『第7回ブラックホール磁気圏勉強会』研究会@熊本大学 2014.3.3--3.5
幾何学的に薄い降着円盤が作る
磁気圏構造
高橋 真聡 (愛教大)
2014年3月4日火曜日
ヘルクレス座A (3C348)
ケンタウルス座A (NGC5128)
http://www.wired.com/wiredscience/
2009/01/spectacular-new/
http://www.nationalgeographic.co.jp/news/
news_article.php?file_id=2012120305
Relativistic
Jets
おとめ座A (M87)
2014年3月4日火曜日
http://hubblesite.org/gallery/
album/pr2000020a/
http://home.hiroshimau.ac.jp/hasc/news/3c279/
Where is the black hole power
transported to?
Relativistic Jet : Its origin is still unknown.
Hada et al. (2011)
2014年3月4日火曜日
(左上段左)Sloan Digital Sky Suvey, (左上段右) NASA and the Hubble Heritage Team, (右)国立天文台/AND You Inc.
BH magnetosphere
Magnetic Field Lines
Outflows
BH
Accretion Disk
MHD Shock
Inflows
Energy Flux
MHD accretion
with Jet formation
1!!F
1!H BH
Accretion
Disk
Magnetic
Field
Lines
powered by BZ process !? "!#!1!!!#!!1!
F
H
Maeda et al (2014)
2014年3月4日火曜日
Maeda et al
M87 jet
When the Alfven point locates inside the Ergosphere,
Energy Extraction from Rotating BH
by MHD Inflows is possible.
fluid part
EM part
ΩF
E(Ψ) = µut −
Bφ
4πη
−
Negative
energy
inflow
+/−
gas accretion
−
BZ process
Energy Flux
1F
1 H BH
Accretion
Disk
Magnetic
Field
Lines
0 < 1H < 1F
This situation would be possible
in the BH magnetosphere
( magnetically dominated off-equatorial region ).
2014年3月4日火曜日
(see M. Takahashi, et al. 1990)
F
Outflow
Magnetic field
Astronomical phenomena
Black Hole
BH
torus
Accreting plasma
inner Light surface
AGN/X-ray binary
GRB
bag
outer Light surface
A
S
Q : Where is the BZ-power transported to?
Jets or Disk&Wind ?
2014年3月4日火曜日
Q : Jets or Disk ?
→ Structure of the magnetosphere is
very important !
Energy extraction from BH,
→ the strength of Magnetic fields
at the Event Horizon
→
the distribution of Angular velocity
of the magnetic fields
2014年3月4日火曜日
Einstein-Maxwell eq.
第1章
4
Black Hole and Magnetic F
Maxwell’s
Equations on NP form (公式集、see, Petterson(1975) )
線形化したマクスウェル方程式
* Maxwell’s equations
F[µν,σ] = 0 ,
F µν ;ν = J µ
* Vector potential Aµ
Fµν = Aν;µ − Aµ;ν = Aν,µ − Aµ,ν
* Electromagnetic field Fµν → (φ0 , φ1 , φ2 )
φ0
= Fµν "µ mν ,
φ1
= (1/2)Fµν ("µ nν + m∗ µ mν ) ,
(
φ2
= Fµν m∗ µ nν .
(
ここで、"、n、m、m∗ は null vectors of an NP (Newman & Penrose 1962) tetrad であ
" · n = 1、 m · m∗ = −1、他の内積はゼロ、の関係がある。メトリックとの関係は、
g µν = "µ nν + nµ "ν − mµ m∗ν − m∗µ mν ,
となる。直交テトラード (e0 , e1 , e2 , e3 ) との関連は、
2014年3月4日火曜日
(
1 d 現れる
0
2 dRspin
Maxwell’s
equations
coefficient
−
(" (−
1)("と微分オペレータは、
+see,
2)R
Electromagnetic field φ0 ∆
の求め方 (2)
公式集、
Petterson(1975)
)
0 =0 ,
∆ dr** dr
**
公式をここに
* φ0 = R0 (r)S(θ) とおいて !
Maxwell’s equation
" % を変数分離する: &
(1.2
Einstein-Maxwell
eq.
1 d
dS
1
sin θ
+ "(" + 1) −
S=0.
!
"
(1.2
1 d
dR0
2
2
sin θ dθ (NP
dθ −は、
sin0 , θ
∆ form)
(" − 1)("
+ 2)R0 となる。
=
(1.25)
* Maxwell’s equations
****
∆ dr
dr
Kerr 時空、定常•軸対称の真空磁気圏
!
" %
&
dS 2
2 −1/2 1
さらに、R(r) = ∆1/2 R0 (r), u1= d(r −
M
)(M
−
a
r 方向につい
sin θ
+ "(" +) 1) − と変数変換すると、
S=0.
(1.26)
2
θ dθφ0 の求め方
dθ
sin θ see, Petterson(1975) )
Electromagnetic sin
field
(2) (公式集、
の方程式は
% equation
&
2
*
φ
=
R
(r)S(θ)
とおいて
Maxwell’s
を変数分離する:
1/2
2
2
−1/2
0 R(r)0= ∆
さらに、
R02(r),
)(M − a )
と変数変換すると、
r 方向について
d uR= (r − M
dR
1
(1 − u ) 2 − 2u
+ ""(" + 1) −
=0
(1.2
!
2
の方程式は
du 12 d dudR0%
1 −&u
2
dR
1 + 2)R0 = 0 ,
2 d R
∆
−
("
−
1)("
(1 − u )∆ dr
− 2u dr
+ "(" + 1) −
=0
(1.27)
2
2
と書き直せる。また、θ 方向についても
x
=
cos
θ
とおくと、同様の方程式が得られる。こ
du
!du
" % 1−u
&
1 d x = cosdS
1
と書き直せる。また、
θ
とおくと、同様の方程式が得られる。この
ように、これらの
r 方向とθ θ方向についても
方向の方程式は、どちらも同じく
Legendre
方程式になって
sin θ
+ "(" + 1) −
S
=
0.
2
sin
θ dθ
dθ
sin Legendre
θ方程式になってい
ように、これらの
r
方向と
θ
方向の方程式は、どちらも同じく
Legendre
る。ただし、それぞれの変数の適用範囲は異なっている。この解は、
多項式を用
る。ただし、それぞれの変数の適用範囲は異なっている。この解は、
Legendre 多項式を用い
1/2
2
2 −1/2
て書き表すことが出来て、
さらに、R(r) = ∆
R0 (r), u = (r − M )(M − a )
て書き表すことが出来て、
の方程式は
∞
%
&
'
∞
√
(
)
2(
'
√ −1/2
)
dα
R P 11(u)dR
−1/2
1 1 (u) 1 P 1 (cos1θ) ,
2
φ0 =φ0 = (12∆
+
β
Q
P!!2u
(u) + β+
P!1)
(cos
! ! (u)
! +
!−θ) ,
!Q
−2∆
u ) 2α! !−
"("
=0
2
du
!=1 !=1
と書き直せる。また、θ 方向についても
となる。
となる。
と変数変換すると、r 方向に
du
1−u
(1.28)
(1.2
x = cos θ とおくと、同様の方程式が得られる
さらに、
φ1 , φ2 を求めてr [see,
Petterson
(1975)]、Fµν が得られる。これを積分して
ベクトル
ように、これらの
方向と
θ 方向の方程式は、どちらも同じく
Legendre
方程式にな
さらに、φ1 , φ2 を求めて [see, Petterson (1975)]、Fµν が得られる。これを積分して ベクト
ポテンシャル
Aµ を求めることができる。
る。ただし、それぞれの変数の適用範囲は異なっている。この解は、
Legendre 多項式
ポテンシャル Aµ を求めることができる。
て書き表すことが出来て、
∞
' √Aµ (r, θ) の解のみ示そう。メトリックの符号は
(
) 1
さて、以下では、ベクトルポテンシャル
(− + ++)
2014年3月4日火曜日
−1/2
1
1
w
rH − M
,
∆(r0 )
= (1/r0 )(2πIa − q) .
≡
α
BH-Disk
vacuum Mag.
t
(1.51)
(1.52)
* the outer solution
P! ⇐⇒ Q!
30
100
25
20
1.2.6
80
Black Hole–Disk solution 60
(a = 0)
15
ブラックホールの周りの Thin Disk が作る磁場分布の解は、
Tomimatsu & Takahashi (2001) に
40
10
より得られている。磁場の源として
Thin Disk に流れる電流を考えるが、Thin Disk に内端があ
20
ることを考慮し、赤道面上
r > rin 領域にトロイダル電流分布(リング状電流の重ね合わせ)を与
5
える。おのおののリング状電流が作る磁場をベクトルポテンシャルの多重極展開として表し、それ
0
0
らを重ね合わせて得た磁気圏解を得ている。このとき、ブラックホール表面と遠方で発散しない条
0
20
40
60
80
100
5
0
10
15
20
25
30
件を要請している (図 1.2 参照)。
% %
(W + 1)2 π 1
Ψ(R, Z) = 4Ψ0 W0
F (χ, φ) , dχdφ ,
W
0
ζ
√
where ζ = Z/W (= cos θ) and W ≡ R2 + Z 2 (= r). The function F is defined as follows:
)
*
&
(
3 '
1 1
1
+'
F (χ, φ) = F (y) ≡ 3
1 + y2 − 1 −
,
2
y
y 2
1+y
'
where y ≡ (W/W0 )(χ + i 1 − χ2 cos φ) .
2014年3月4日火曜日
10
BH-MFL by a Ring
current
1
Black Hole and Magnetic Fields
第
章
the inner solution :
At
Aφ
=
=
αt −
rQ
−
Σ
∞ "
!
∆
!=1
Σ
(Moss 2011)
P!,r (u)P! (cos θ)(r α!r − a cos θ α!i )
#
a
1
r
i
+ P! (u) sin θP! (cos θ)(a cos θ α! + r α! ) ,
Σ
∞ "
!
arQ
a∆
2
sin θ +
P!,r (u)P! (u) sin2 θ(r α!r − a cos θ α!i )
Σ
Σ
!=1
r2 + a2
∆
1
r
i
+
P! (u) sin θP! (cos θ)(a cos θ α! + r α! ) −
P!,r (u)P!1 (cos θ) sin θ α!i
Σ
#(# + 1)
where
2014年3月4日火曜日
α!r
=
α!i
=
u
≡
w
≡
αt
=
# + 1/2 1 4πaI − 2q
Q!,r (u0 )P! (0) ,
#(# + 1) w
r0
"
$
2
2
# + 1/2 1 4πI(r0 + a ) − 2aq
4πI
Q! (u0 ) −
Q!,r (u0 ) P!1 (0) ,
#(# + 1) w
r0 ∆(r0 )
#(# + 1)
r−M
,
rH − M
rH − M
,
∆(r0 )
(1/r0 )(2πIa − q) .
$
,
Moss’s loop mag. field
Legendre function
P� (u)
Q� (u)
の無限和で記述される
しかし、収束性が悪く
(振動する)使えない?
� = 16 までの和
2014年3月4日火曜日
Koide’s model
図 1.2: Thin Disk を伴う真空磁気圏 (Tomimatsu & Takahashi 2001): この磁気圏の磁場は2つの
領域 (内側に Loop field + 外側に Open field ) に分離されている所が興味深い。BH を貫く磁力
線は、内端より外側に離れたディスク面につながる。十分遠方では放射状になる。
Wald solution
◎
Newtonian ring current
θ = π/2 での境界条件 (current
J(r) 分布) についてまとめること。
1.92
5
0.16
5
1.28
0.0043
0.64
4
4
1.44
2.24
0.32
3
1.2.7
3
0.96
0.0129
A simple model of Black Hole–Disk Magnetic field
0.0172
1.76
0.0258
2
2
* from Koide
et al.1.12(2006)
0.48
0.0387
Wald’s
uniform magnetic field solution + nonrelativistic
loop-shaped
magnetic field solution
0.0559
0.0473
0
0.0344
2.08
1
by an equatorial
ring current.
�0.16
0.8 of the ring current
�0.48 location
R0 : the
0 �0.64 �0.8�0.32
0
1
Aφ (r, θ) =
0.0688
2
3
0 0.0086
4
Auniform
φ
loop
A
φ,nonrela
Auniform
φ,nonrela
0.0731
0.0602
0.0516
1.6
5
0.0301
0.0645
1
0
0.0817
1
0.0774
2
3
0.043
0.0215
4
5
!
"
#
"
#
2
2
A/Σ
4a r I R0 (2 − k )K(k) − 2E(k)
√
=
1−
,
2
r
A
π X
k
where A ≡ (r2 +a2 )2 −∆a2 sin2 θ, Σ ≡ r2 +a2 cos2 θ, X ≡ R02 +r2 +2R0 r sin θ, k 2 ≡ 4R0 r sin θ/X,
and
$ π/2
$ π/2 !
dθ
!
K(k) ≡ K(π/2, k) =
, E(k) ≡ K(π/2, k) =
1 − k 2 sin2 θ dθ .
0
0
1 − k 2 sin2 θ
2014年3月4日火曜日
Koide’s model
a = 0.8m, n = 1, r0 = 2m
5
a = 0.8m, n = 20, r0 (r) > 3m
�0.066
�0.033
10
0.0054
�0.099
4
8
0.0108
�0.132
3
6
0.0162
�0.165
0
�0.198
4
2
0.027
0.0432
0.0324
1 0
0.0648
�0.264
0.0486
�0.0054
�0.0324
�0.0162
0
0.0108 �0.0216
�0.027
00.0054
1
0.033
0.066
2
�0.297
0.165
0.054
�0.0108
0
�0.231
0
0.0378
0.0594
0.0702
2
3
0.0216
4
5
�0.033
0 �0.066
�0.132
�0.165
�0.099
0�0.198
0
1.0
�0.363
0.132
�0.33
0.099
2
4
6
8
10
0.8
uniform + ring current
0.6
0.4
uniform + disk current
電流分布
0.2
2
�0.2
2014年3月4日火曜日
�0.4
4
6
8
10
眞榮田さんへ (Ver. 2)
高橋真聡 です (2013.08.23)
BZ Flux (1)
BH 地平面における各物理量の θ 依存性について、シミュレーション結果を考察する参
考として、簡単な磁場形状モデルを適応させてみました。複雑に見えるグラフをシンプル
に理解できるかもしれません。
(1) Poynting-flux (r-compornant):
E (r, θ) ≡ T
r
where
√
r
t
E θ Bφ
= "0 √
−g
−g = Σ sin θ , Σ = r2 + a2 cos2 θ and Eθ = ΩF Fθφ = ΩF Aφ,θ .
(2) The boundary condition at the horizon : toroidal compornent of magnetic fields
BφH [Ψ(θ)]
2 + a2 ) sin θ
(rH
= (ωH − ΩF )
(Aφ,θ )H
ΣH
(3) Blandford-Znajek Power (Poynting-flux at the horizon):
2 + a2 )
(r
r
EH
[Ψ(θ)] = "0 ΩF (ωH − ΩF ) H 2
(Aφ,θ )2H
ΣH
—————
(4) BZ Power の θ 依存性について: 2014年3月4日火曜日
BH spin a は given として、以下の2つの分布が数値シミュレーションによって得
Models for BZ-power
Strength of Mag. at EH
Bp [Aφ (θ)]
A: Uniform magnetic field
B: Diploe magnetic field
C: Black Hole--Disk
magnetic field
Distributions of ΩF (θ)
ΩF (θ) = constant
ΩF (θ) = C sin(θ)
(i) C > ωH
(ii) C < ωH
ΩF (θ) = ΩKepler (r)
θ = 0 ↔ r = rmax
θ = π/2 ↔ r = rmin
2014年3月4日火曜日
Angular velocity ΩF (θ) (red) and factor ΩF (ωH − ΩF ) (green) ;
(i) constant (ΩF = OM × ωH )
(ii) ΩF = OM × ωH sin θ
(iii) ΩF = OM × ωH sin2 θ
0.3
ΩF
0.3
"bz-flux.d" u 1:2
"bz-flux.d" u 1:3
0.8/(2*(1+sqrt(1-0.8*0.8)))
0
0.25
BZ Flux (2)
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
ΩF (ωH − ΩF )
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
OM = 0.3
-0.05
0
-0.1
0
0.5
1
0.5π
1.5
2
0.3
2.5
3
θ
π
-0.1
3.5
0
0.5
1
1.5
2
0.3
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
0
OM = 0.7
3
3.5
OM = 1.05
-0.05
-0.1
2.5
"bz-flux.d" u 1:2
"bz-flux.d" u 1:3
0.8/(2*(1+sqrt(1-0.8*0.8)))
0
0.25
0.2
-0.05
OM = 0.5
-0.05
"bz-flux.d" u 1:2
"bz-flux.d" u 1:3
0.8/(2*(1+sqrt(1-0.8*0.8)))
0
0.25
"bz-flux.d" u 1:2
"bz-flux.d" u 1:3
0.8/(2*(1+sqrt(1-0.8*0.8)))
0
-0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
(Top/Left)OM=0.3、(Top/Right)OM=0.5、(Bottom/Left)OM=0.7、(Bot-
2014年3月4日火曜日
(b) 磁場分布:Aφ,θ (rH , θ) で与える。B0 は回転軸上での Aφ,θ 値とする。
BZ Flux (3)
(i) split-monopole magnetic fields : Aφ (θ) = B0 cos(θ)
(Aφ,θ )H /|B0 | = sin θ ( 0 < θ < θ0 < 0.5π)
(Aφ,θ )H /|B0 | = sin θ0 cos[(θ − θ0 )/(1 − 2θ0 /π)]
(Aφ,θ )H /|B0 | = − sin θ ( π − θ0 < θ < π)
0.2
H
Bφ
0.008
"bz-flux.d" u 1:3
0
OM = 0.5
0.15
0.1
a = 0.8m
"bz-flux.d" u 1:4
0
0.007
0.006
r
EH
0.05
0.005
0
0.004
-0.05
0.003
-0.1
0.002
-0.15
0.001
-0.2
0
0.5
1
1.5
θ
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
θ
2
2.5
0.0035
"bz-flux.d" u 1:3
0
OM = 1.05
0.06
OM = 0.5
0
2
0.08
BφH
( θ0 < θ < π − θ 0 )
3
3.5
"bz-flux.d" u 1:4
0
0.003
0.0025
r
EH
0.04
0.002
0.0015
0.02
0.001
0
0.0005
-0.02
0
-0.0005
-0.04
OM = 1.05
-0.001
-0.06
-0.0015
-0.08
0
2014年3月4日火曜日
0.5
1
1.5
θ
-0.002
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
θ
2
2.5
3
3.5
(ii) uniform magnetic fields : Aφ (θ) =
!
(Aφ,θ )H =
B0
2 (gφφ
Q
2M
"
B0
2 (gφφ,θ )H + aB0 −
2 + a2 )3 sin θ cos θ,
(gφφ,θ )H = Σ22 (rH
H
4M arH 2
(gtφ,θ )H = Σ2 (rH + a2 ) sin θ cos θ
+ 2agtφ ) −
Q
2M gtφ
BZ Flux (4)
(gtφ,θ )H
a = 0.8m
H
0.6
BφH
0.04
"bz-flux.d" u 1:3
0
OM = 0.5
0.4
"bz-flux.d" u 1:4
0
0.035
0.03
r
EH
0.2
0.025
0
0.02
0.015
-0.2
0.01
OM = 0.5
-0.4
0.005
-0.6
0
0.5
1
1.5
θ
0
2
2.5
0.25
3.5
OM = 1.2
0.15
0
0.5
1
1.5
θ
2
2.5
0.04
"bz-flux.d" u 1:3
0
0.2
BφH
3
3
3.5
"bz-flux.d" u 1:4
0
0.03
r
EH
0.02
0.1
0.01
0.05
0
0
-0.01
-0.05
-0.02
-0.1
-0.04
-0.2
-0.25
0
2014年3月4日火曜日
OM = 1.2
-0.03
-0.15
0.5
1
1.5
θ
-0.05
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
θ
2
2.5
3
3.5
BZ Flux (5)
•
中緯度領域に出て行く!
今回の図参照
•
極域には流れていかない
r
EH
•
赤道面方向には流れない(赤道面対称性より)
(Bφ )π/2 ∼ 0
BH 地平面から出たあとは?
Jets
Disk activity
ΩF � ω H
∝ sin θ
一様磁場の場合、 ΩF
の
大きい理由は無い!?
ΩF ∼ ΩK (r) ∼ constant
r
この時の は狭い範囲に限定される
ΩF ∼ ΩK (r) < ωH が実現していると円盤にエネルギー輸送
2014年3月4日火曜日
GRMHDシミュレーション Maeda+ 2014
BH+降着円盤+磁気圏 のシステム
A
B:バースト時 C:準定常状態
5.0x10
-11
2.0x10
-11
4.0x10
-11
1.5x10
-11
3.0x10
-11
2.0x10
-11
1.0x10
-11
1.0x10
-11
5.0x10
-12
0
0.0x10
0
(Br)2
(a)
0.0x10
磁場強度
(c)
#F($H - #F)
0.025
FE, Average
B
(d)
角速度
0.020
0.015
0.025
0.020
0.015
0.010
0.010
0.005
0.005
0.000
0.000
7.0x10
-12
3.5x10
-13
6.0x10
-12
3.0x10
-13
5.0x10
-12
2.5x10
-13
4.0x10
-12
2.0x10
-13
3.0x10
-12
2.0x10
-12
1.5x10
-13
1.0x10
-13
1.0x10
-12
5.0x10
-14
0
0.0x10
0
0.0x10
-1.0x10
C
(b)
(e)
(f)
BZパワー
-12
0.1
北極
0.3
0.5
!/"
赤道
0.7
0.9
南極
0.1
0.3
北極
0.5
!/"
0.7
赤道
0.9
-5.0x10
-14
南極
Fig. 10. model B, mesh 512*512, 磁場 1 倍計算の地平面上での分布図。左列が初期 burstt =
での平均、右列が終状態期 t = 15000 − 20000 での平均。
外向きの電磁気的エネルギーフラックスの 分布を調べた。赤道方向にピーク!
降着円盤の活動性に磁気的影響を与える!
2014年3月4日火曜日
まとめ
•
BZ 機構の天体現象への応用研究が増えつつある。
•
BZ Power を如何に観測可能なエネルギーに転換す
るかの研究は未開拓。
Jet power, HE radiation, Cosmic ray, etc
•
周辺環境への波及効果
Disk structure, Magnetic activity,
2014年3月4日火曜日
Jet structure, etc
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幾何学的に薄い降着円盤が作る磁気圏構造 / 高橋 真聡