第 61 講 体積②
体積②
∫
2π
∫
2
π y=
dx
0
2π
2
π (1 − cos t ) ⋅ (1 − cos t ) dt
0
= π
= π
= π
∫
2π
∫
2π
0
0
(1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t ) dt
(1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t ) dt
2t − cos t 1 − sin t dt
(
)}
∫ {1 − 3 cos t + 3 ⋅ 1 + cos
2
2π
2
0
2π
= π  5 t − 3sin t + 3 sin 2t − sin t + 1 sin3 t 
2
0
4
3
= 5π 2
座標空間で,原点を O,A ( −r, 0, 0 ) ,B ( r, 0, 0 ) とし,底面が xy 平面上にあるとする.
求める立体は,
 x 2 + y2 ≦ r 2

0 ≦ z ≦ y tan θ
と表される.
平面 x = t で切断すると,
y2 ≦ r 2 − t 2
⇔
− r2 − t2 ≦ y ≦
よって,求める体積は,
=
V
1
∫
r
−r
1 r 2 − t 2 × r 2 − t 2 tan θ dθ
2
r2 − t2
第 61 講 体積②
= 1 tan θ
2
∫
r
−r
( r 2 − t 2 ) dt
r
= tan θ r 2t − 1 t 3 

3 0
= 2 r 3 tan θ
3
 0 ≦ z ≦ xy − 2x − 2 y + 4

 0 ≦ y ≦ 2x
 0 ≦ x ≦ 1
で表される立体を平面 x = t で切断すると,
 0 ≦ z ≦ (t − 2 ) y − 2 (t − 2 )

より,求める体積は,
 0 ≦ y ≦ 2t
 0 ≦ t ≦1

=
V
=
1
∫ {(4 − 2t ) + (2t
0
1
∫ t (2t
0
2
2
− 6t + 4 )} × 2t × 1 dt
2
− 8t + 8 ) dt
1
=  2 t 4 − 8 t 3 + 4t 2 
4
0
3
= 11
6
=
y x 2 − 1 と y= x + 1 の交点は,
x2 −1 = x +1
⇔
0 ⇔
( x + 1)( x − 2 ) =
x = −1 , 2
2
第 61 講 体積②
y=
−x 2 + 1 と y= x + 1 の交点は,
−x 2 + 1 = x + 1
x ( x + 1) =
0 ⇔
⇔
x = −1 , 0
よって,求める体積は,
∫
0
−1
2
π ( x 2 − 1) dx +
∫
=
0
−1
∫
2
0
2
π ( x + 1) dx −
π ( x 4 − 2x 2 + 1) dx +
∫
2
0
2
∫ π (x
1
2
π ( x 2 + 2x + 1) dx −
0
2
− 1) dx
2
∫ π (x
1
4
− 2x 2 + 1) dx
2
2
= π 1 x 5 − 2 x 3 + x  + π 1 x 3 + x 2 + x  − π 1 x 5 − 2 x 3 + x 
5
 −1
3
0
5
1
3
3
) (
) (
(
) (
=
−π − 1 + 2 − 1 + π 8 + 4 + 2 − π 32 − 16 + 2 + π 1 − 2 + 1
5 3
3
5
3
5 3
= 20 π
3
PQ = sin x より,
2
π
△PQR
= 1 ( sin x ) × sin=
2
3
3 sin 2 x
4
よって,求める体積は,
∫
π
0
3 sin 2 x dx = 3
4
4
1 − cos2x dx
2
π
=
3
0
3  x − 1 sin 2x 
0
8 
2
=
 x 2 + z 2 ≦1
 2
2
 y + z ≦1
∫
π
3π
8
)
第 61 講 体積②
で表される立体を平面 z = t で切断すると,
 x 2 + t2 ≦1
 2 2
 y + t ≦1
⇔
 − 1 − t 2 ≦ x ≦ 1 − t 2

 − 1 − t 2 ≦ y ≦ 1 − t 2
よって,求める体積は,
∫
1
−1
4
(
1 − t2
)
2
dt =8
1
∫ (1 − t ) dt
2
0
1
= 8 t − 1 t 3 
 3 0
= 16
3
4
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∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫