相対論期末試験問題 (2012 年度後期)
2013. 2. 7
以下の問題で,c は真空中の光速を表す定数である.また,エネルギーや運動量と言っ
たときには,それらはすべて特殊相対論での量である.
問題 1. 次の問に答えよ.
(配点予定:20 点)
(1) 質量 m の粒子が速度 v で運動している.このときの粒子の運動量 p を m,v ,c を
使って表せ.
(2) x 軸上を運動する二つの粒子 A, B が正面衝突をした.衝突により二つの粒子は合体
して一つの粒子 C になった.粒子 A, B の質量は等しく,どちらも m である.衝突
前の粒子の速さは,どちらも v であった.粒子 C の質量 M を求めよ.
(3) (ct, x) をある慣性系の時空座標とする.横軸を x,縦軸を ct とする時空図上に,次
の世界線を描け(同じ時空図上に描くこと.1 光秒単位で目盛りを入れること).
鏡M:+x 方向に速さ c/2 で運動している.
ただし,時刻 t = 0 では x = 0 を通る.
光L:x = 0 にある光源から時刻 t = 1 秒 に +x 方向に発射される.
その後,鏡Mで反射されて x = 0 のところまで戻ってくる.
(4) 空間の運動量ベクトル p の3成分に加えて第四の成分(第ゼロ成分,時間成分)を
考えると,Minkowski 時空の 4 次元ベクトルである 4 次元運動量ベクトル pµ とな
る.この第ゼロ成分 p0 とは何か?(物理量としての) 次元にも注意すること.
問題 2. (配点予定:20 点)
(ct, x) を慣性座標系 S の座標とする.S 系に対して x 軸方向正の向きに速度 v で運動し
ている慣性座標系を S0 とし,その座標を (ct0 , x0 ) とする.S の空間原点 x = 0 と S0 の空間
原点 x0 = 0 とは,t = t0 = 0 で一致していたとする.これらの座標の間には次のローレン
ツ変換が成り立つ:
{ 0
x = γ(x
( − vt),
v )
0
t = γ t − 2x ,
c
あるいは,
{
0
0
x = γ(x
), )
( + vt
v
t = γ t0 + 2 x0 .
c
√
ここで,γ は,γ = 1/ 1 − v 2 /c2 で与えられる量である.
以下の問題にローレンツ変換にもとづいて答えよ.
(5) S0 系において,空間の一点 x0 = a に静止している時計がある.この時計が時刻 t0 = t01
から t0 = t01 + τ まで進む間に S 系では t = t1 から t = t1 + T まで時間が経過した.
比 τ /T を求めよ.
(6) S 系からみて +x 方向に速さ v で運動している 2 個の粒子 A, B がある.A, B は L の
間隔を維持して x 軸上を運動している.それぞれの運動は,
質点 A: x = vt
質点 B: x = vt + L
で表される.
粒子 A, B と同じ速度で運動をする観測者(S0 系)から見ると,A, B 間の距離は L0
であるとする.比 L0 /L を求めよ.
(7) S0 系に対して x0 方向に速度 u (= dx0 /dt0 ) で運動している物体がある.S 系からみた
この物体の速度を V (= dx/dt) とする.V を u と v で表す式を導出せよ.
(8) S 系において,時刻 t,位置 x における振幅が A sin(ωt − kx) で表される波動がある
(A, ω, k は定数).S0 系にとっては,この波は A sin(ω 0 t0 − k 0 x0 ) と観測される.波の
位相(今の場合,sin の中にある量)がローレンツ不変であることを使って,ω 0 を ω
と k を使って表せ.
また,電磁波の場合は k = ω/c が成り立つ.この場合に,比 ω 0 /ω を求めよ.
答案用紙の使い方:解答は表の面だけにお願いします.裏面は見ません.
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相対論期末試験問題 (2012 年度後期) 2013. 2. 7 以下の問題で,c は