寡占市場
• 少数の企業
• 競争はあるが、企業は一定の価格支配力を
もつ(完全競争ではない)
• 典型的なモデルの一つが、クールノー・モデ
ル:2社の場合であると、企業1について、以
下のような利潤関数を想定する:
 ( y1, y2 )  P( y1  y2 ) y1  C( y1 )
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クールノー・モデル(1)
• 利潤関数を独占の場合と比較すると、
P( y1  y2 )の部分が異なっていることがわかる。
• 他社の供給量が増加することは、価格を下げる
ことを通じて、自社の利潤を減らす。
• 企業1が、 y2 が外生変数であると想定し、 y1
を最適に選択するという問題を考える。
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クールノー・モデル(2)
• 以下が利潤の関数
 ( y1, y2 )  P( y1  y2 ) y1  C( y1 )
• y1 で微分してゼロと置くと、条件は
 ( y1 , y2 )
 P( y1  y2 )  P '( y1  y2 ) y1  MC  0
y1
• となるが、 y1 を y2 に応じて変化させることを
考慮して y1  f1 ( y2 ) を反応曲線と呼ぶ。
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反応関数と均衡
y2
y1  f1 ( y2 )
クールノー均衡
y2  f2 ( y1 )
M: 独占の生
産量(横軸)
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y1
クールノー均衡の性質
• 独占企業よりも生産量は一般に多い(競争が
あるため)
• 完全競争均衡よりは生産量が少ない(価格
は限界費用を上回るため)
• 市場参加者が少ないので、「ゲーム的状況」
となる。
• もし2社が共謀して総供給量を独占企業並み
に抑えれば、「カルテル」になる。
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カルテル
• クールノー企業(2社:A社、B社)
• 2社で共謀して、独占企業と同じ生産量を市
場に供給(この場合、利潤が最大になる)
• このとき、2社の状況は、ゲーム理論でいうと
ころの「囚人のジレンマ」の状況になる。
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プレイヤーAとBの利得の例
(Aの利得, Bの利得)
• 利得行列
B
生産量 少量
生産量 多量
生産量 少量
A
10,10
0,20
20,0
5,5
生産量 多量
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支配戦略
• A社は、B社の戦略が何であれ、生産量を多く
したほうが自分の利得が高い。
• このため、「生産量を多くする」ことは、いつで
も最適であるといえる。このような戦略が存在
するとき、それを「支配戦略」とよぶ。
• B社にとっても同様に、生産量を多くすること
が支配戦略である。
• 両社が生産量を多くすると、均衡では独占利
潤の「分け合い」は行なわれない。
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ゲームが繰り返されると:
• すなわち、1回だけのゲームであれば、どちら
も多い数量を生産し、共謀は成立しない。こ
れは消費者にとってはよいことである。
• しかし、共謀はゲームが何度も繰り返される
ときでも、成立しないのだろうか?(ゲームと
しての問題)
• (10,10)と(5,5)を比較すると、双方の利得は5
ずつ減少している。これをわかっていて、2企
業はそれを繰り返すだろうか?
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複数回繰り返すとき
• 有限回の繰り返しであると、結局、(5,5)の均
衡が繰り返されることになる。
• 最終回は、1回だけの場合と同じ結果になる
はず。
• それがわかっていれば、最終回の前の回も、
1回だけの場合と同じ。
• この理由を続けて適用することにより、有限
回であれば、共謀は実現しない。常に、囚人
のジレンマ状態である。
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無限回の繰り返し
• それでは、無限回繰り返す場合には、共謀は
成立するか?
• 実は成立することが知られている。
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課税の場合の計算問題
• 課税の場合に均衡がどこにくるかは、スライド
のような図で理解できる。
• この場合の条件は、
– 税金が需要者の支払価格(税込)と供給者の受
取価格(税引き後)の差に等しくなっている
– 需要量と供給量が一致する(ように価格が調整し
ている)
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負担割合(均衡付近の拡大図)
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応用問題:税金のある時の均衡
連立方程式を用いた解法(1)
• 税金と需要者・供給者価格
Pd1  Ps1  t
(1)
(税金のかかり方によって、
Pd 1
 1 t
1
Ps
• 需要と供給(需給は数量Xで均衡)
X  D(Pd1 )
X  S ( Ps1 )
(2)
(3)
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等となることも)
税金のある時の均衡
連立方程式を用いた解法(2)
• (1)-(3)を連立させて、内生変数 Pd1, Ps1, X を求め
る。
• そうすると、需給の均衡と、税の水準がすべ
て条件を満たしている価格と数量が導出でき
る(価格は2つあることに注意。ただし、上記
の場合は、最初の式を使えば、片方はもう片
方から導出できる)。
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企業の費用最小化
• 複数の生産要素を用いて生産活動を行なう
企業を想定。 F ( L, K ) は生産関数。
min C ( w, r; y )  wL  rK
L,K
subject to F ( K , L)  y
C ( w, r; y )
費用関数
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消費者の支出最小化
• 複数の財を消費する消費者を想定。
min E( p1 , p2 ; u )  p1 x1  p2 x2
x1 , x2
subject to U ( x1, x2 )  u
支出関数
E( p1, p2 ; u)
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補償需要関数
• 支出関数の導出においては、x1,x2が内生変
数である。
• これらのx1,x2を需要量とする、需要関数を導く
ことができる。この需要関数を補償需要関数
C
x
とよぶ。 i ( p1, p2 ; u) と表記(Cはcompensatedに
対応)。
• この需要関数は、費用関数における要素需
要関数と同じであることに注意。
シェパードの補題
• 補償需要関数について、以下が成り立つ:
E ( p1, p2 ; u )
C
 xi ( p1, p2 ; u)
pi
i  1, 2
シェパードの補題の考え方(1)
• 支出関数とは以下である:
E( p1, p2 ; u)  p1x1C ( p1, p2 ; u)  p2 x2C ( p1, p2 ; u)
• この左辺の変化分を、  E と書く。
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シェパードの補題の考え方(2)
• いま、 p1 のみが変化すると考える。このとき、
支出額の変化は
E  p1x1  p1 x1  p2x2
= p1x1  p2x2  p1 x1
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シェパードの補題の考え方(3)
• ここで、以下が成り立つ:
p1x1  p2x2  0
• 効用が一定水準に保たれていることから、
x1, x2 は無差別曲線に沿って動いている
ことに着目する。
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シェパードの補題の考え方(4)
• 【復習】支出最小化の条件とは、限界代替率と価
格比率が一致すること。
• 限界代替率の定義を用いて、この条件は以下の
ようになる。
x2 U / x1 p1
MRS  


x1 U / x2 p2
•
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シェパードの補題の考え方(5)
• 無差別曲線に沿って動くとは、 x1, x2
が以下を満たすことを意味する:
x2 U / x1
MRS  

x1 U / x2
• しかし一方で、最適解の条件とは:
x2 U / x1 p1
MRS  


x1 U / x2 p2
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支出最小化
等支出曲線
傾きの絶対
値:p1/p2
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シェパードの補題の考え方(6)
• 支出関数は、費用最小化の最適点での支出
である。最適解の条件を変形すると:
p1x1  p2x2  0
• これを代入して:
E  p1x1  p1 x1  p2x2
= p1 x1
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シェパードの補題の考え方(7)
• 以上から、一般性を失うことなく
E E ( p1, p2 ; u)
x ( p1, p2 ; u) 

pi
pi
C
i
i  1, 2
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生産量 少量 生産量 多量