大学院物理システム工学専攻2004年度
固体材料物性第7回
-光と磁気の現象論(2)-
佐藤勝昭
ナノ未来科学研究拠点
復習コーナー
第6回に学んだこと
 光と磁気の現象論(1)
 円偏光と磁気光学効果
 光と物質の結びつき
 誘電率テンソル
質問コーナー(1)
 誘電率テンソルの対角とは何ですか(M)
 A:添え字がxx, yy, zzのように対角線上に来るものを
対角成分、xy, yz, zxのように対角線上にないものを
非対角成分といいます。
 異方性がある場合の誘電率テンソルはどのよう
に考えればよいのでしょう(H)
 A: 1軸異方性があり、対称軸に平行な磁化がある場
合は、等方性の場合と同じですが、任意の方向を向
いているときは、全ての非対角成分が有限の値をとり
ます。
質問コーナー(2)
 偏光の本をちらっと見た程度なのですが、偏光を
ジョーンズベクトルと?ベクトルの2種類で表すこ
とができると書いてあったような気がするのです
が。(O)
 A:ジョーンズベクトルとストークスベクトルでしょう。光
学の世界では、これらの標記がよく使われます。いく
つもの光学素子の組み合わせのとき、素子に対応す
るジョーンズ行列、ストークス行列の積で表されるの
で形式的にきれいだし便利です。でも、意味がわから
なくなるといけないのでここでは、その表記法は用い
ません。
質問コーナー(3)
 誘電率テンソルの量をどのように測定するのです
か。(M)
 A: 対角成分は普通のオプティクスで、n、κを求め、
εxx’=n2-κ2, εxx”=2nκによって求めます。非対角成分に
ついては、回転角θ、楕円率ηと光学定数n,κとを用い
て計算で求めます。
 これについては、あとで触れます。光と磁気改訂版
p58 問題3.12
質問コーナー(4)
 電子分極の周波数領域では比透磁率は1とでき
るとのことでしたが、ワニエ励起子生成の場合は
どの領域ですか(I)
 A: 非磁性半導体の励起子を考えている限り、比透
磁率は1として扱うことができます。磁性半導体でも、
バンドギャップ領域では、強磁性共鳴の周波数(GHz
領域)より十分周波数が高いので比透磁率は1です。
第7回に学ぶこと
 光の伝搬とマクスウェルの方程式
 固有解:波動解、固有値:複素屈折率
 ファラデー配置の場合の固有値と固有状態
 2つの固有値と対応する固有状態(円偏光)
 フォークト配置の場合の固有値と固有状態
 磁気誘起の複屈折
 ファラデー効果の現象論
 ファラデー効果と誘電率テンソル
マクスウェルの方程式
 光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界ベク
トルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、次の
関係が成立する。
B
rot E  
t
D
rot H 
J
t
(3.17)
(SI単位系)
マクスウェル方程式をEとHで表す
 簡単のため, J=0と置く。[伝導電流を分極電流
(変位電流)の中に繰り込む]
 BとH、DとEの関係式
B  μ0 H
D~
εε E
0
を代入して、式(3.17)は次のように書き変えられる。
H
rot E    0
t
E
~
rot H  ε  0
t
(3.18)
誘電率テンソル
平面波の解を仮定する
 波数ベクトルKとして

E  E 0 exp(it )  exp(iK  r )
H  H 0 exp(it )  exp(iK  r )
(3.19)
 ここにE0,H0は時間や距離に依存しない定数ベクトルで
ある。この式を式(3.18)に代入すると、

K  E  ωμ0 H
K  H  ω~
ε ε0 E
 となる。
固有方程式
 両式からHを消去し、固有
方程式として
2~
2
(E  K )K  K E  ( / c)  E  0
(3.20)
が得られる。問題3.1参照
KH  K
1
0
(K  E) 
1
0
K  K  E  ~ 0 E
問題3.1 式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導け。
A  ( B  C )  (C  A) B  ( B  A)C
ただし、ベクトル積の公式
を
利用せよ。

K  E  ωμ0 H
K  H  ω~
ε ε0 E

KH  K
からHを消去することにより
1
0
(K  E) 
1
0
K  K  E  ~ 0 E を得る
 ここで上の公式を利用して
K  K  E  (E  K )E  (K  K )E
( E  K ) K  K E  ( / c) 2 ~
εE  0
2
が導かれた
が導かれるので
( E  K)K  K E  ( / c) 2 ~
εE  0
2
を解く
 この式を解いてKの固有値と対応する電界ベクト
ルEの固有関数を求めよう。ここで複素屈折率N、
すなわち、N=n+iを導入する。ここにnは屈折率、
は消光係数である。媒質中において波数Kは
K  N / c  n / c  i / c で表される[1]。
[1]波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長
で、媒質中での光速をc’とすると
と表される。媒
質中での光速c’は屈折率をnとするとc/nで与えられる
から、K=n/cである。ここで屈折率を拡張して複素屈
折率N、すなわちn+iを導入すると、
K  N / c  n / c  i / c
となる。
 波数ベクトルの向きに平行で長さがNであるよう
な屈折率ベクトルNを用いると、(3.19)の第1式は
E  E 0 exp{i (t  N  r / c)}
(3.21)
 となり、固有方程式(3.20)は
N 2 E  ( E  N )N  ~E  0
(3.22)
 によって記述できる。以下では、2.3に述べた2つ
の配置(ファラデー配置とフォークト配置)について
固有値を求める。
ファラデー配置の場合(=0)
 磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)
に対して式(3.21)は
E  E0 exp{i (t  Nz / c)}
 と表される。固有方程式(3.22)は
 N 2   xx

  xy

0

  xy
N 2   xx
0
0  E x 
 
0  E y   0

  zz  E z 
 と書ける。この方程式がE0の解をもつためには、上式
においてEの係数の行列式が0でなければならない。こう
して次の永年方程式を得る。(問題3.2参照)
永年方程式

N 2   xx
  xy
0
 xy
N 2   xx
0
0
0
  zz
0
(3.25)
 これより、N2の固有値として2個の値
N 2   xx  i xy (3.26)
 を得る。
これらの固有値に対応する固有関数は、
E0
N
E 
(i  ij ) exp{i(t 
z)
2
c
(3.27)
 E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応する。
固有関数は円偏光
フォークト配置の場合
 N2の固有値として
2
 2
および N 2  
 xy
2
zz
N1   xx 
 xx
 という2つの解を得る。 N1およびN2に対応する固
有関数は


 N 
E1  A exp  i  t  1 x   xy i   xx j
c 




 N 
E 2  B exp  i  t  2 x k
c 



(3.33)
 となり、複屈折を生じる。(コットンムートン効果)
3.3のまとめ
 光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると,
磁化された等方性物質の屈折率Nは N 2   xx  i xy
 で与えられる2つの固有値をとり,それぞれが右
円偏光および左円偏光に対応する.(ここに,εxx
は誘電テンソルの対角成分,εxyは非対角成分で
ある.)もし,εxyが0であれば,円偏光は固有関数
ではなく,磁気光学効果は生じない.
左右円偏光に対する光学定数の差と誘
電率テンソルの成分の関係
 磁化と平行に進む光の複素屈折率の固有値は
式(3.26)
N 2   xx  i xy
 N   n  i  , N   n  i 
n  n
 
 置き換え n  n  n ;        ; n  2 ;  2
N  n 
n
 
1
1

 i  

(
n

i

)

(

n

i


)

N

N

2
2 
2
2

 ここに N  N  N  n  i
2
2



n


;  xx  2n
 その結果 xx
 xy  n  n  xy    nn
を得る
複素ファラデー回転角
 ΔnとΔκをεxyを使って表す。
n 
 xy  n xy
n 
2
2
;  
n xy   xy
n2   2
 ΔNに書き直すと
N  n  i 
i(n  i )( xy  i xy )
n 
2
2

 複素ファラデー回転角
  F    n  i    N  →
2c
2c
i xy
 xx
F  

2c

i xy
 xx

磁気光学の式(続き)
Nˆ  Nˆ   Nˆ    x x  i x y   x x  i x y  i
xy
 xx
Nˆ 
i  x y
F  




 xx
 (xy1) M
i



 (xx0)  12  (xx2) M 2
磁気光学効果には対角・非対角両成分が寄与
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光と磁気の現象論(2)