演習問題 No. 5 の解答
1
54
x2
54 )
(1) 容器の高さを h とすると,体積は πx2 h = 54π より,h =
(
S = 2πx2 + 2πrh = 2π x2 +
(2) S を x で微分すると,
x
(
(
dS
54 )
27 )
= 2π 2x − 2 = 4π x − 2
dx
x
x
S ′ (x) = 0 となるのは x = 3 のときのみである.増減表
x
0
3
S′
−
0
+
S
↘
54π
↗
により,x = 3 のとき,S は最小となる.
2
(1) f (x) が x =
π
π
で極大値または極小値をとるならば,f ′ ( ) = 0 でなければならない.
4
4
f ′ (x) = −a sin x − 2 sin 2x ,
π
1
f ′ ( ) = −a √ − 2 = 0
4
2
√
より,a = −2 2 となる.
√
(2) a = −2 2 を代入して,
√
√
√
√
f ′ (x) = 2 2 sin x − 2 sin 2x = 2 2 sin x − 4 sin x cos x = 2 2 sin x(1 − 2 cos x)
増減表
x
0
f ′ (x)
0
f (x)
√
1−2 2
π/4
−
↘
0
√
−2 2
+
π/2
√
2 2
↗
0
√
π
により,f ( ) = −2 2 は極小値となる.
4
3
π
a
π
f ( ) = + b = 5 と f ′′ ( ) = −2a − 9b = 0 より,a = 18, b = −4
6
2
6
4 (1) 内接円の半径を r とすると,△ABC の周の長
さは 2(a + x) であるから,△ABC の面積 S は
A
S = r(a + x)
と表される.一方,S は x を用いて,
√
S = x a 2 − x2
a
a
と表されるから,
√
x a2 − x2
r=
a+x
πx2 (a2 − x2 )
πx2 (a − x)
I = πr2 =
=
(a + x)2
a+x
r
B
x
D
x
C
(2) I を x で微分すると,
dI
π(2ax − 3x2 ) πx2 (a − x)
2πx(a2 − ax − x2 )
=
−
=
dx
a+x
(a + x)2
(a + x)2
√
′
0 < x < a であるから,I (x) = 0 となるのは x =
5−1
a のときのみである.
2
増減表
x
√
により,x =
5
√
( 5 − 1)a/2
0
I′
+
I
↗
0
√
(5 5 − 11)πa2 /2
a
−
↘
√
5−1
a のとき,すなわち,BC = ( 5 − 1)a のとき内接円の面積は最大となる.
2
(1) f ′ (x) = x2 3−x (3 − x log 3) であるから,増減表は
x
f′
f
0
+
↗
0
0
3/ log 3
+
↗
3
3− log
3
3
0
−
/(log 3)3
↘
となる.
(2) f (x) は x > 3/ log 3 で単調減少であるから,3/ log 3 < 3 < π より 1 = f (3) > f (π) = π 3 3−π であ
る.よって,π 3 < 3π が成り立つ.
ダウンロード

演習問題 No. 5 の解答