第7回、平成23年5月18日
ー FEM解析のための連続体力学入門 -
FEMによるクリープ解析
解説者:園田 恵一郎
クリープとリラクセーション
張力(N)
δ0
W
Δδ
ΔN
W
W
時間(t)
時間(t)
(a)
(b)
Creep
(c)
(d)
Relaxation
クリープ・レラクセーションでの応力・ひずみ関係


B
t=0
A クリープ t
C
 ce
t
0
D' D


cc ce e
 cc 
 (t , t 0 )
Ec (t 0 )
 (t , t 0 )
  0   (t , t 0 )   e0
:クリープ係数
0
時間 t
t1
 cr   cc   ce
 cc :フローひずみ
 ce
:遅れ弾性ひずみ
クリープひずみの重ね合わせ(線形クリープ理論)
0
 (t , t 0 )
1   (t , t 0 )
 c   e   cc 

 0 
 0
E c (t 0 ) E c (t 0 )
E c (t 0 )
1   (t , t 0 )  c (t ) 1   (t , )
 c (t )   0 (t 0 ) 
 
 d c
Ec (t 0 )
 (t ) Ec (t )
0 0
toからの載荷曲線
τからの載荷曲線
t0
t1
t n-1
tn
材齢 t
t0
τ
ti
材齢t
重ね合わせ原理(Whitneyの法則) σc<0.4fc
コンクリートのクリープおよび乾燥収縮ひずみ
コンクリート標準示方書(2002年版)による.



'
'
'
 cc
(t , t ' , t 0 ) /  cp
 1  exp  0.09(t  t ' ) 0.6   cr



'
 (t, t ' )  1  exp  0.09(t  t ' ) 0.6   cr
/ Ec (t ' )



'
'
 cs
(t, t 0 )  1  exp  0.108(t  t 0 ) 0.56   sh
ここに, t 0 , t ' , t :乾燥開始時,載荷時,解析時の有効材齢
'
'
' :単位応力当たりのクリープひずみ最終値
 cr
  bc
  dc
'
 bc
:単位応力当たりの基本クリープひずみ最終値
'
 dc
:単位応力当たりの収縮クリープひずみ最終値
Ec (t ' ) :載荷時の弾性係数
'
'
 cs
(t , t 0 )  sh
:材齢t0からtまでの乾燥収縮ひずみとその最終値
クリープ特性:クリープによって応力が変化するのか?
q0
q0
コンクリート桁
 (t )   0 (t )
 0 (t ) 
1   (t , t 0 )
E c (t 0 )
Ec (t 0 )
  (t )
1   (t , t 0 )
L
L
(a)構造系(t=t1で連続化)
(b)t0<t<t1での曲げモーメント
(c)t1<tでの曲げモーメント増分
t=t0で連続化
t=t1で連続化
連続化無し
(d)t=∞での曲げモーメント
FEMによるクリープ・乾燥収縮解析(1)
クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則
σ  CE (e  einit )
dσ  CE (de  deinit )
C E :弾性係数行列
FEMでの剛性方程式:
t
K d t U d t R
t
K   B
d t R d t Rload d t Rinit
( m )T t
C E B ( m)  dV ( m)
m Vm
初期荷重増分:
d t R init    B
( m )T
m Vm
初期応力増分:
dσinit t CE deinit
dσ init  dV ( m)
FEMによるコンクリート構造のクリープ・乾燥収縮解析(2)
クリープや乾燥収縮などの初期ひずみ e init を有する場合の弾性則
E
σ  CE (e  einit ) dσ  C (de  deinit )
t  t ,2t ,3t ,.......... 微小時間増分に分割
t
クリープ解析では,時刻(t)を
t  t
σ (i 1)  t σ 
t  te (i 1)
t E

C E :弾性係数行列
C d (e  e init )
i=1,2,3,…..
te
deinit  de  de
c
de 
c
 (t , t e ) t
t
Ec
 σ
s
c
de, de , de
乾燥収縮ひずみ増分
d t c  (t , t e ) t
 


dt
Ec (t e )
t c
差分法(α法)による反復収束スキーム
t t
:全ひずみ,クリープひずみ,
s

0  1
σik1 t σt CE e  t t t ki11t CE t t σik11

3次元状態での初期ひずみの定式化
金属材料での等価応力と等価ひずみ
t
  J2
1
J 2  sij sij
2
1
sij   ij   kk ij
3
  I e2
1
I e2  eij eij
2
1
eij   ij   kk ij
3
t
コンクリートでの等価応力と等価ひずみ
  I2
1
I 2   ij  ij
2
等価クリープひずみ
  I 2
1
I  2   ij  ij
2
t c
t
t
 
 (t , t e )
E c (t e )
t 
クリープひずみ速度:
d t c  (t , t e ) t
 


dt
Ec (t e )
 (t, te )  d (t, te ) / dt
t c
t

t c

t


 (t , t e )
とおくと
Ec (t e )
dec (t  t CE t σ)  dt
コンクリートの乾燥収縮ひずみ:
'
d

s
cs (t , t 0 )
de 
 D sh  dt  0.0605(t  t 0 ) 0.44
dt
'
 exp  0.108(t  t 0 ) 0.56   sh
 D sh  dt


Dsh  1 1 1 0 0 0T
FEMの定式化(反復収束スキーム)
t
KU (i)  t t R t t F (i 1)
t
K   BTL t C E B L  dV
BL
:ひずみマトリクス
V
t t
t t
F (i 1)   BTL t t σ (i 1)  dV
R H
初期条件:
V
ST t t S
f  dA   HT t t f B  dV
A
t t (0) t
σ
 σ
t t (i ) t t (i 1)
σ

σ
V
 σ (i)
σ (i) t C E e (i) t C E B L U (i)
クリープと乾燥収縮
t
(i 1)
KU (i) t t Rt t F (i1)  t t Fcs
t t
σ  (1   ) t σ  t  t σ
t  t i 1 t
σ k  σ t C E
ただし,
e  t
ただし,0 
 1
,の下で
t t i 1 t
 k 1 C E t t σ ik11

k  1,2,3,.......
t  t i 1 t  t i 1
σk 
σ k 1
2
t  t i 1
σk
2
t t i1

および
 ctor
t t i 1
σ
収束条件,ctor=許容誤差
を決定し,
乾燥収縮:
t  t
Fcs(i 1)

V
B TL [ t  t  i 1 t
E t  t
C 
σ
i 1
d cs' (t  t 0 )

 D sh ]  t
dt
ダウンロード

クリープひずみ