第3章
定式化
不確定性原理より
“状態,エネルギー値”
求める.
不確定性関係(
Δp ⋅ Δq ≥ h
)を直接用いる
Δq = L
E
∞
∞
Δp = p max − pmin = 2 pmax = 2 p
したがって,
2p⋅L ≥ h
等号を選び
p max
p = h 2L
p min
エネルギーとして次式が与えられる.
0
2
2
p
h
E=
=
2m 8mL2
L
q
工学的問題に対するおおよその見積り
水素原子 H
h2
E=
8me L2
37.65 eV
物質よりの発光
(
)
2
h
ΔE = nn2+1 − nn2
8me L2
8me L2 c
hc
λ=
= 2
ΔE nn +1 − nn2 h
(
)
ブタジェン
CH2=CH-CH=CH2
1.2 eV
0.56 nm
0.1 nm
ブタジェンのスペクトル
114
148
207
576
nm
:C
:H
輻射
内殻軌道
分子
(結合)
外殻軌道
原子核
分子
(剛体
運動)
電子,
核と場
準位
線種
γ線
X線~
紫外線
波長
(m)
~10-12
10-11 ~ 10-7
目安
eV
可視光線
105 ~ 3.2
電波
(4 ~ 8)×10-7 10-6 ~ 10-3 10-3 ~ 10-1 1 ~
Å
陽子 核 原子 蛋白質
~ 105
GeV MeV
赤外線 マイクロ波
3.2 ~ 1.6
μm
細胞
人
1 ~ 10-3 10-4 ~ 10-5 10-6 ~
温度
10 109 ~3.7×104
4 103 ~10
~
10
(3.7
~1.8)
×10
(K)
1 ~ 10-1 10-2 ~
不確定性関係の関数表示
p
Δp ⋅ Δq ≥ h
確
率
p, q に対して,存在確率
たとえば,“うなり”
Fourier 変換
周期関数の重ね合せ
ただし,三角関数の重ね合せでは元々の振動が残り,
1つの自由粒子の状態を表せない.
q
複素周期関数の重ね合せの絶対値
ψ (x ) = e i (π 4 )x + 0.7e i (π 2 )x
ψ (1) = e i (π 4 ) + 0.7e i (π 2 )
2つの複素周期関数の重ね合せにおける絶対値
ψ = c1e iθ1 + c2 e iθ 2
ψ
2
(
)(
)
= ψ ∗ψ = c1e −iθ1 + c2 e −iθ 2 c1e iθ1 + c2 e iθ 2 = c12 + c22 + 2c1c2 cos(θ1 − θ 2 )
一般に
ψ = ∑ c n e iθ n
n
ここで,
θ n = S n h = ( p ⋅ q )n h
と置く
S = 作用量(=運動量×位置=エネルギー×時間)が状態(確率)
を決め,その状態関数としてψ(複素数)が定義される.
“確率=(状態関数の大きさ)2 ”
(1)状態関数の変数
不確定性関係 ⇒ p, q 同時には確定し得ない
状態関数は ψ (q ) or φ ( p )
ζ ( p, q ) でない
q の関数 ψ (q ) とすると
θ = S h = ( p ⋅ q ) h = ( p h )q = k ⋅ q ,
ψ (q ) = ∑ cn e iθ = ∑ cn eik q
n
n
n
n
状態関数=複素関数の重ね合せ
p = kh
状態関数の図式表示
ψ (q )
q
ψ ∗ψ
q
p
(2)規格化
∗
ψ
dV
=
ψ
∫
∫ ψdV = 1
2
V
V
確
率
(3)直交性
q
∞
ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + c3ψ 3 + L = ∑ cnψ n
n =1
∞
∫ (ψ ψ
−∞
∗
m
)
∗
+
ψ
n
nψ m dq =
∞
(
(
e
∫
−∞
i n − m )q
)
∞
+ e −i (n − m )q dq = 2 ∫ cos[(n − m )q ]dq = 0
−∞
実数周期関数の状態関数 ← 自由粒子としては不合理
ψ (q )
q
ψ ∗ψ
q
無限の深さの井戸型ポテンシャル
U (x ) = 0 ; 0 < x < L
(領域Ⅱ)
x≤0
(領域Ⅰ)
(領域Ⅲ)
U (x ) = ∞ ;
x≥L
∞
∞
U(x)
境界条件
0
領域Ⅰ
L
領域Ⅱ
x
領域Ⅲ
有限な深さの井戸型ポテンシャル
L
L
U ( x ) = 0 ; − < x < (領域Ⅱ)
2
2
L
x≤
(領域Ⅰ)
2
U (x ) = U 0 ;
L
x≥
(領域Ⅲ)
2
U(x)
U0
0.865U0
Ψ(x)
0.26U0
境界条件
-L/2
η = ξ tan ξ
ξ 2 + η 2 = u 2 ; u 2 = 2meU 0 h 2
領域Ⅰ
0
領域Ⅱ
L/2
領域Ⅲ
井
い
深
領域Ⅰ,Ⅲにおける減衰速度
戸
ξ=
領域Ⅱにおける波数
kL
κL
,η =
2
2
量子力学
p=0
p = pmax
p=0
古典力学
量子力学
古典力学
位置とともに変化するポテンシャル
U(x)
井戸の中
p(x )
k (x ) =
=
h
井戸の外
ip (x )
κ (x ) =
=
h
2m[E − U (x )]
h
2m[U (x ) − E ]
h
ψ 1 (x ) = A1 sin (k1 x + φ1 ) : 領域Ⅰ
E
0
井戸の中
x
U(x)
ψ 2 (x ) = A2 sin (k 2 x + φ 2 ) : 領域Ⅱ
⎧ψ ′(xb ) ⎫ 1
1+ ⎨
⎬ 2
(
)
x
ψ
A2
b ⎭ k2
⎩
=
2
A1
⎧ψ ′(xb ) ⎫ 1
1+ ⎨
⎬ 2
(
)
x
ψ
b ⎭ k1
⎩
E
2
0
xb
領域Ⅰ 領域Ⅱ
x
n2h2
n2
= a 2 , ∴ n ≈ bL V0
V0 ≥ E =
2
8me L
L
3
6
>4
≈8
3
散乱現象
入射ビーム
x
z
y
標的
コンプトン散乱
λ1
入射フォトン
λ0
p = h λ0
θ
φ
散乱電子
散乱フォトン
p = h λ1
Davisson – Germer の実験
+ -
Ni
電子銃
真空
検出器
電子線の加速電圧=75V
多結晶
80°
電子線
Ni
単結晶
多結晶: 焼鈍し前,
単結晶: 焼鈍し後
45°
反射,透過
U= 0
U= U0
領域Ⅰ
領域Ⅱ
A k1 − k 2
,
=
A0 k1 + k 2
2k1
B
=
A0 k1 + k 2
ψ 1 (x )
2k 2 ik1x 2(k1 − k 2 )
ψ 2 (x )
2k1 ik 2 x
=
e
e +
cos k1 x ,
=
A
k1 + k 2
k1 + k 2
A
k1 + k 2
ψ 1 (x )
A0
2
[
(
)
]
2 k + k + k − k cos(2k1 x )
=
,
(k1 + k2 )
2
1
R:反射係数,
2
2
2
2
1
2
2
2
ψ 1 (x )
A0
2
4k12
=
(k1 + k2 )2
T:透過係数
2
⎛ k1 − k 2 ⎞
A
4k1k 2
k2 B
⎟⎟ , T = 1 − R =
R=
=
= ⎜⎜
2
A0
(k1 + k 2 ) k1 A0
⎝ k1 + k 2 ⎠
v2 p 2 k 2
=
=
v1 p1 k1
2
確率の流れ=確率速度×特性速度
浅い井戸型または低い障壁ポテンシャルによる散乱
(共鳴による完全透過)
2
D
4k1k 2
=
T=
A0
(k1 + k2 )2 e −ik2 L − (k1 − k2 )2 eik2 L eik1L
[
2
]
1
=
1 ⎛ k 2 k1 ⎞ 2
1 + ⎜⎜ − ⎟⎟ sin (k 2 L )
4 ⎝ k1 k 2 ⎠
U(x)
[共鳴条件]
完全に透明=完全透過
sin (k 2 L ) = 0
k 2 L = nπ
L=n
ここで,
λ2
2
2π
λ2 =
k2
L
0
x
- U0
領域Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
井戸寸法の状態を特徴づ
ける無次元化パラメータ
β = Lp0 h = L 2mU 0 h
En の無次元量
ε n = En U 0
共鳴条件
2m(En + U 0 ) nπ
=
k2 =
L
h
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
β = nπ ⎜1 − ε n ⎟ = (n + 1)π ⎜1 − ε n +1 ⎟
透過係数
1
2
T (ε ) =
1
2
Δε = ε n +1 − ε n = 2 n
1
1+
(
1
sin 2 β 1 + ε
4ε (1 + ε )
)
U(x)
障壁の通過
(トンネル効
果)
U0
連続条件
0
貫通率(透過係数)
領域Ⅰ
x
L
Ⅱ
Ⅲ
2
D
4ikκ
T=
=
A0
(κ + ik )2 e −κL − (κ − ik )2 eκL eikL
[
L >> 1 κ
2
]
の場合
2
⎛ E ⎞⎛
D
16κ 2 k 2 e − 2κL
E ⎞ − 2κL
⎟⎟ e
T=
=
= 16⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜1 −
2
2
2
A0
κ +k
⎝ U 0 ⎠⎝ U 0 ⎠
(
)
10 eV
3 eV
4Å
T=6.7×10-5
金属
2κL=10.8
金属
1/κ=0.74Å
酸化物絶縁層
κ=1.35×1010 m-1
障壁の通過
(電界放出)
フェルミ準位
真空準位 U0
W=4eV
E
空間
陰極(金属)
陰極(W線)
陽極リング
rtip ≈ 0.5μ m
Etip ≈ 5.5 × 1010 V m
rtip : 先端半径
Etip : 先端電界
矩形障壁に対して
U(x)
ψ (x ) = ψ ( x0 ) e −κ ×( x − x
b
)
変動する障壁に対して
E
dψ
= −κ (x )ψ
dx
ψ (x + Δx ) = ψ ( x ) e −κ ( x )×Δx
⎡ψ ( x2 ) ⎤
∫x1
=
T =⎢
e
⎥
(
)
x
ψ
1 ⎦
⎣
2
−2
x2
κ ( x )dx
電界放出
U (x ) =
0
:x < 0
U 0 − eVx : x ≥ 0
L = (U 0 − E ) eV = W eV ,
T =e
−2
x
κ一定
U(x)
E
x2
∫x1 κ ( x )dx
= eV0 V
V0 = 4 2mW 3 3h
x1
x
W=4eV の場合
V0 ≈ 5.5 × 1010 V m
x0
T > 10 −20 ≈ e −50
x2
x + Δx
x
障壁の通過(α崩壊)
核内
引力ポテンシャル
強い力(漸近自由)
核外
斥力ポテンシャル
クーロン力
+Ze
+(Z-2)e
+2e
中性子
α粒子:
=
陽子
[崩壊] 減衰曲線: P(t ) = P(0) e −γ t
R
(
半減期τ: τ = ln 2 γ
)
P = ∫ ψ ∗ψ 4π r 2 dr = 8π R A0
核内の存在確率:
0
核外への確率の流れ:
J 3 = 4π v3 D
2
2
保存条件:
U(r)
U0
0
斥力ポテンシャル
(核正電荷)
E
領域Ⅰ
引力ポテンシャル
(強い力)
Ⅱ
崩壊定数γ:
γ=
r
R
dP
= J1 = J 3
dt
v3 D
2 R A0
2
透過係数:
T=
v3 D
v1 A0
2
τ 2 γ 1 T1
=
=
τ 1 γ 2 T2
v
γ = 1 T =(壁に対する衝突回数)×(透過係数)
2R
2(Z − 2 ) e 2
R
2(Z − 2 ) e 2
= U0 , U0 =
U (r ) =
4π ε 0 r
r
4π ε 0 R
2 2m
ln T ≈ −
h
∫
r1
R
RU 0 2m ⎛ π
4 ⎞
R
⎜
⎟⎟ ;
−
+
U 0 − E dr = −
⎜
h
r
E U0 ⎠
⎝
2(Z − 2 ) e 2
r1 =
4π ε 0 E
⎛ 1
⎞ U 0 Rπ 2m
⎛ T1 ⎞
⎛τ2 ⎞
1
⎟
−
log(e )
log⎜⎜ ⎟⎟ ≈ log⎜⎜ ⎟⎟ = −⎜
⎜
⎟
h
E2 ⎠
⎝ T2 ⎠
⎝ τ1 ⎠
⎝ E1
放射性元素:
Po212:
Z − 2 ≈ 90, R ≈ 10 −14 m
E1=8.95 MeV,
Th232:
E2=4.05 MeV
実測値: Po212: 0.3 μsec(=3×10-7sec),
Th232: 139億年(=4.38×1017sec)
U 0 = 25 MeV
⎛τ2 ⎞
log⎜⎜ ⎟⎟ ≈ 25.4
⎝ τ1 ⎠
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