z x − y z + z 2 ) (x − y)
=
となる。これを微分すると
2x2 y 3 + 2y 3 z 2 − 4xy 3 z − 3z 4 y 2 − x2 y 2 + 2xy 2 z − 2xyz 2 + 6z 4 xy − 3z 4 x2 + z 2 x2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx − yz + z 2 )
∂2w
∂x∂s
=
∂2w
∂y∂s
= −
2x2 yz − x2 y 2 + 4x2 y 3 − z 2 x2 + 3z 4 x2 − 6x2 y 2 z + 6xy 2 z 2 − 2xy 4 − 6z 4 xy − 4y 3 z 2 + 3z 4 y 2 + 2y 4 z
((x − y)2 (y − z)(xy − zx − yz + z 2 )
∂2w
∂z∂s
= −
2x2 yz − 4xy 3 z + 12z 3 xy 2 − 12z 3 x2 y − z 2 x2 − x2 y 2 + 2y 3 z 2 + 2x2 y 3 − 9z 4 y 2 + 6z 5 y + 9z 4 x2 − 6xz 5
(xy − zx − yz + z 2 )2 (x − y)
∂2w
∂x∂t
= −
y 2 z − 4xy 2 z − 3y 2 z 3 + 2y 2 z 2 + 2x2 y 2 − yz 2 − x2 y + 6yz 3 x − 3z 3 x2 + zx2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx − yz + z 2 )
∂2w
∂y∂t
=
−4x2 yz + 2x2 y 2 + 3z 3 x2 + 2xyz − 6yz 3 x + 4xyz 2 − xy 2 − z 2 x + 3y 2 z 3 − 2y 2 z 2
(x − y)2 (y − z)(xy − zx − yz + z 2 )
∂2w
∂z∂t
=
3z 4 y − 4xy 2 z − 9yz 2 x2 + 9xy 2 z 2 + 2x2 y 2 − xy 2 + 2y 2 z 2 − 6y 2 z 3 + 6z 3 x2 − 3z 4 x + 2xyz − z 2 x
(xy − zx − yz + z 2 )2 (x − y)
∂2w
∂x∂u
=
y 2 − 3y 2 z 2 − 2xy + 2yz 2 + 2x2 y + 6xyz 2 − 4xyz + 2zx − 3z 2 x2 − z 2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx − yz + z 2 )
∂2w
∂y∂u
= −
∂2w
∂z∂u
=
3z 2 x2 − 2zx2 + 2z 2 x + 2xy 2 − 6xyz 2 − z 2 − 2y 2 z + 2yz − y 2 + 3y 2 z 2
(x − y)2 (y − z)(xy − zx − yz + z 2 )
6x2 yz − 6xy 2 z − 3z 2 x2 + 3y 2 z 2 − 2x2 y + y 2 − 2yz + 4xyz − 2yz 2 + z 2
(xy − zx − yz + z 2 )2 (x − y)
なので,
∂2w
∂s2
∂2w
∂s∂t
∂2w
∂s∂u
∂2w
∂t2
∂2w
∂t∂u
∂2w
∂u2
=
(−4xy 3 z + 2y 3 x2 + 2y 3 z 2 − 3z 4 y 2 + 2xy 2 z − x2 y 2 + 6xz 4 y − 2xyz 2 − 3z 4 x2 + z 2 x2 )x2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
+
(4y 3 x2 + 2x2 yz − x2 y 2 − 6x2 y 2 z + 3z 4 x2 − z 2 x2 − 2xy 4 − 6xz 4 y + 6xy 2 z 2 + 2y 4 z + 3z 4 y 2 − 4y 3 z 2 )y 2
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
−
(2x2 yz − 12x2 yz 3 − x2 y 2 − z 2 x2 − 9z 4 y 2 + 6z 5 y + 2y 3 z 2 − 4xy 3 z − 6xz 5 + 12y 2 z 3 x + 2y 3 x2 + 9z 4 x2 )z 2
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
(−4xy 3 z + 2y 3 x2 + 2y 3 z 2 − 3z 4 y 2 + 2xy 2 z − x2 y 2 + 6xz 4 y − 2xyz 2 − 3z 4 x2 + z 2 x2 )x
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
= −
=
=
−
(4y 3 x2 + 2x2 yz − x2 y 2 − 6x2 y 2 z + 3z 4 x2 − z 2 x2 − 2xy 4 − 6xz 4 y + 6xy 2 z 2 + 2y 4 z + 3z 4 y 2 − 4y 3 z 2 )y
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
+
(2x2 yz − 12x2 yz 3 − x2 y 2 − z 2 x2 − 9z 4 y 2 + 6z 5 y + 2y 3 z 2 − 4xy 3 z − 6xz 5 + 12y 2 z 3 x + 2y 3 x2 + 9z 4 x2 )z
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
−4xy 3 z + 2y 3 x2 + 2y 3 z 2 − 3z 4 y 2 + 2xy 2 z − x2 y 2 + 6xz 4 y − 2xyz 2 − 3z 4 x2 + z 2 x2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
+
(4y 3 x2 + 2x2 yz − x2 y 2 − 6x2 y 2 z + 3z 4 x2 − z 2 x2 − 2xy 4 − 6xz 4 y + 6xy 2 z 2 + 2y 4 z + 3z 4 y 2 − 4y 3 z 2 )
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
−
(2x2 yz − 12x2 yz 3 − x2 y 2 − z 2 x2 − 9z 4 y 2 + 6z 5 y + 2y 3 z 2 − 4xy 3 z − 6xz 5 + 12y 2 z 3 x + 2y 3 x2 + 9z 4 x2 )
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
(y 2 z − 4xy 2 z + 2x2 y 2 − 3y 2 z 3 + 2y 2 z 2 − x2 y − yz 2 + 6xyz 3 − 3z 3 x2 + zx2 )x
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
+
(3z 3 x2 − 4x2 yz + 2x2 y 2 − 6xyz 3 + 4xyz 2 + 2xyz − z 2 x − xy 2 + 3y 2 z 3 − 2y 2 z 2 )y
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
−
(2xyz − 4xy 2 z − xy 2 − z 2 x + 2x2 y 2 + 2y 2 z 2 + 3z 4 y − 9x2 yz 2 + 9xy 2 z 2 − 3xz 4 + 6z 3 x2 − 6y 2 z 3 )z
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
= −
=
y 2 z − 4xy 2 z + 2x2 y 2 − 3y 2 z 3 + 2y 2 z 2 − x2 y − yz 2 + 6xyz 3 − 3z 3 x2 + zx2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
−
3z 3 x2 − 4x2 yz + 2x2 y 2 − 6xyz 3 + 4xyz 2 + 2xyz − z 2 x − xy 2 + 3y 2 z 3 − 2y 2 z 2
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
+
(2xyz − 4xy 2 z − xy 2 − z 2 x + 2x2 y 2 + 2y 2 z 2 + 3z 4 y − 9x2 yz 2 + 9xy 2 z 2 − 3xz 4 + 6z 3 x2 − 6y 2 z 3 )
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
−3y 2 z 2 + y 2 − 2xy + 2x2 y + 2yz 2 − 4xyz + 6xyz 2 + 2zx − 3z 2 x2 − z 2
(x − y)2 (x − z)(xy − zx + z 2 − yz)(−xy + yz + x2 − zx)
+
3z 2 x2 − 2zx2 + 2xy 2 + 2z 2 x − 6xyz 2 − z 2 + 2yz − 2y 2 z − y 2 + 3y 2 z 2
(x − y)2 (y − z)(xy − zx + z 2 − yz)(xy − zx − y 2 + yz)
+
4xyz − 2yz − 6xy 2 z + 6x2 yz − 2x2 y − 2yz 2 + z 2 + y 2 − 3z 2 x2 + 3y 2 z 2
(xy − zx + z 2 − yz)3 (x − y)
となる。
w = x3 + y 3 + z 3 とした場合の計算を結果のみ記しておく。
D(x, y, z)
D(s, t, u)
および
は同じである。
D(s, t, u)
D(x, y, z)
³
D(w)
D(s, t, u)
´
3 x2 + 3 x y + 3 z x + 3 y 2 + 3 y z + 3 z 2
=

6x + 6y + 6z

= 
−3
0
D(ws , wt , wu )
D(s, t, u)
−3 x − 3 y − 3 z
3

−3 0

0 0 
0 0
となる。
演習問題 2.11
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ とする (3 次元の極座標表示)。関数 w = f (x, y, z)
に対し次を示せ。
∂(x, y, z)
(1) ヤコビアン
を計算せよ。
∂(r, θ, ϕ)
µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2 µ
¶2
∂w
∂w
∂w
∂w
1 ∂w
1
∂w
(2)
+
+
=
+
+
∂x
∂y
∂z
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
µ
¶
∂2w
∂2w
∂2w
∂2w
2 ∂w
1
∂
∂w
1
∂2w
(3)
+
+
=
+
+
sin
θ
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂r2
r ∂r
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂ϕ2


a b c


3 次行列 A =  d e f  に対しその行列式は
g h i
det A = aei + dhc + gbf − gec − dbi − ahf
であるということは知っているとする。
(1)

∂x
 ∂r

 ∂y
D(x, y, z)

=
 ∂r
D(r, θ, ϕ)

 ∂z
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂θ
∂z
∂θ

∂x

∂ϕ 

sin θ cos ϕ

∂y  
 =  sin θ sin ϕ
∂ϕ 

cos θ
∂z 
∂ϕ
r cos θ cos ϕ
r cos θ sin ϕ
−r sin θ
なので
∂(x, y, z)
∂(r, θ, ϕ)
µ
=
det
D(x, y, z)
D(r, θ, ϕ)
¶
= r2 sin θ
となる。
(2)
D(w)
D(w) D(x, y, z)
=
D(r, θ, ϕ)
D(x, y, z) D(r, θ, ϕ)

−r sin θ sin ϕ

r sin θ cos ϕ 
0
なので
∂w
∂r
∂w
∂θ
∂w
∂ϕ
∂w
∂w
∂w
sin θ cos ϕ +
sin θ sin ϕ +
cos θ
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
=
r cos θ cos ϕ +
r cos θ sin ϕ −
r sin θ
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
= −
r sin θ sin ϕ +
r sin θ cos ϕ
∂x
∂y
=
となる。
∂w
∂r
1 ∂w
r ∂θ
1
∂w
r sin θ ∂ϕ
∂w
∂w
∂w
sin θ cos ϕ +
sin θ sin ϕ +
cos θ
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
=
cos θ cos ϕ +
cos θ sin ϕ −
sin θ
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
= −
sin ϕ +
cos ϕ
∂x
∂y
=
となるので,各式を 2 乗して加えると
µ
∂w
∂r
¶2
µ
+
1 ∂w
r ∂θ
¶2
µ
+
1
∂w
r sin θ ∂ϕ
¶2
µ
=
∂w
∂x
¶2
µ
+
∂w
∂y
¶2
µ
+
∂w
∂z
¶2
が成立する。
(3) wr = wx xr + wy yr + wz zr を r で微分して
wrr
= (wx )r xr + wx xrr + (wy )r yr + wy yrr + (wz )r zr + wz zrr
= (wxx xr + wxy yr + wxz zr )xr + wx xrr + (wyx xr + wyy yr + wyz zr )yr
+wy yrr + (wzx xr + wzy yr + wzz zr )zr + wz zrr
= wxx x2r + wyy yr2 + wzz zr2 + 2wxy xr yr + 2wyz yr zr + 2wxz xr zr + wx xrr + wy yrr + wz zrr
を得る。同様に wϕϕ ,(sin θwθ )θ を計算し,wrr +
と求める式が得られる。
2
1
1
wr + 2
+ (sin θwθ )θ + 2 2 wϕϕ の計算を実行する
r
r sin θ
r sin θ
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演習問題解説 #9