電磁気学C
Electromagnetics C
情報ナノエレ コース 5セメ開講
電磁波の物理
山田 博仁
講義について
1. 目的: 古典的な電磁場やMaxwell方程式について理解を深め、さらにそこか
ら導かれる電磁波の性質を理解し、古典電磁気学の素養を身に付ける
2. 内容
- Maxwell方程式の意味、定常状態でのMaxwell方程式の扱い
- 波動方程式の導出と電磁波
- 平面電磁波の性質(偏波、運動量、エネルギー)
- 誘電体中の電磁波(位相速度、インピーダンス、分散、非線形効果)
- 電磁波の反射、屈折、透過、回折、散乱現象
- 導波路中の電磁波伝搬
- 電磁ポテンシャルとゲージ変換
- 遅延ポテンシャルと先進ポテンシャル
- 電気双極子による電磁波の放射
再試は行わないつもりです
3. 成績評価
出席点(2点/1回)、レポートまたは小テストの合計で60点、定期試験で40点
4. 参考書
太田昭男著、新しい電磁気学 培風館
砂川重信著、物理テキストシリーズ4 電磁気学、岩波書店
砂川重信著、理論電磁気学、紀伊国屋書店
日本語訳 ファインマン物理学Ⅲ、Ⅳ 岩波書店など
講義に関する連絡や補足
講義に関する連絡および
講義資料のダウンロード
http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe
講義に関する補足説明等 ブログ http://kougi.at.webry.info/
オフィスアワー: 随時
(私の居室: 電気系2号館203号室)
質問、問い合わせ等
E-mail: [email protected]
TEL: 795-7101
※ 講義の際には、出席をとるためのB5またはA4のレポート
用紙などを各自ご持参下さい
遠隔作用と近接作用
Coulombの法則
電荷
F
力
+Q
+q
F
電場
(電界)
電荷
d
F
力
F
r
+Q
+q
F
力
e(x) は位置 x での
1
qQ
4 0 d 2
遠隔作用
電場に関する
Gaussの法則
電荷密度
E (r ) 
1
Q
4 0 r 2
divE ( x ) 
 e( x )
0
F  qE
F ( x)  qE ( x)
遠隔作用→近接作用
近接作用
両電荷間の距離 r が残っているという意味
において、これでもまだ遠隔作用的な考え方
遠隔作用と近接作用
クラシックコンサート
タクトが上がった
前の席の人が大きくて指揮者が見えない
席が悪くて指揮者が見えない
距離: d
遠隔作用では、「場」と
いう概念は必要ない
遠隔作用
演奏が始まるぞ !
あなたは、その「場」の
雰囲気を感じ取っている
近接作用
周りが静かになった
演奏が始まるぞ !
Maxwellの方程式
物質中の電磁場を規定する基本法則
B ( x , t )
t
D( x , t )
rot H ( x , t )  ie ( x , t ) 
t
div D( x , t )   e ( x , t )
rot E ( x , t )  
div B ( x , t )  0
ファラデーの電磁誘導則
アンペール・マクスウェルの法則
電場に関するガウスの法則
磁場に関するガウスの法則
B ( x , t )
t
D( x , t )
  H ( x , t )  ie ( x , t ) 
t
  D( x, t )   e ( x, t )
  E ( x, t )  
  B( x, t )  0
E(x, t): 電場 (V/m)
SI国際単位系
H(x, t): 磁場 (A/m)
D(x, t): 電束密度 (C/m2)
B(x, t): 磁束密度(磁場) (Wb/m2)
ie(x, t): 伝導電流密度 (A/m2)
変位電流
e(x, t): 真電荷密度 (C/m3)
古典(ニュートン)力学の復習
ニュートンの運動法則
(第一法則) 慣性の法則
外力が働かなければ、静止している物体はいつまでも静止をつづけ、
運動している物体はいつまでも等速直線運動をつづける
(第二法則) 運動の法則
物体に外力が働くとき、物体には外力と同じ向きの加速度が生じる。その
加速度の大きさ a は、働いている外力の大きさ F に比例し、物体の質量
m に反比例する。つまり、F = ma
(第三法則) 作用反作用の法則
物体AがBに力 F (作用)を働かせてると、BはAに同じ大きさで逆向き
の力 -F(反作用)を同一作用線上で働き返す
万有引力の法則
F = G(m m’/r2) [m と m’ は二質点の質量、r は両者の間の距離、Gは重力定数]
古典物理学の法則総決算
(ファインマン物理学第Ⅲ巻第18章)
Maxwell方程式
 E 
e
0
 E  
B
t
B  0
c 2  B 
ie
0

E
t
電荷の保存則
  ie  
 e
t
力の法則 (ローレンツ力)
F  q ( E  v  B)
運動の法則
d
( p)  F ,
dt
万有引力
p
mv
1 v2 / c2
F  G
m1m2
er
r2
Maxwell方程式の意味
1. ファラデーの電磁誘導則
rot E ( x, t )  
B( x, t )
t
磁場(磁束密度)の時間的減少が、その周りに電場の渦を右ネジ方向に作る
B(x, t1)
E(x, t1)
B(x, t2)
B(x, t3)
E(x, t2)
E(x, t3)
変化する磁場の周りの電界は、そこに導線(コイル)が有る無しに関わらず生じる
たまたま導線が有ると、導線内の自由電子が
電界により動き、電流 I が流れる
コイル
I
Maxwell方程式の意味
2. アンペール・マクスウェルの法則
rot H ( x, t )  ie ( x, t ) 
D( x, t )
t
ie(x, t)
定常電流が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る
H(x, t)
さらに、電場(電束密度)の時間的増加が、その周りに磁場の渦を右ネジ方向に作る
E(x, t1)
H(x, t1)
E(x, t2)
H(x, t2)
E(x, t3)
H(x, t3)
Maxwell方程式の意味
3. 電場に関するガウスの法則
div D( x, t )  e ( x, t )
電荷密度が電場(電束密度)の発散を引き起こす
D(x)
e(x)
4. 磁場に関するガウスの法則
div B( x, t )  0
B(x)
磁場(磁束密度)の発散源(磁荷)は存在しない
m(x)
その他の関係式
  ie ( x , t )  
 e ( x, t )
t
電荷保存則 (電流連続の式)
ie ( x, t )   [ E ( x, t )  E ex( x, t )]
F  q ( E  v  B)
媒質中での扱い
オームの法則
ローレンツ力
(構造関係式)
D( x, t )   0 E ( x, t )  P ( x, t )
B ( x , t )   0 {H ( x , t )  M ( x , t )}
  0 E ( x, t )   0  e E ( x, t )
 0 H ( x, t )  0  m H ( x, t )
  0 (1   e ) E ( x , t )
  0 (1   m ) H ( x , t )
  0 r E ( x , t )
 0  s H ( x, t )
  E ( x, t )
  H ( x, t )
P(x, t): 分極ベクトル
e: 電気(比)感受率
M(x, t): 磁化ベクトル
m: 磁化率(磁気感受率)
r : 比誘電率
 : 誘電率 (F/m)
-12
2 2
-1
-2
覚え方 0 : 8.854185×10 (A ・s ・N ・m )
s : 比透磁率
 : 透磁率 (H/m)
0 : 1.2566371×10-6 (A2・s2・N-1・m-2)
ややこしい矢号も自由に引けりゃ一人前
人の不幸ろくろく見ないで点引きゃ無情
ローレンツ力
導線
F  q ( E  v  B)
ローレンツ力
x
導線
E = 0なら
+q
v
F
F
電流
B
F
B
I
I
フレミングの
左手の法則
z
y
アンペールの法則
(右ねじの法則)
同一方向に流れる電流には引力が働く
v
電子
I
-e
I
B
フレミングの右手の法則
電子
F
v
I
F
-e
v
B
B
これらは全てローレンツ力で説明できる
クイズ
[1]
コイルに電流は流れるか?
[2]
起電力は発生するのか?
- V +
コイル
B
I?
B
v
速度 v で移動
w
一様な磁場
[答] 1) 図の方向に流れる
2) 図と反対方向に流れる
3) 流れない
参) 大田昭男著 新しい電磁気学
p.119 8.2節参照
回転する
導体円板
一様な磁場
[答] 1) 図の方向に電圧が発生する
2) 図と反対方向に電圧が発生する
3) 発生しない
単極誘導
参) 大田昭男著 新しい電磁気学
p.120 例題8.1参照
クイズ
[3]
[2]で、円板は固定して、磁場
の方を回転させたらどうなるか?
- V +
- V +
B
B
w
静止した
導体円板
静止した
導体円板
N
回転する一様な磁場
[答]
1) 図の方向に電圧が発生する
2) 図と反対方向に電圧が発生する
3) 発生しない
w
回転する磁石
S
磁場の本質とは?
- V +
- V +
B
B
両者は等価
静止した
導体円板
静止した
導体円板
コイル
N
w
w
回転する磁石
S
I
電流 I が流れている
コイルを回転する
クイズ
[4]
磁場中を運動している荷電粒子のパラドクス
x
x
一様な磁場 B
一様な磁場 B
+q
+q
v
v
v=0
F
F
z
y
F=qvB
z
y
v
ローレンツ力が働き、
粒子はこちらに近づい
て来る
荷電粒子と同じ速度で運動している観測者
から見ると v = 0
従って、ローレンツ力は働かず、粒子はこち
らに近づいて来ない。本当か?
ローレンツ力と相対運動
z
E
Bz
K
z’
y
K’
v
+
q
Fy’
x
y’
x’
-v
Fy’ = q v×Bz
電磁場とは何か?
場とは、空間の歪み
一体何が歪むのか?
重力場: 空間の重力的な歪み?
電磁場: 空間の電気的な歪み?
よくこんな図を見かけるが、、、
ゴムシートの上に重い球を乗せると、シートが窪む
この場合、歪む「もの」が実体としてある
ゴムの分子
しかし電磁場の場合、或いは重力場の場合、そのような歪む「もの」が実体としてある
訳ではない
クイズ
[5]
同じ速度 v で、並走する2つの電子のパラドクス
電子
電子
v
F
-e
v
F
F
-e F
v
F
-e
v
-e F
B
今、ロ-レンツ力による引力と、
クーロン力による反発力が吊り
合っているとする
電子と同じ速度で並走している
観測者から見ると、v = 0 である
ため磁場 B は存在しない。従っ
てロ-レンツ力による引力は働
かないので、クーロン力による反
発力のみとなり、2つの電子は次
第に離れていく
参) ローレンツ・ゲージにおけるMaxwell方程式
ローレンツ・ゲージにおいて、Maxwell方程式は次の方程式系で置き換えられる
A( x, t )
 grad ( x, t )
t
B ( x, t )  rotA( x, t )
E ( x, t )  

1
   2
c


1
   2
c

 (1)
 (2)
2 
1


(
x
,
t
)


 e ( x, t )
t 2 
0
 (3)
2 
 A( x, t )    0 ie ( x, t )
2 
t 
 (4)
div A( x, t ) 
1  ( x, t )
0
c2
t
ここで、ϕ(x, t), A(x, t)は各々
スカラーポテンシャルとベク
トルポテンシャルである
 (5)
2
ただし、真空中を仮定して、    0 0  c としている。
式(5)は、ローレンツ条件と呼ばれている
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
rot grad    ( )  0 (ゼロベクトル )
div rot E    (  E )  0
div grad    ( )   2  
(  ) E  E
(スカラー場)
(ベクトル場)
rot rot E    (  E )  (  E )  E
ガウスの定理
ストークスの定理
 F  ndS     FdV
S
V
n
 F  dr   (  F )  ndS
C
S
F
dS
S
V
n
F
S
dS
C
dr
ベクトル解析の復習
演算子∇(ナブラ)と (ラプラシアン)の意味
  

   ,
,
(ベクトルと見なせる)
 x y z 
 2
2
2 
(スカラーと見なせる)
       2  2  2 

x

y

z


勾配(gradient) ‥ スカラー量に作用して、ベクトル量を導く演算子
  ( x)  ( x)  ( x)   ( x)
 ( x)
 ( x)
 
grad ( x)   ( x)  
,
,
ex 
ey 
ez
y
z 
x
y
z
 x
発散(divergence) ‥ ベクトル量に作用して、スカラー量を導く演算子
divE ( x)    E ( x) 
Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)


x
y
z
ナブラ∇と E(x)のスカラー積
スカラー積(内積)
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
ベクトル解析の復習
回転(rotation) ‥ ベクトル量に作用して、ベクトル量を導く演算子
ex
ey
ez



rot E ( x )    E ( x ) 
x
y
z
Ex ( x) E y ( x) Ez ( x)
 E ( x ) E y ( x ) 
 E y ( x ) E x ( x ) 
 E ( x ) E z ( x ) 
e x   x
e z
  z



e y  

y

z

z

x

x

y






ナブラ∇と E(x)のベクトル積
ベクトル積(外積)
ex
ey
ez
A  B  Ax
Ay
Az  (Ay Bz  Az B y )e x  ( Az Bx  Ax Bz )e y  (Ax B y  Ay Bx )e z
Bx
By
Bz
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- 東北大学電気・情報系