3.1 位相安定性
V0 sin(ϖt )
1周して受ける加速電圧
が粒子の運動量により変化
p小
p大
mv = qeBρ = p
2πρ
1周にはτ =
v
∴ Bが一定で、ρの変化よりvの変化
が大きい(非相対論的粒子)場合
p => 大
v => 大
τ => 小
位相0が安定位相
サイクロトロン振動
位相πの場合
p大
p小
pの小さい粒子がより少ない加速電圧を受ける
事になり、更にpの差が開いていく。
Bが一定で、vの変化よりρの変化
高運動量
が大きい(相対論的粒子)場合
低運動量
p => 大
ρ => 大
τ => 大
B
p小
p大
位相πで安定
シンクロトロン振動
時間的に一様な分布
例えばシンクロトロン振動の場合
位相πの所に集群化(バンチング)
3.2 強収束
まず弱収束(weak focusing)の原理から。 静磁場中では
中心軌道の場合:evB =
mv 2
ρ
僅かにxずれた軌道では r = ρ + x = ρ (1 +
z
x
ρ
) mv 2
mv 2
mv 2
x
右辺 =
=
≈
(1 − ) Taylor expansion
x
r
ρ
ρ
ρ (1 + )
ρ
s
ρ
θ
x
左辺 = evBz (r ) = evBz ( ρ + x) = evBz ( ρ ) + ev( Bz ( x))′ x
Bz
1 ∂Bz x
= evBz ( ρ ) + evBz ( ρ )
ρ
Bz ( ρ ) ∂r ρ
v
= evBz ( ρ )(1 −
x
ρ ∂Bz x
) ≈ ecB0 (1 − n )
Bz ( ρ ) ∂r ρ
ρ
ρ ∂Bz
n=−
: field index
Bz ( ρ ) ∂r
⎧
mv 2
for r < ρ(中心軌道より内側)
⎪⎪evBz <
r
⎨
2
mv
⎪evB >
for r > ρ(中心軌道より外側)
⎪⎩ z
r
r > ρ ( x > 0)
x
mv 2
ρ
ρ
∴ ecB0 (1 − n ) >
−n
x
ρ
>−
x
ρ
(1 −
⇒ n <1
same as r < ρ
( x < 0)
x
ρ
)
X軸方向の収束条件
Z軸方向の収束は
Maxwell's Equation : rot B = 0
∂Bz ∂Bx
∂Bz ∂Bx
−
=0 ∴
=
∂x
∂z
∂x
∂z
Here we need restoring force,
Fz = −const ⋅ z
thus, vBx = −const ⋅ z
∂Bx
∂Bz ∂Bz
= −const =
=
<0
∴
∂r
∂z
∂x
ρ ∂Bz
n=−
>0
B0 ∂r
∴0 < n < 1
z
S
Bx
x
Fz
N
強収束の原理
x,z方向の収束を別々の磁場で行う!
z
s
R& = r&u r + ru&r + z&u z + zu& z = r&ur + ru&r + z&u z
= r&u + rθ&u + z&u
ρ
θ
θ
r
uz
ur
r
R = R0 + rur + zu z
uθ
ui:i方向へのユ
ニットベクトル
z
&& = &r&u + 2r&u& + ru&& + &z&u + z&u&
R
r
r
r
z
z
= &r&ur + 2r&θ&uθ + rθ&&uθ + rθ&u&θ + &z&u z
= &r&u + 2r&θ&u + rθ&&u − rθ& 2u + &z&u
θ
r
θ
r
z
= (&r& − rθ& 2 )u r + (2r&θ& + rθ&&)uθ + &z&u z
here : u& = θ&u , u& = −θ&u , u& = 0
r
θ
θ
r
z
Lorentz force
[
&& = m (&r& − rθ& 2 )u + (2r&θ& + rθ&&)u + &z&u
F = mR
r
θ
z
]
= −ev × B = −e R& × B
= −e r&u r + rθ&uθ + z&u z × ( Br u r + Bθ uθ + Bz u z )
= −e rθ&Bz − z&Bθ u r + (z&Br − r&Bz )uθ + r&Bθ − rθ&Br u z
(
[(
)
)
(
(
)
⎧⎪m(&r& − rθ& 2 ) = −e rθ&Bz − z&Bθ = −erθ&Bz
∴⎨
⎪⎩ m&z& = −e r&Bθ − rθ&Br = erθ&Br
(
)
) ]
z
combined function magnet
⎧ Bz = B0 -gx
⎨
⎩ Br = -gz
x
r = ρ + x ⇒ &r& = &x& より
m( &x& − rθ& 2 ) = −erθ&( B -gx)
0
m&z& = −erθ&gz
v = rθ& ≈ v
磁極
(a)
(b)
θ
vt = s
d 2 x d 2 x d 2s
&x& = 2 = 2 2 = x′′v 2 , &z& = z ′′v 2
dt
ds dt
2
v
(a)left : m( &x& − rθ& 2 ) = m( x′′v 2 − )
r
(a)right : −erθ&( B0 -gx) = −ev( B0 -gx)
1
(a ′)
∴ mv ( x′′ − ) = −ev( B0 -gx)
r
1 e
1 eB0 eg
x′′ = −
x
( B0 -gx) = −
+
r mv
r mv mv
same as (b) : mz ′′v 2 = −erθ&gz = −evgz
eg
z
∴ z ′′ = −
(b′)
mv
2
Δp 1
Δp
1
here : mv = p = p0 (1 + ),
≈
(1 − )
p0 mv p0
p0
x
1 1
and : ≈ (1 − )
r ρ
ρ
eg
1 eB0
also : =
,k =
p0
ρ p0
then(a′) : x′′ =
= (k −
1
ρ
)x +
2
∴ x′′ − (k −
1
ρ
Δp
Δp
(1 − ) − (1 − ) + kx(1 − )
p0
p0
ρ
ρ ρ
1
x
1
Δp
1 Δp
1
1 Δp
− kx
≈ (k − 2 ) x +
p0
ρ p0
ρ
ρ p0
)x =
2
1 Δp
ρ p0
Δp
(b′) : z ′′ = − kz (1 − ) ≈ − kz
p0
∴ z ′′ + kz = 0
dipole : ρ = local curvature, k = 0
1
1
⇒ x′′ + 2 x =
ρ
ρ
z ′′ = 0
eg
quad : ρ = ∞, k =
p
⇒ x′′ − kx = 0
z ′′ + kz = 0
Δp
(x
= 0)
p0
1 Δp
horizontal => x′′ + K ( s ) x =
ρ p0
1
K ( s ) = −( k ( s ) − 2 )
ρ (s)
Δp
general solution : x( s ) = C ( s ) x0 + S ( s ) x0′ + D( s )
p0
⎛ C ′′ + K ( s )C = 0, S ′′ + K ( s ) S = 0 ⎞
⎟
⎜
here : ⎜
1
⎟
′
′
D
K
s
D
(
)
+
=
⎟
⎜
ρ
⎠
⎝
⎛ x ⎞ ⎛ C S ⎞⎛ x ⎞
Δp ⎛ D ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ +
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ x′ ⎠ s ⎝ C ′ S ′ ⎠⎝ x′ ⎠ s0 p0 ⎝ D′ ⎠
⇒
⎞
⎛
⎞
⎛
⎜ x ⎟ ⎛ C S D ⎞⎜ x ⎟
⎟⎜
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎜ x′ ⎟ = ⎜ C ′ S ′ D′ ⎟⎜ x′ ⎟
⎜ Δp ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟⎜ Δp ⎟
⎠⎜
⎟
⎜p ⎟ ⎝
p
⎝ 0 ⎠ s0
⎝ 0 ⎠s
Trajectory can be written in matrix form!
周回のための安定条件
Transfer Matrixを用いると振動の1周期(L)では
M (s) = M (s + L / s)
従って1周( N周期)では
M ( s + NL / s ) = M ( s )
N
となり、n回転する場合はM nNとなり、n → ∞では
trace( M ) < 2
となる。
3.3 シンクロトロン
サイクロトロン
強収束原理 => 軌道半径ρ=const
イオンの場合:エネルギーの上昇に合わせて周波数を変化
電子の場合:周波数は一定でOK
シンクロトロン
KEK PS
前段加速器で750keVに加速され
たH-イオンは、リニアックで更に
40MeVにまで加速
リニアックからの40MeV
の ビームを入射して、
0.025秒間に500MeVに
加速
500MeVから最高エネル ギー12GeVまで加速
直径108m
J-PARC project
4.量子放射ビーム(Quantum Radiation)
相対論的な電子から放射される指向性・強度の非常に強いビーム
放射光
自由電子レーザー
4.1 放射光
ほぼ光速で直進する電子が、その進行方向を磁石などによって変えられた際に発生
する電磁波。1947年に電子シンクロトロン(電子加 速器)で観測された。
4.2 放射光の性質:指向性
電子の速度 β << 1 : 双極放射
一方
β ~ 1 の場合
sin θ ′
tan θ =
γ β + cos θ ′
1
∴θ ≈
1
γ
θ : 実験室系の放射角度
θ ′ : 電子の静止系でみた放射角度
4.2 放射光の性質:スペクトル
ρ
Δs
観測される光は
また放射されるパワーは
ρ
Δs = 2
γ
P[ W ] = 6.1× 10 −8 E 2 [GeV]B 2 [T ]
に放射される光。Δs進むのに必要な時間は
ドプラー効果により
⎛ 1 1 ⎞ 2ρ ⎛ 1 ⎞ ρ
⎜⎜ − 1⎟⎟ ≈ 3
Δτ = Δs⎜ − ⎟ =
⎝ v c ⎠ γc ⎝ β ⎠ cγ
となり、周波数に直すと
f ≈
cγ 3
ρ
となる。
で与えられる。
SPring-8
世界の大型放射光施設
施設名称
設置者
設置場所
エネルギ−
ビ−ムライン
周長
SPring-8
ESRF
APS
Advanced Photon
Source
European
Synchrotron
Radiation Facility
原研・理研
米国エネルギ−省 ヨ−ロッパ18カ国
播磨科学公園都市 アルゴンヌ(米) グルノ−ブル(仏)
8 GeV
62 本
1436 m
7 GeV
68 本
1104 m
6 GeV
56 本
844 m
リニアック
電子エネルギー(出射時) 1 GeV 1.2 GeV (max.)
全長
140 m
ブースターシンクロトロン
最終加速電子エネルギー:8 GeV
周長:396 m
繰り返し:1-8 pps
制御室
蓄積リング(高周波空胴)
リニアック
蓄積リング(2極電磁石)
蓄積リング実験フロア
Synchrotrons of the World
日本は放射光先進国!
KEK-PF、KEK-AR(つくば)
TERAS、NIJI-IV(つくば)
IMS-UVSOR(岡崎)
KSR(宇治)
SR-Center(草津)
SPring-8(西播磨)
HiSOR(広島)
SAGA-LS(鳥栖)
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