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力学 2 練習問題 2
2006 年 10 月 19 日 (東島)
[ 例題 ] 振り子に対するコリオリ力の影響を観るために、長さ の振り子を z 軸上の高さ
の所から吊した。振幅が小さい時には z 方向の運動は無視して平面内の運動と考えるこ
とができる。振り子の振動面がコリオリ力によって回転する角度を求めよ。
[ 解答 ] 振り子の固有角振動数を ω0 =
g/ とすると平面運動の方程式は
mẍ = −mω02 x + 2mω ẏ
(1)
−mω02 y
(2)
mÿ =
− 2mω ẋ
ω0 ω なのでコリオリ力を無視すれば単振動の方程式になる。単振動の解で時刻 t = 0
に x = y = 0 を通る解は
x(t) = A sin ω0 t cos α,
y(t) = A sin ω0 t sin α
(3)
ここで A は振幅, α は振動面が x 軸となす角を表す。コリオリ力が無ければ振動面は動か
ず α は定数になる。コリオリ力が働くと (1)(2) より
d
d
(xẏ − y ẋ) = xÿ − y ẍ = −2ω (xẋ + y ẏ) = −ω (x2 + y 2)
dt
dt
t で積分し, t = 0 で x = y = 0 とすると
xẏ − y ẋ = −ω (x2 + y 2)
(4)
(5)
(3) で A sin ω0 t = B(t) と置いて
x(t) = B(t) cos α(t),
y(t) = B(t) sin α(t)
(6)
とすると
xẏ − y ẋ = B 2 α̇
(7)
α̇ = −ω (8)
α(t) = −ω t
(9)
(6)(7) を (5) に代入すると
よって振動面が x 軸となす角は
すなわち振動面は時計回りに角速度 ω で回転することが分かった。北緯 30 度 (β = 30◦ )
では
ω
ω = ω sin 30◦ = = 3.64 × 10−5 [rad/s]
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なので一日に 180 度回転することになる。当然ながら北極では一日に一回転することが
分かる。
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練習問題第2回