question
1. A1 , A2 ⊂ Rn に対して,次の問に答えよ.
(1) A1 ∪ A2 = A1 ∪ A2 が成り立つことを証明せよ.
(2) A1 ∩ A2 ⊆ A1 ∩ A2 が成り立つことを証明せよ.また,等式が成り立たない例
をあげよ.
2. 次の R2 の部分集合 A の集積点と閉方 A を求めよ.理由も述べよ.
1
A = {(x, y) ∈ R2 |y = sin , 0 < x ≤ 1}
x
answer
1. (1) 以下
A1 ∪ A2 ⊆ A1 ∪ A2 を示す.
x ∈ A1 ∪ A2 ⇒ ∀ϵ に対し,Bϵ (x) ∩ (A1 ∪ A2 ) ̸= φ
⇒ Bϵ (x) ∩ A1 ̸= φ ∧ Bϵ (x) ∩ A2 ̸= φ
⇒ x ∈ A1 ∧ x ∈ A2 ⇒ x ∈ A1 ∪ A2
A1 ∪ A2 ⊇ A1 ∪ A2 を示す.
x ∈ A1 ∪ A2 ⇒ x ∈ A1 ∧ x ∈ A2
⇒ ∀ϵ1 に対し,Bϵ1 (x) ∩ A1 ̸= φ ∧ ∀ϵ2 に対し,Bϵ2 (x) ∩ A2 ̸= φ
⇒ ∀ϵ に対し,Bϵ (x) ∩ (A1 ∪ A2 ) ̸= φ ⇒ x ∈ A1 ∪ A2
(2) A1 ∩ A2 ⊆ A1 ∩ A2 を示す.
x ∈ A1 ∩ A2 ⇒ ∀ϵ に対し,Bϵ (x) ∩ (A1 ∩ A2 ) ̸= φ
⇒ Bϵ (x) ∩ A1 ̸= φ ∨ Bϵ (x) ∩ A2 ̸= φ
⇒ x ∈ A1 ∨ x ∈ A2 ⇒ x ∈ A1 ∩ A2
反例 A1 = {(x, y) ∈ R2 |x > y}, A2 = {(x, y) ∈ R2 |x < y}
2. 集積点= {(x, y) ∈ R2 |x = 0, −1 ≤ y ≤ 1}
A
= A ∪ {(x, y) ∈ R2 |x = 0, −1 ≤ y ≤ 1}
理由 x ∈ {(x, y) ∈ R2 |x = 0, −1 ≤ y ≤ 1} ならば,∀ϵ > 0 に対し,Bϵ (x) ∪ A\{x} ̸= φ
それ以外の点に対しては,∃ϵ > 0 s.t. Bϵ (x) ∪ A\{x} = φ
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question A = {(x, y) ∈ R2|y = sin 1 x ,0