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数値解析の道具箱(数値解析と科学計算)
野寺, 隆
数理解析研究所講究録 (1990), 717: 178-187
1990-03
http://hdl.handle.net/2433/101763
Right
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Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
数理解析研究所講究録
$\lfloor 7b$
第 717 巻 1990 年 178-187
数値解析の道具箱
慶応義塾大学理工学部
概要.
野寺隆
最近続々と現れる数理物理学のソフトウェアは, 一昔前のものと比較して驚くほど低価格
で, そのクオリティも高い. そこで, 最近話題を集めている物理数学の研究に役立つ, いくつかの
ソフトウェアについて紹介し, その特徴などを明らかにする.
1. はじめに
近年の計算機産業の発展は目ざましく, スーパーコンピュータのように驚くほど超高速計算を可能にした
ものから, 家庭で手軽に購入でき家族全員がゲームを楽しんだり, 主婦が家庭で証券財テクを楽しむことが
可能なファミコン (現在では, 1 万円で千円程度のおつりがくる) にいたるまでその用途は多種多用だ
ただ, ここで見逃してならないことは, 従来, ミニコンと言われる計算機が行ってきた仕事が, Sun や News
に代表されるワークステイションと呼ばれる小型計算機にとって代られようとしていることである. さらに,
その価格は驚くほど安価で, 近年では, 100 万円を切るものも現れ始め, 大学の研究室単位でも十分購入でき
るようになったことである. さらに, ワークステイションの 11 点は, ビットマップディスプレーとマウスを標
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$
準装備しており, ウインドーシステム (X-window, SunView など) と呼ばれるソフトウェアを使って, 画面
上に数枚のウインドーを開いて, いろいろな仕事を平行して行えるようになったことである. 特に, Fig.1.1
において近年話題を集めている
$NeXT$
の画面を示したのだが, このようなビットマップディスプレーを使
う利点は, キャラクター端末では表現することが不可能だった, 複雑なグラフや図形を簡単に表示可能にし
たことである. さらに, 論文などを T 口 ( を使って記述したときに, そのできあがりをプリビューすることも
できるのである.
数値解析のソフトウェアは, 時代とともに様々な影響を受け, いろいろな変革を受けてきた. 近年, 数値解
析ソフトウェアのもっとも顕著な特徴は,
(1) ほぼ, バカチョン式の取扱いができる.
(2) 豊富なグラフィック機能を持つ.
(3) 数式処理の機能を持っものがある.
のように述べることができる. ただし, 数値計算も行え, その上に数式処理の機能を持ち, グラフィック機能
を自由自在に駆使できるソフトウェアは限定される.
以下, 最近の代表的な数値解析に利用できるソフトウェアについて述べることにする.
2. 数値解析に関連するソフトウェアいろいろ
現在, 数値解析のソフトウェアにはいろいろな形態をとるものがあり, 基本的にパブリックドメインで提
供され, ほぼカートリッジテープの値段で手に入るものや, いくらかのお金を払ってソフトウェア会社から
購入するものがある. 当然, パブリックドメインで提供されているソフトウェアは, ソースコードが提供さ
れており, ほぼユーザが自分自身でソフトのメインテナンスを行わねばならない. EISPACK や LINPACK
は, パブリックドメインで提供されているソフトウェアの代表と言ってよいであろう. また, これは米国の
’Typ eset by
AM-?BX
179
Netlib を通して, エレクトリックメールでユーザの希望するサブルーチンのコードを自動的に入手すること
が可能である. 蛇足だが, . Dongarra によって行われた最新のベンチマークテストのレポートが, 今年の
10 月に発刊されている.
$J$
2.1 MATLAB
次に, LINPACK に関連したソフトウェアに, MATLAB がある. MATLAB は, 会話型のシステムであ
計算機とユーザが相互に対話しながら計算を進めるものである. 現在, MATLAB は, “Fast, Acculate,
ReUable” を全面にして売り出しており, このソフトウェアは, 下位の機種ではマッキントッシュや IBM-PC,
り,
AT, 80386 ベースのマシン, 上位の機種では Sun ワークステーション, Appllo ワークステーション, さらに
DEC
$Vax/VMS$ と
Unix などで利用可能である. 日本にも代理店があり, 購入することができる.
このシス
テムは,
(1) 行列計算
(2) LINPACK と EISPACK の算法
(3) Signal Processing
(4) Linear Algebra Function
(5)
$2- D$
と
$3- D$
のグラフィックス
と言うような機能を持ち, 200 以上の関数を備えている. 特に, このシステムの特徴として, 数年前から, 2
2
180
次元と 3 次元の図形表示機能を備えるようになった. システムの使い勝手はなかなかよいのだが, 複雑な計
算をすると計算精度に問題がある場合を指摘する人も多い. ソフトウェアのお値段は, 数百ドルであるが,
Macintosh 用は, 数十ドルのものが MATH WORKS, Inc. とは別の会社で売られている. Fig.2.1 において,
Macintosh 用の MATLAB のウインドウを示した.
Fi g. 2. 1Macintosh 用 MATLAB
2.2
のウインドウ
$Mat1_{1}ematica^{TM}$
現在, もっとも注目されているシステムの一つに, Stephen Wolfram と彼の仲間によって開発された
$Mathematica^{TM}$
をあげることができる. これは, 数値解析だけでなく, 数理物理学の研究と教育を目指した
ものであり, 数値計算, 記号処理, さらには, 図形処理を簡単な操作によって相互に行うことができるように
工夫されたシステムである.
このシステムは,
SMP を基本としているので, そのコマンド自体は MACSYMA のコマンドによく似て
いる. このシステムの特徴の一っは, 数理物理学で必要とされる計算を, 数値計算だけに頼ることなく,
記
号計算で行える所はそれを利用し, 中間結果や最終結果をグラフィック処理して出力する, いわゆる視覚に
訴える能力を兼ね備えている点にある. このシステムの出現により, 最近では MACSYMA にも同様の機
能の付加が考えられているようだ. このシステムと同様な目的で作られたソフトウェアに, Textronix 社の
MathScribe(Fig 22 を参照) や MathSoft 社の MathStation (このシステムは, 日本の代理店が大々的に宣伝
を展開しているのだが, お値段は他のソフトウェアと比較して 1 桁違うように思われる) が上げられる. また,
ごく最近では, Waterloo 大学で開発された MAPLE にもマイナーなグラフィック機能 (2-D の単純なグラフ
を描くことができる) を加えたシステムが登場している.
3
$Mathematica^{TM}$
の数式処理能力は, MACSYMA
181
Fig. 2.2 MathScribe
のウインドウ
のそれと比較すると一長一短があり単純には優劣がっけがたいように思われる. 小生は他の数式処理シス
テムの機能ど比較して, $Mathematica^{TM}$ の数式処理能力はそれほどすばらしいものとは思わないが, 価格
の面で考えると, その優位差が歴然と現れるのではないか. 一言でこの $Mathematica^{TM}$ を評価すると, ク
オリティは別ものと考えても, 価格の面でかなり安く, さらに PostScript で出力する図形処理の能力を見る
と, 数理物理学を専攻している学生や研究者にとっては, つい手を出して購入したくなる代物である. すで
に多くの計算機 (CRAY コンピュータからマッキント.J シュまでの十数機種) で動くバージョンが販売され
ている. 特に,
Steven Jobs が開発した
$Mathematica^{TM}$
$NeXT$
コンピュータには, これが標準でバンドルされている.
の最大の特徴は, なんと言ってもユーザィンタフェースが良くできており, マッキントッ
シュ用のものは, かなり使い勝手がよいし, help 機能も優れている. 特に, notebook 機能は, マッキントッ
シュと $NeXT$ コンピュータを除いて, 他の機種には存在しない機能である.
この節の最後に,
$Mathematica^{TM}$
のグラフィック機能を使って描いたチューブ (Fig.2.3 を参照) を取り上
げることにす る. 10 年前には, このチューブを描くのに数千行の Fortran プログラムを書く必要があったの
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$
ぎが, $Mathematica^{TM}$ を使えば, 基本的にはデータを生成するプログラムを除いて, 1 行でこの図を描くこ
とが可能である.
$Mathematica^{TM}$
が登場した時点では, 至る所にバグが発見され, 他のシステムと比較して信頼性に問題
があることも指摘され, 評判が今一っ上がらなかった. しかし, 現在では, 着実にバグとりが行われているよ
4
182
$<<Fffm.m$
$<<ParametricPlot3D.m$
$\{u, 0,1, 1/120\}$ ,
,
,
$>False$
Shading- $>False$ ].
0,1,0.1\}$ Boxed-
ParametricPlot3D [Fffm $[u, v],$
$\{v,
Fig.2.3
$Mathematica^{TM}$
によるチューブの製作
うだ. 先月 (1989 年 10 月), このシステムは, 122 にバージョンアップされた.
2.3 CLAM
次に, 近年, Scientific Computing Associate 社が開発し, 大々的に販売を開始した CLAM(The Computa-
tional Linear Algebra Machine 1) について述べることにしよう. このシステムは, 一見して, MATLAB に
非常に良く似ており, 使用方法もほぼ似ていると言って寡言ではない. だだし, プログラミングは, MATLAB
に比べて, より簡単であり, 3 次元の図形表示も簡単に行えるように設計されている.
例えば, 双曲型の偏微分方程式
$u_{\ell}+uu_{x}=0$
を区間 $[0,1]$ において, Lax-Wendorff の差分法を用いて下位を求め, それを図示するプログラムを記述して
みると次のようになる. ただし,
$>$
1 $=0.25*$ lambda
$=1$
.
$\sim 2$
$u=zero(t,n)$
ul
.
procedure lax(u-init, lambda, t)
$n=size(u_{-}init)(2)$
12
$\lambda=\Delta x/\Delta t$
$=$
u-init
1科
do $i=1$ :
urotm
$=$
$t$
[ul (n), ul (1: $n^{-}1)$ ]
urotp $=[ul(2:n)$ , ul(l)l
ul
$=$
ul $-1*(urotp.-2-urotm.-2)+$
12 $*((urotp+u1)$
$(ul+urotm)$
.
.
$*$
(ul.
$*$
(urotp.
$\sim 2$
$arrow 2$
-urotm.
$-2$
-ul.
$-2$ )
$-$
))
$u(i. ;)=u1$
enddo
return
end
$>h=$ 0.02$
$>u=$ lax $(sin(2*lpi*h*[0:1/h-1]), 0..5, 100)$ $
$>$
$\succ$
surface(u)
title (
$Lax$ -Wendroff
Solut ion for 100 times steps“, $-0.05,$ $[0.025$ , 0.025])
このプログラムを実行すると, Fig 2.4 に示した 3-D のグラフを出力する.
Lax-Wendro $tl$ Solution for 100 time steps
Fig 2.4 双曲型の編微分方程式の例
この会社は, PCGPACK や最近では Linda(The portable parallel programming language) を販売してい
る所で, CLAM を使って簡単なスパース行列も取り扱えるように工夫されている.
現在, 小生は, Sun3 用の CLAM を使用しているのだが, Scientific Computing Associates, Inc. が開発し
たデモプログラムがなかなか面白く, 感激させられるものがある.
2.4 その他の数値計算パッケージ
この他に注目すべきシステムとして, ベル研究所が開発した統計計算におけるデータ解析を目的とした
システム [14] などがある.
6
$S$
$J$
184
Apple 社のマッキントッシュには, 数値計算や統計計算に有効なソフトウェアがいろいろ揃っている. 最
近のものでは, Systat の簡易版である Fastat が安くて評判がよいようだ. さらに, Abacus 社の StatView II
MathView もなかなかの優れもののソフトゥェアである. また, 代数方程式系の近似解を計算するための
バカチョン式のソフトウェアとして, ターボシリーズのソフトウェアを次々に発売しているボーランド社が
や
開発した $EUREKA[15]$ もなかなか使って楽しいソフトウェアである. マッキントッシュのソフトウェアは,
そろそろ (わびさびの境地になりつつあり,
安定していると言う点でも利用価値は高い.
さらに, ソフトウェア自身には, それほど凝っていないのだが,
数値計算に関連するプログラムを寄せ集
NumericaJ Recipies[16] も持っていて損にはならないものの一つである. 近年,
出版され, そのソフトウェアも同時に発売されている.
めた
2.5 文書整形システム
$C$
言語のバージゴンも
$TB^{X}$
最後に, 直接数値解析のソフトウェアとは関係ないのだが, 計算機を使って論文やレポートの作成になく
てはならない文書整形システムにっいて少しふれることにしよう.
現在, 文書整形システムとして代表的なものは, Unix システムでマニュアルが記述されている
$roff\backslash \cdot\backslash \vee$
と, スタ
ンフォード大学の計算機科学科の D. E. Knuth 教授が開発した T 口 (, さらに, カーネギーメロン大学で開発
された Scribe をあげることができる. これらのシステムは, マッキントッシュの Word のように WYSIWYG
の形式ではなく, バッチ処理の形式をとるシステムである. 特に, T 口 ( は数式の記述に関して多くのコマン
ドを有しており, 数式を多用する数値解析の研究者や学生にはなくてはならないものであろう.
数学者にとって, T 域 ( を利用する利点の一つに, AMS(American Mathematicml Society) の論文紙に $Tg$
で記述した論文を投稿できることである. もし, 論文の査読が通った場合に, 論文が出版されるまでにかか
る日数を, そうでない場合と比較して大幅に縮められることである.
Tg には, 通常, 次の 3 っのマクロが準備されている.
(1) plain
EX
(2)
$A_{\mathcal{M}}\sigma- Tffi$
(3)
$I4T_{E}X$
このマクロの中で, 現在では
$1AT_{E}X$
を利用しているのが最も多いと思われる.
$IAT_{EK}$
は,
Scribe 風の書式
形式を用いており, スタイルファイルの概念を用いて, だれでもが簡単に利用可能にしている. ただし, 数式
の記述能力に関して, 多少, コマンドの数が足りないように思われる.
\beta -T 盟 ( は, IATffi のようにスタイルファイルの概念を用いているものの, コマンドの記述形式は, ほ
ぼ plain T 口 ( に近い. ただし, 数式の記述に関して, 驚くほど沢山のコマンドを持っているので, 数理物理学
に現れる複雑な数式でも簡単に記述することができる. 特に, 数式の縦揃えでは, かなり複雑なことが可能
$A$
である. 数値解析の研究者にも, これはお勧めのものである.
や
前説で述べた最近の数式処理システムには, 数式処理によって得た結果をそのまま論文の中に
roff の形式で出力することが可能である. 例えば, Fig.2. $5a$ は, $Mathematica^{TM}$ によって計算した結果を
TeXForm コマンドを使って自動的に plmln T 匡 X のコマンドに変換して出力したものである. また, Fig.2. $5b$
$q_{E^{X}}$
は,
MAPLE
近年,
$r_{Iffi}$
による
IATffi
の出力例と eqn の出力例を示したものである.
の日本語化も行われ, それに伴い T 口 ( の利用者も大幅に増加した. また,
$\eta$
は,
IBM PC や
NEC の PC98 用のソフトを除いて, パブリックドメインでシステムが提供されており, ほぼテープ代でソフ
トゥェァを入手できる. ただし, 日本語の漢字フォント (大日本印刷提供のもの) は, 有料なので勝手に持ち
出したり, コピーすることはできないので注意する必要がある. 現在では, junet のニュースでも T 口 ( に関
7
$/nff]_{I=}$
Integrate $[Log[x]^{\wedge}S
Ou $tfl$ ]
(1+x^{\wedge}2)/x, x]$
$=$
2
315
2
315
$x$
$——$
2
$————-$
$-$
4
315
$Log[x]$
$x$
2
$\dot{L}og[x]$
$x$
$———–$
$+$
2
2
2
2
105
3
105
4
${\rm Log}[x]$
$x$
$+—————$
${\rm Log}[x]$
$x$
一–
$2$
2
21
$x$
5
2
6
$+7x$
${\rm Log}[x]$
${\rm Log}[x]$
2
2
2
$x$
7
$Log[x]$
8
Lo 佳
$x$
$+$
$-$
9
$[x]$
${\rm Log}[x]$
$———-$
$——-$
$+$
9
$2$
$/nf2]:=$
TeXForm [$]
$Outf2J//TeXForm=$
$\{\{315 \{x^{\wedge}2\}\}\backslash over 4\}$
$-$
$\{\{315 \{x^{\wedge}2\} \backslash 1og (x)\}\backslash over 2\}$
$+$
$\{\{315 \{x^{\wedge}2\} \{t\backslash 1og 1 x)\}^{\wedge}2\}\}\backslash over$
$105$
$\{x^{\wedge}2\}$
{{
$\backslash 10$
佳
(x)
$1^{\wedge}3$
}
$\{\{105 \{x^{\wedge}2\} \{t\backslash 1og (x)\}^{\wedge}4\}\}\backslash over$
$21$
7
2
$\{x^{\wedge}2\}$
$\{\{\backslash 1og (x)\}^{\wedge}5\}$
$+$
$\{x^{\wedge}2\}$
$\{t\backslash 1og (x)\}^{\wedge}6\}$
$-$
$\{x^{\wedge}2\}$
$\{t\backslash 1og (x)\}^{\wedge}7\}$
$+$
$\{\{\{x^{\wedge}2\} \{\{\backslash 1og (x)\}^{\wedge}8\}\}\backslash over2\}$
$+$
$\{\{\{t\backslash 1og tx)I^{\wedge}9\}\}\backslash over 9\}$
Fig. 2. $5a$ Mathematica
を使った例
8
の
$2$
}
$-$
$2$
}
$-$
$+$
TeXForm
コ
マンド
186
$>$
a
a: $=int(\ln(x)^{A}8^{*}(1+x^{A}2)/x,x)$ ;
982272
$;=1/9$
ln(x) +1/2 ln(x)
105/2
$+$
315/4
6
$x$
52
-21 ln(x)
ln(x) $+7x$ ln(x)
42
322
ln(x) -105
ln(x) +315/2
2
$+$
$- 2x$
$x$
$x$
2
ln(x)
$x$
$-$
315/2
$x$
2
$x$
$>$
readlib(latex): readlib(eqn):
$>$
$\#$
LaTeX output for expression
$a$
.
latex(a):
$\{\iota\backslash frac\{\{\{Ynx\}^{A}\{9\}\}\}\{9\}\}+\{Vrac\{\{\{\{\backslash \ln x\}^{A}\{8\}\}\{x^{A}\{2\})))\{2$
{
$\}\}\{-2\{x^{A}\{2\})\{(\backslash \ln x\}^{A}\{7\}\}\}+$
$7\{x^{A}\{2\}\}$
{{億 n
$x\}^{A}\{6\}\}$
}
$\{$
$-21\{\{\backslash \ln x\}^{A}\{5\}\}\{x^{A}\{2\}\}\}+\{\backslash frac\{\{105\{x^{A}\{2\}\}\{\{Unx\}^{A}\{4$
$\}\}\}\}$
{2}}
$\{- 105 \{x^{A}\{2\}\}\{\{Unx\}^{A}\{3\}\}\}+$
$\wedge\{2\}\}\{x^{A}\{2\}\}\}\}\{2\}\}$
{-
$\backslash frac$
{
$\{315\{x^{A}\{2\}\}$
{Vrac $\{\{315\{\{Unx\}$
{Nln
} { ) $I+\{Vrac\{$
$x\}\}$
$2$
$\{315\{x^{A}\{2\}\}\}\}\{4\}\}\}$
$>$
$\#$
eqn output for expression
$a$
.
eqn(a):
{
$\{\{\{\ln^{A}$
(
$\sup 2$
$x$
“
$x$
)}
$\sup 9\}$
}} over 2}
over 9
$t^{A_{-\wedge}}2$
$\}^{AA}+\{\{\{\{\ln^{A}( x" )\}$ $\sup 8$
$\{ x" \sup 2\}\{\{\ln^{A}(x’’ )\}$
)
$\{$
$\sup 7$
$\}\}^{AA}+\{7 \{x’’\sup 2\}\{\{\ln^{A}(x’’ )\} \sup 6\}\}\{^{A_{-\wedge}}21\{\{\ln^{A}($
} $\{ x \sup 2\}\}^{AA}+\{\{105$ $\{ x’’\sup 2\}\{\{\ln^{A}($
$\{ x’\sup 2\}\{\{\ln^{A}( x" )\}$
}} over 2}
$\sup 3\}1^{\wedge\wedge}+\{\{315\{\{\ln^{A}(x" )\} \sup 2\} \{ x’’\sup 2\}\}$ over 2
$\}t^{A}-\wedge\{315 \{ x \sup 2\}\{\ln^{A}(x" )\}\}$ over 2} $+\{\{315$
$\sup 2$ }} over 4}}
$\prime x$
$x$
“
)}
)}
$\sup 5$
$\sup 4$
$1^{A_{-}A}105$
$\{$
$x$
Fig. 2. $5b$ MAPLE
の
IATffi 出力と
の例
9
$x$
eqn 出力
ln(x)
18’1
連した情報を提供している. 最近, バブリックドメインでマッキントッシュ用の日本語 T 口 ( も提供されて
いるし, パソコン用のメタホントプログラムも利用できる.
のマクロファイル amSteX teX とフォント, さらに
$A_{\mathcal{M}}S-Iffi$
$A_{\mathcal{M}}S-Iffi$
のスタイルファイル amSppt.Sty
AMS から$5000 程度の値段で直接購入することもできる.
Library
は, 下記の
$:IEX$
American Mathematical Society
PO. Box 6248
Providence, RI 02940
USA.
3. おわりに
最近の数値解析関連のソフトウェアについて, 簡単な紹介をしてきた. これらのソフトウェアが最も重点
をおいて製作されている所は, グラフィックスとの融合であり, ユーザインタフェースのより良い改善をめ
ざしたものであるようだ. よって, ソフトウェアの使い勝手は, 一昔前のものと比べると驚くほど向上した
ように思われる. しかし, 残念なことに問題解決に使用している解法のアルゴリズムには, あまり変化は見
られない. 究極のソフトウェアに近づいたとは言えるが, まだまだ改良を加えねばならない点が至る所にあ
るようだ.
参考文献
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$u_{Joy}$
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$u$
$A_{\Lambda}\beta-?hX$
$A_{\Lambda}\beta$
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$l$
$A$
$b\infty k$
10
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