ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
(Wilson & Sommerfeld)
pdq

nh

p

:運動量
q :位置
は一周期についての積分

は一周期についての積分
振り子
pdq

q
L
d




解析力学入門
ニュートンの運動方程式
F  m
ラグランジュの運動方程式
d  L  L
  
0
dt  q  q
ラグランジアン:
L(q, q, t )  K  U
K :運動エネルギー
U :ポテンシャル・エネルギー
最小作用の原理
  Lq, q, t dt  0
t2
t1
ラグランジュの運動方程式
d  L  L
  
0
dt  q  q
q :一般化位置
L
p
:一般化運動量
q
仕事と位置のエネルギー
ポテンシャル・エネルギー
U ( z )  m gz
 mg
重力
dU

 mg
dz
ポテンシャルエネルギー
(位置エネルギー)を「位置」
で微分すると重力(保存力)がでる!
z
y
x
ラグランジュの運動方程式
物体の自由落下の場合
 mg
重力
z
1
U  m gz
K  m z 2
2
1 2
L( z , z, t )  K  U  mz  mgz
2
d  L  L
0
 
dt  z  z
L
 mz  p z
z
d
(mz )  mg  mz  mg  0
dt
y
x
mz  m z  mg ニュートンの運動方程式
ラグランジュの運動方程式
中心力による楕円運動の場合
v
vr
r

極座標系
1
1
2
2
2
2 2

K  m (vr  v )  m (r  r  )
2
2
ここで
vr  r
v  r
c
U 
r
1
c
2
2 2

L(r , r, , , t )  K  U  m (r  r  ) 
2
r
ラグランジュの運動方程式
中心力による楕円運動の場合
1
c
2
2 2

L(r , r, , , t )  m (r  r  ) 
2
r
d  L  L
0
 
dt  r  r
d
c
(mr)  mr   2  mr  2
dt
r
中心力+遠心力
ラグランジュの運動方程式
中心力による楕円運動の場合
1
c
2
2 2

L(r , r, , , t )  m (r  r  ) 
2
r
d  L  L
0
 
dt    
dL
d
d
2 
(mr  )  (rmv ) 
 0 角運動量保存則
dt
dt
dt
ここで v
 r  r
L  rmv
L
θに対する運動量: 角運動量 L  

振動運動
円運動
位置:x
角度:θ
速さ:v
角速度:ω
質量:m
慣性モーメント:I =mr
運動量:p=mv
角運動量:Lθ=Iω
運動エネルギー
mv2/2=p2/2m
運動エネルギー
Iω2/ 2=Lθ2/ 2I
2
ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
(Wilson & Sommerfeld)
回転運動の量子化
L
d


nh


L :角運動量  :角度
mev  r 2  nh
L  mevr
h
n
ボーアの量子条件: L 
2
ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
振動子の量子化
x  x0 sin t   2
dx
p  m  mx 0 cos t
dt
x
 pdx  mx  
2
0

2 
0
2
2 
0
1
cos tdt 

 t
2

cos tdt
2
0
2

cos  d 

2
ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
振動子の量子化
1 2
1 2 2
E  mv max  mx 0 
2
2
pdx

mx




2
0
2E

プランクの量子条件
E  nh 

E

 nh
水素原子の軌道(2次元平面)
原子核
電子
楕円を分解すると1つの振動と1つの回転
r:動径の振動
θ:回転
ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
振動と回転運動の両方がある場合の量子化
2
2
L
1
1 2
pr
2
E  mevr  U (r )  I 
 U (r ) 
2
2
2me
2I
振動
回転
振動
回転
r:動径の振動
θ:回転
水素原子の軌道(2次元平面)
Ld


n
h
L

p
dr

n
h
r
r

nL :方位量子数
r
θ
2
2


1
L
e
2
 pr  2  
E
2me 
r  4 0 r
2
2
L
2me e
pr  2me E 
 2
r
r
pr
r1
 p dr  2
r
r2
r1
r2
2
L2
r
2me e
2me E 
 2 dr nr h L  nL 
r
r
水素原子の軌道(2次元平面)
4
4
mee
mee
1
1
E


 2
2
2
2
2
2
32  0 nL  nr 
32  0 n
n  nL  nr
n :主量子数
nr  0
*
r 
n  1,2,3,  
方位量子数
1  nL  n
を基準にしているのでエネルギー
は負の値となる!
水素原子の軌道(2次元平面)
4
me e
1
E
 2
2
2
32  0 n
n  nL  nr
電子のエネルギー準位は主量子数
n で決まる。
エネルギー準位が同じでも、電子の軌道が
異なることがある。
方位量子数 nL は、電子の角運動量の大きさ、
したがって、軌道の「扁平度」を決める。
水素原子の軌道(2次元平面)
nnL
1s
2p
n=1 n=2
3d
2s
3p
4f
4d
4p
3s
4s
n=3
n=4
方位量子数
nL = 1, 2, 3, 4, 5
記号 s, p, d, f, g
水素原子の軌道(3次元)
z
θ
r
 L d  n h
 L d  n h
M
 py dr  n h
r
o
r
1つの振動と2つの回転
x
φ
L 
1  2 L
e2
 pr  2  2 2  
E
2
me 
r
r sin   4 0 r
水素原子の軌道(3次元)
V
y
z
V
z
x
L
d


n
h

M

y
x
水素原子の軌道(3次元)
L
d


n
h

M

 L d  n h  pr dr  nr h
nL  n  nM
L  nL 
 nL  nM  nL
nM :磁気量子数
4
me e
1
E
 2
2
2
32  0 n
n  nr  nL
方向量子化
nL:方位量子数
n L=
1
nM=1
0
-1
nL=
2
nM=2
1
0
-1
-2
n L=
nM=3 3
2
1
0
-1
-2
-3
nM:磁気量子数 (軌道面の傾きを決める)
方向量子化
nL:方位量子数
nL=
1
nM=1
角運動量ベクトル
0
-1
nM:磁気量子数 (軌道面の傾きを決める)
方向量子化
nL:方位量子数
角運動量ベクトル
nL=
2
nM=2
1
0
-1
-2
nM:磁気量子数 (軌道面の傾きを決める)
磁場
N
核
電子
S
ビオザバールの法則
電子の磁気モーメント
N
S
S
(磁場)
N
B
S
N
水素のエネルギー準位
0
ボーア
ゾンマーフェルト
nL=3
n=3 nnL=2
L=1
n=2 nnL=2
L=1
エネルギー(eV)
n=3
n=2
-5
相対論的効果
のための分裂
-10
n=1
-15
-13.6eV
n=1 nL=1
水素のエネルギー準位
0
ボーア
ゾンマーフェルト
nL=3
n=3 nnL=2
L=1
n=2 nnL=2
L=1
エネルギー(eV)
n=3
n=2
-5
相対論的効果
のための分裂
-10
n=1
-15
-13.6eV
n=1 nL=1
磁場による
分裂
Stern & Gerkackの実験
S
銀
N
電子の運動
原子核
電子
スピン
スピン:電子の自転運動
スピンの自由度は2
水素のエネルギー準位
0
ボーア
ゾンマーフェルト
磁場による
nL=3
分裂
n
=2
n=3 nL=1
L
n=2 nnL=2
L=1
エネルギー(eV)
n=3
n=2
-5
相対論的効果
のための分裂
スピン
分裂
-10
n=1
-15
-13.6eV
n=1 nL=1
原子内の電子の配置
H
1
He 2
Li
3
Be 4
B
5
C
6
N
7
O
8
F
9
Ne 10
Na 11
Mg 12
K殻
1s
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
L殻
2s 2p
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
6
6
M殻
3s 3p 3d
パウリの排他律
2つの電子が同じ
状態をとれない
1
2
問題
振動子
x  x0 sin t
p  mx0 cost
にウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件
を適用すると、プランクの量子条件
E  nh  n
が得られることを証明せよ。
問題
ウイルソン・ゾンマーフェルトの量子条件を振
動子に適用すると、プランクの量子条件が、
また原子核の周りを円運動している電子に適
用すると、ボーアの量子化条件が得られるこ
とを証明せよ。
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