2014.7.7 担当:河田
数学 配布資料
<第 12 回 行列と連立方程式(3)>
[新しい概念]
・1 次変換
・次のような行列の積があったとする。
3×1+1×1
3 1 1
4
�
�� � = �
�=� �
1×1+2×1
3
1 2 1
1
3 1
4
� � ベクトルに、行列�
�をかけると、� � ベクトルとなる。
3
1
1 2
このような、行列によるベクトルの変換を、1 次変換という。この 1 次変換は次のようなものである。
3×1+1×0
3 1 1
3
�
�� � = �
�=� �
1×1+2×0
1 2 0
1
3×0+1×1
3 1 0
1
�
�� � = �
�=� �
1×0+2×1
1 2 1
2
1
0
3
1
ベクトル� � と� � で囲まれた正方形は、ベクトル� � と� � で囲まれた平行四辺形に変換される。
0
1
1
2
[練習問題]
1
0
1. 以下の行列による 1 次変換で、ベクトル� � と� � で囲まれた正方形がどのような形に変換される
0
1
か、図に表してみよう。
3 0
① �
�
1 2
1 2
② �
�
0 4
[確認事項]
・特徴的な 1 次変換の例
1 0
�
� … x 軸に関する対称変換
0 −1
−1 0
�
� … 原点に関する対称変換
0 −1
−1 0
�
� … y 軸に関する対称変換
0 1
cos 
�
sin 
− sin 
� … 原点まわり角度回転
cos 
[練習問題]
3
1
2. 以下の行列による 1 次変換で、ベクトル� � と� � で囲まれた平行四辺形がどのような形に変換さ
3
1
れるか、右図に表してみよう。
y
①
②
③
④
1 0
�
�
0 −1
−1 0
�
�
0 1
−1 0
�
�
0 −1
cos 90
�
sin 90
o
x
−sin 90
�
cos 90
[確認事項]
・面積の変化
3 1
1
0
3
1
行列�
� による 1 次変換で、ベクトル� � と� � で囲まれた正方形は、ベクトル� � と� � で囲
0
1 2
1
1
2
まれた平行四辺形に変換された。このとき、平行四辺形の面積は 5 となる。

一般に、行列�

1
0

� による 1 次変換で、ベクトル� � と� � で囲まれた正方形は、面積 −  の
0

1
平行四辺形に変換される。
[練習問題]
1
0
3. 以下の行列による 1 次変換で、ベクトル� � と� �で囲まれた正方形が変換される平行四辺形の面
0
1
積を求めよ。
①
②
③
④
2 4
�
�
1 3
−2 −1
�
�
5
2
−1 0
�
�
0 −1
cos 60
�
sin 60
−sin 60
�
cos 60
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