䢴䣃䢴䢯䣃䢳䢸
多指ハンドを有するハンドアームシステムを用いた動的多面体把持
Dynamic Grasping for an Arbitrary Polyhedral Object
by a Multi-Fingered Hand-Arm System
°
学
河村 晃宏(九大)
正
倉爪 亮(九大)
正
田原 健二(九大)
正
長谷川 勉(九大)
Akihiro KAWAMURA, Kyushu University, [email protected]
Kenji TAHARA, Kyushu University Ryo KURAZUME, Kyushu University
Tsutomu HASEGAWA, Kyushu University
This paper proposes a novel control method for stable grasping using a multi-fingered hand-arm system.
The proposed method is simple and easily achieves stable grasping of an arbitrary polyhedral object using an
arbitrary number of fingers. Firstly, we model nonholonomic rolling constraints between a multi-fingered handarm system and an object, and derive a condition for stable grasping through stability analysis. A new index
for evaluating the possibility of stable grasping is proposed and efficient initial contact positions are analyzed.
The stability of the proposed system and the validity of the index are verified through numerical simulations.
Key Words: dexterous grasping, dual-arm manipulator, multi-fingered hand
1
緒言
qa 3
qa 5
人間は,その腕と5本指の手を同時に巧みに操ることで
多様なタスクの実現を可能にしている.多関節多指ハンド
を有するハンドアームシステムは,人の腕・手と似た構造か
ら,人のような物体の巧みな把持・操りが期待できる.この
システムを用いることで,未知の環境下で,多様な形状の物
体に対するタスクを,より安全に実現する可能性が高まる.
そのため,このシステムを用いた任意形状の物体に対する数
多くの研究が行われてきた [1]. その中で指先と物体の力学
的相互作用にまで言及したものとして,回転接触拘束を考
慮し,物体の動的把持を取り扱ったものが幾つかある.しか
し,それらの多くは逆運動学や逆動力学の実時間計算および
物体の質量や形状などの物体情報 [1, 2],またはビジョンセ
ンサやタクタイルセンサを用いた外界センシング [3, 4] が必
要であった.
一方で,物体情報と外界センシングを共に必要としない,
任意形状の物体に対する動的把持手法も Wimboeck らに
よって提案されている [5].しかし,この手法ではシステム
全体の閉ループダイミクスの収束性について議論されてお
らず,指先と物体間の回転接触拘束も考慮されていない.同
様に Arimoto ら [6–8] によって物体情報と外界センシング
を共に必要としない動的把持手法が提案されている.これ
らの手法では把持対象物が平行な2平面を持つ物体に限定
されているが,閉ループダイナミクスの収束解析により,シ
ステム全体の安定性が保証されている.
本稿では多関節多指ハンドを有するハンドアームシステ
ムによる任意多面体の動的把持手法を提案する.本手法は
物体情報や外界センシングを必要とせず,簡便な制御入力に
よって物体の安定把持を実現するものである.まず,指先–
物体間の回転接触拘束を考慮した,ロボットと把持物体を含
むシステム全体のモデル化を行う.ここで用いる回転接触
拘束モデルは非ホロノミックな拘束モデルであり,Arimoto
ら [6–8] によって提案されているモデルを任意多面体・任意
の指の本数に対応できるよう拡張したものである.次に,安
定把持のための制御入力を提案し,制御入力を含んだシステ
ム全体の閉ループダイナミクスの収束性を解析する.この
qa 4
q11
q12
q13
x01
q22
y
q21
q31
y
q32
q23
q33
x02
x03
z
z
O
qa1
qa 2
x
x
Fig.1 Multi-fingered hand-arm system
収束解析から,システム全体の安定性を評価する新しい指標
を提案する.最後にシステムの安定性と提案する指標の有
効性を数値シミュレーションによって検証する.
2
多関節多指ハンドを有するハンドアームシステムの
モデルとダイナミクス
本論文で扱うハンドアームシステムを図 1 に示す.把持
対象物は指先と物体の接触面が平面で構成される任意形状
の物体とする.全ての指先は柔軟で半球形状とし,物体表面
上で滑ることなく面接触を伴った回転接触を行う.本論文
では,物体と指との力学的な相互作用およびシステムの安定
性についての議論を見通し易くするため,重力の影響につい
てはあえて考慮しない.図 1 において, x0i ∈ R3 は接触面
中心の位置を示す. 以降,i は i 番目の指を意味する. また,
腕部と i 番目の指はそれぞれ Na と Ni の自由度を持つ.腕
部の関節角は q a ∈ RNa ,i 番目の指の関節角は q 0i ∈ RNi
と表し,ハンドアームシステム全体の関節角ベクトルである
䣝䣐䣱䢰䢢䢲䢻䢯䢶䣟䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢲䢻䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣈䣷䣭䣷䣱䣭䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢶䢯䢴䢸䢮䢢䢴䢲䢲䢻
䢴䣃䢴䢯䣃䢳䢸䢪䢳䢫
Center of
contact area
Contact area
Finger tip
2.2
柔軟指の接触モデル
柔軟な指先の変位と力の関係を表す接触モデルとして,
C iZ
i
Object
C iY
rY
Oc.m.
Yi
rX
∆ ri
xi
vi
rZ
C iX
Zi
ri
Arimoto らによって定式化された集中定数モデルを導入す
る [6].指先接触面中心位置における最大変位量 ri − ∆ri
によって発生する反力を fi (∆r) とすると,以下の様に表さ
Center of
finger tip
れる.
·
x0i
d
(ri − ∆ri )
fi = f¯i + ξi dt
¯
fi = k(ri − ∆ri )2 ,
(5)
ここで k は正のスカラー量,ξi は指先の最大変位量 ri − ∆ri
に伴って変化する正のスカラー関数であり,両者とも指先の
物性に依存した値である.
Xi
Center of the
Object mass
2.3
ダイナミクス
式 (2)(3) 示した拘束条件と柔軟指の接触モデルを用いて,
ロボットと把持対象物の運動方程式は以下のように表せる.
Fig.2 Contact model at the center of the contact area
³ ¡
¢ ´
T T
T
T
のよ
q は N 本の指を持つ時, = q T
a , q 01 , q 02 , ..., q 0N
うに表す. 図 2 は把持対象物と指先との関係を示しており,
T
Oc.m. は物体の質量中心を示す.x = (x, y, z) ∈ R3 は質
量中心 Oc.m. の位置を,ω は Oc.m. における物体の姿勢角
For the multi-fingered hand-arm system:
¾
½
1
H (q) q̈ +
Ḣ (q) + S (q, q̇) q̇
2
N ³
´
X
T
T
+
JT
0i C iY fi + X iq λiX + Z iq λiZ = u,
For the object:
速度ベクトルを示す.
M ẍ +
2.1 拘束条件
慣性座標系からみた接触面中心 xi における座標を以下の
ように定義する.
Rob RCi = (C iX , C iY , C iZ ) ,
½
I ω̇ +
N ³
X
´
T
λ
λ
+
Z
−fi C iY + X T
ix iZ = 0 (7)
ix iX
i=1
¾
N
X
1
İ + S ω −
{C iY × (x − x0i )}fi
2
i=1
(1)
+
ここで,Rob は慣性座標系における把持物体の姿勢を示す
回転行列であり,RCi は物体座標系における接触面中心の
姿勢を示す回転行列である.このとき,指先–把持物体間の
滑りの起こらない回転接触は非ホロノミックな拘束であり,
以下の式で表される.
X iq q̇ + X ix ẋ + X iω ω = 0
Z iq q̇ + Z ix ẋ + Z iω ω = 0,
(2)
(3)
ただし,









T
X iq = ∆ri C T
iZ J Ωi − C iX J 0i
T
X ix = C iX
T
X iω = {C iX × (x − x0i )} − ∆ri C T
iZ
T
T
Z iq = −∆ri C iX J Ωi − C iZ J 0i
Z ix = C T
iZ
T
Z iω = {C iZ × (x − x0i )} + ∆ri C T
iX ,
T
(ωx , ωy , ωz ) ∈ R3
PN
3×(Na + i=1 Ni )
ω =
J Ωi ∈ R
3
制御入力
提案する把持手法は以下の簡単な制御入力によって実現
される.
N
X
(4)
J 0j (xd − x0j ) − C q̇
PN
xd =
Ni )
ビ行列,J 0i ∈ R3×(Na + i=1P
は各指の接触面中心の位
Na + N
i=1 Ni に関するヤコビ行列,
置 x0i の各関節角 q ∈ R
∆ri は指先中心と接触面中心との距離である.
´
T
XT
iω λiX + Z iω λiZ = 0, (8)
ただし,H はロボットの慣性行列,M = diag(m, m, m) は
把持物体の質量,I は把持物体の慣性テンソル,S (q, q̇) は
コリオリ力,遠心力などを含む歪対称行列,u は入力トルク
ベクトル,λiX と λiZ はラグランジュ乗数である.
i=1 ri j=1
は物体の瞬時回転軸ベクトル,
N
N ³
X
i=1
fd
u = PN
は各指の接触面中心における姿勢
PN
角速度ベクトルの各関節角
q ∈ RNa + i=1 Ni に関するヤコ
P
(6)
i=1
i=1
N
x0i
,
(9)
(10)
ただし,C > 0 は関節粘性係数を表す正定対角行列,fd は
目標把持力である.この制御入力は田原ら [8] によって提案
された制御入力を基にしており,それぞれの指先が全ての指
先の中心の重心に向かうような制御になっている.ここで,
出力ベクトルを以下のように表す.
¢T
¡
Λ̇ = q̇ T , ẋT , ω T .
䣝䣐䣱䢰䢢䢲䢻䢯䢶䣟䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢲䢻䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣈䣷䣭䣷䣱䣭䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢶䢯䢴䢸䢮䢢䢴䢲䢲䢻
䢴䣃䢴䢯䣃䢳䢸䢪䢴䢫
(11)
(9) で表される制御入力をロボットの運動方程式 (6) に代入
し,(6)–(8) で表される閉ループダイナミクスと出力ベクト
ル (11) の内積和を取ると,以下の式を得る.
N
X
d
E = −q̇TC q̇ −
ξ∆ṙi2 ≤ 0
dt
i=1
(12)
E = K + V + ∆P ≥ 0
1
1
1
K = q̇ T H q̇ + ẋTM ẋ + ωTIω
2
2
2
A
2
2
V = (x01 − x02 ) + (x02 − x03 )
2
+... + (x0N − x01 )
θ t1
x
X3
(13)
x
Y3
x
y
(14)
2
Y2
θt 3
o
Y1
X2
(15)
X1
z
y
x
N Z δri
X
©
ª
∆P =
f¯i (∆rdi + φ) − f¯i (∆rdi ) dφ, (16)
i=1
y
θt 2
0
ただし,
Fig.3 Cross-section view of polygonal column
δri = ∆rdi − ∆ri
fd
´.
A = ³P
N
N
r
i
i=1
(17)
(18)
4
∆rdi は ∆ri の ∆fd を満たす時の値であり,0 ≤ ∆rdi −
δri < ri が満たされる限り ∆P は正の値をとる.更に,K
と V も正なので指先が動いている間,E は常に正の値とな
る (13).また,式 (12) と (13) から以下のような式が得ら
れる.
Z
∞
Ã
T
q̇ C q̇ +
0
N
X
!
ξ∆ṙi2
dt
i=1
≤ E (0) − E (t) ≤ E (0) ,
(19)
式 (19) は,各関節角速度 q̇ (t) が時間 t ∈ (0, ∞) において 2
乗可積分となることを示しており,これは q̇(t) ∈ L2 (0, ∞)
となることを表している.また,式とで表された拘束条件
を考慮することにより,物体の並進速度および姿勢速度も
それぞれ,ẋ ∈ L2 (0, ∞),ω ∈ L2 (0, ∞) となることがいえ
る. よって,全システムの出力ベクトル Λ̇(t) は時間 t につ
いて一様連続となり,結果として t → ∞ の時 Λ̇ → 0 およ
び Λ̈ → 0 となることがいえる [7]. したがって,それぞれの
指にかかる力の合力と把持物体にかかる力の合力がゼロに
収束することがいえる.
´T
³
T
T
→0
∆λ∞ = ∆λT
q , ∆λx , ∆λω
E = Emin となる時の指先の位置は V が最小のとき
(= Vmin ) の指の位置に等しい.つまり,V = Vmin となる
時の指先の位置を解析することで物体不動化の可否が明ら
かとなる.把持物体が任意多角柱の場合の V は以下のよう
になる.
£¡
¢ ¡ 2
¢
2
2
V = A X12 + X22 + ... + XN
+ D1 + D22 + ... + DN
− {(D1 X2 − X1 D2 ) sin θt2 + (D2 X3 − X2 D3 ) sin θt3
+... + (DN X1 − XN D1 ) sin θt1 }
− {(X1 X2 + D1 D2 ) cos θt2 + (X2 X3 + D2 D3 ) cos θt3
+... + (XN X1 + DN D1 ) cos θt1 }]
n
A
2
2
+
(Z1 − Z2 ) + (Z2 − Z3 )
2
o
2
+... + (ZN − Z1 )
,
(21)
θti = θsi − θs(i−1)
(i 6= 1)
(22)
θti = θsi − θsN
(i = 1)
(23)
ただし,
Di = Yi + ∆ri .
(20)
ただし, ∆λq はロボットにかかる全ての外力の合力を示し,
同様に ∆λx と ∆λω はそれぞれ把持物体の並進と回転に作
用する全ての外力の合力を示す.結果として,全ての外力と
それぞれの速度がゼロに収束することから物体を不動化す
るための力/トルクの平衡条件が動的な意味で満たされてい
ることがいえる.しかし,これらの安定解析は数値的なもの
に過ぎず,物理的観点から見れば矛盾を含んでいる場合があ
る.よって,次節では任意多面体の一例として任意多角柱を
把持する時のシステム全体の安定性を満たすための条件を
明らかにする.ただし,この条件はシステム全体の動作が収
束した状態,つまり E が最小値 Emin となった状態につい
てのものであり,初期状態からシステム全体の動作が収束す
るまでの過程については考慮しない.
任意多角柱の把持
(24)
図 3 からわかるように,θti は底面と平行な断面における外
角であり,Yi は物体の質量中心から i 番目の指先が接触し
ている物体表面までの距離である. この結果から V = Vmin
となる必要条件の一つに以下の式が挙げられる.
Z1 = Z2 = ... = ZN .
(25)
また,把持物体が任意多角柱である場合,Xi の値を見るこ
とで物体不動化の可否を調べることができる.つまり,V
が最小値をとるとき,Xi が接触面に入っていればシステム
全体が安定に収束するといえる.ここで,式 (21) は3つの
パラメータ Xi , Di と θti を持つ. よって Xi の挙動を調べ
るために,V = Vmin となるときの具体例として三角柱にお
䣝䣐䣱䢰䢢䢲䢻䢯䢶䣟䢢䣒䣴䣱䣥䣧䣧䣦䣫䣰䣩䣵䢢䣱䣨䢢䣶䣪䣧䢢䢴䢲䢲䢻䢢䣌䣕䣏䣇䢢䣅䣱䣰䣨䣧䣴䣧䣰䣥䣧䢢䣱䣰䢢䣔䣱䣤䣱䣶䣫䣥䣵䢢䣣䣰䣦䢢䣏䣧䣥䣪䣣䣶䣴䣱䣰䣫䣥䣵䢮䢢䣈䣷䣭䣷䣱䣭䣣䢮䢢䣌䣣䣲䣣䣰䢮䢢䣏䣣䣻䢢䢴䢶䢯䢴䢸䢮䢢䢴䢲䢲䢻
䢴䣃䢴䢯䣃䢳䢸䢪䢵䢫
Table 1 Relationship between θti and Xi
2.84
2.54
2.24
1.94
1.64
2.84
2.54
2.24
1.94
1.64
0.60
1.20
1.80
2.40
3.00
(rj = 0.03 [m] , ∆rmin
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
X2 [m]
X3 [m]
-0.0601
-0.0122
-0.0094
0.0190
0.1137
0.0601
IN
0.0122
IN
0.0094
IN
-0.0190
IN
-0.1137 OUT
ˆ ˜
= 0.02 [m] , S = 6.38 × 103 m2 )
X3
X 3 for Vmin
Time[s]
Table 2 Relationship between ri and Xi
∆rmin [m]
X1 [m]
X2 [m]
X3 [m]
F
0.030
0.020
0.00
0.0504
-0.0504
IN
G 0.050
0.040
0.00
0.0605
-0.0605
IN
H
0.070
0.060
0.00
0.0705
-0.0705
OUT
`
ˆ ˜´
(θt1 , θt2 , θt3 ) = (1.79, 1.79, 2.70) [rad], S = 6.38 × 103 m2
ける Xi と θti の関係を表 1 に,Xi と Di の関係を表すた
めに Xi と指先半球の半径 ri との関係を表 2 に示す.ただ
し,それぞれの値は底面積 S によって正規化されている.
表 1,2 中の”IN”は Xi が接触面内に収まっている,つまり
安定把持が実現できることを示し,”OUT”は Xi が接触面
外,つまり指先が物体表面上に無い状態であり,安定把持が
実現できないことを示す.表 1,2 から,システム全体の安
定性が物体形状および指先半球の半径に依存していること
がわかる.同時に指先の初期接触位置が V = Vmin となる
時の指先の位置の近傍であれば,安定把持を実現する可能性
が高いといえる.したがって,V の解析は安定把持の可能
性を評価する指標となる.
5
数値シミュレーション
図 1 のような 5 自由度の腕と 3 自由度の 3 本の指で構
成されるハンドアームシステムで三角柱の物体を把持する
シミュレーションを行った.このときの Xi と Zi の時系列
データを図 4 に示す.この図から Xi が V = Vmin のときの
Xi に収束していることがわかる.また,Zi もそれぞれ同じ
値に収束しており,式 (25) の条件を満たしているといえる.
つまり Xi と Zi については V = Vmin となる時の Xi と Zi
の値に収束しており,V の解析がシステム全体の安定性を
評価する有効な指標であることが示されている.更に,紙面
の都合により図を省略するが,∆λ∞ の全ての要素と,全て
の角速度 q̇, ẋ と ω がゼロに収束することを確認した.こ
れらの結果より,本論文で提案した手法を用いることによ
り,把持物体を不動化するための力/トルク平衡が動的な意
味で実現できることを示した.
6
結言
本論文では多指ハンドを有するハンドアームシステムを
用いた任意多面体の安定把持手法を提案した.まず本手法
で提案する簡便な制御入力によって,物体の不動化を行うた
めの力/トルク平衡を動的な意味で実現できることを,収束
性の解析および数値シミュレーションによって示した.更
にシステム全体の安定性の評価指標としての V の解析を提
案し,数値シミュレーションによって V の有効性を示した.
また,この論文では物体の位置・姿勢制御手法については
議論していないが,田原ら [8] や Bae ら [9] の提案手法を参
考にすることで容易に実現できると考えられる.次回の論
Z1
Z2
Z3
Zi [m]
r[m]
X1
X 1 for Vmin
Xi [m]
θt1 [rad] θt2 [rad] θt3 [rad] X1 [m]
A
B
C
D
E
X2
X 2 for Vmin
Time[s]
Fig.4 History of Xi reach to Xi for Vmin and history
of Zi satisfies (25)
文では把持対象物を曲面を持つ物体にまで拡張する予定で
ある.
文献
[1] A. Bicchi, “Hands for dexterous manipulation and robust
grasping: A difficult road towards simplicity,” IEEE Trans.
Robot. Automat., vol. 16, no. 6, pp. 652–662, 2000.
[2] D. Montana, “The kinematics of contact and grasp,” Int. J.
Robot. Res., vol.7, no. 3, pp. 17-32, 1988.
[3] Y. Yokokohji, M. Sakamoto and T. Yoshikawa, “Vision-aided
object manipulation by a multifingered hand with soft fingertips,” Proc. IEEE Int. Conf. Robot. Automat., pp. 3202–3208,
1999.
[4] T. Takahashi, T. Tsuboi, T. Kishida, Y. Kawanami, S.
Shimizu, M. Iribe, T. Fukushima and M. Fujita, “Adaptive
grasping by multi fingered hand with tactile sensor based on
robust force and position control,” IEEE Int. Conf. Robot. Automat., pp. 264–271, Pasadena, CA, 2008.
[5] T. Wimboeck, C. Ott, and G. Hirzinger, “Passivity-based
Object-Level Impedance Control for a Multifingered Hand,”
Proc. of the 2006 IEEE/RSJ on Intelligent Robots and Systems, pp. 4621–4627, Beijing, Chine, 2006.
[6] S. Arimoto, P.T.A. Nguyen, H.-Y. Han and Z. Doulgeri, “Dynamics and control of a set of dual fingers with soft tips,”
Robotica, vol. 18, no. 1, pp. 71–80, 2000.
[7] S. Arimoto, “A differential-geometric approach for 2-D and 3-D
object grasping and manipulation,” Annual Review in Control,
Vol. 31, pp. 189–209, 2007.
[8] K. Tahara, S. Arimoto and M. Yoshida, “Dynamic object
grasping by a triple-fingered robotic hand,” 2008 IEEE/RSJ
Int. Conf. on Intelligent Robots and Systems., pp. 2685–2690,
Nice, France, 2008.
[9] J.-H. Bae, S. Arimoto, R. Ozawa, M. Sekimoto and M. Yoshida,
“A unified control scheme for a whole robotic arm-fingers system in grasping and manipulation”, Proc. of the 2006 IEEE
Int. Conf. Robot. Automat., pp. 2131–2136, Orlando, Florida,
2006.
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