セミナー @ 大阪市立大学, 2009年6月19日
Wormhole dynamics revisited
前田 秀基 (CECS)
based on
HM, PRD79, 024030 (2009)
HM, Harada & Carr, PRD79, 044034 (2009)
From Scientific American
内容
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(I) 導入
(II) 動的ワームホール
(III) ワームホール形成
(IV) まとめ
(I)導入
ワームホール
• 複数の異なる無限遠が存在する時空構造
– 元来大域的概念
– しかし「スロート(のど)」によって局所的に特徴
づけることができる
• 非時間的な超曲面上での極小面積を持つ
空間的2次元面
• 球対称静的ワームホール解の例 (Ellis ’72; b>0)
– スロートはx=0
– 物質: 無質量ゴーストスカラー場 (エキゾチック物質)
• 通行可能ワームホール
– 観測者は一つの無限遠からもう一方の無限遠へ移動可能
Ellisワームホールの大域的構造
スロート
移動可能
移動可能
ワームホール: これまでの研究
• 相対論的重力に特徴的なオブジェクト
– ブラックホールと並んで興味深い対象(see Visser’s textbook)
– 見かけの超光速移動の可能性
– タイムマシーンに関係
• 静的時空における一般相対論の定理 (Hochberg-Visser `97)
– スロートで光的エネルギー条件が破れる
• これは何らかの量子論的効果実現できるかもしれない
• 静的ワームホール解はたくさん知られている
– シェルを用いるもの・そうでないもの
• 安定性
– 解析的な(=シェルなし)解に関しては安定解は見つかってない
– このセミナーでは安定性の問題は考察しない
ワームホールの動的な側面
• まだ完全には解明されてない
• 三つの自明でない問題 (互いに関係)
– 1) (準)局所的な定義
• 数値シミュレーションでどうワームホールを定義する(見つける)か?
• 一般に自然な時間一定面は存在しない
– 2) エネルギー条件
• エキゾチック物質は本当に必要なのか?
• 漸近的平坦時空では``Yes’’ (位相検閲定理)
– 3) 形成
• 時空の空間断面のトポロジーチェンジ
• 一般にコーシー地平線ができる
• 本セミナーではこれらの問題を考える
本セミナーの主題
• A) 動的ワームホールの動的な定義を議論する
– 「隠された」クラスの動的ワームホールの存在をあからさまに示す
• B) ワームホール形成の性質を議論する
– 厳密解を構成
– 解から何らかの一般的であろう性質を議論したい
• 簡単化のために4次元球対称を考える
(II)動的ワームホール
ワームホールの準局所的定義
• ワームホールは本来大域的概念
• しかしスロートによって準局所的に定義できる
– 実用的に重要
• 数値シミュレーションで同定するため
• エネルギー条件を議論するため
• 静的時空では時間的キリングベクトルに対応する自然な時間
一定面が存在する
– スロートで光的エネルギー条件が破れる (Hochberg-Visser `97)
動的ワームホール
• 問題: 自然な時間一定面はない
• 2つの準局所的定義 (Hochberg-Visser `98, Hayward `99)
– あるクラスの捕捉地平線で定義
– 光的超曲面上でスロートを定義
– ワームホールと通行可能性が関係してる
捕捉地平線
• 球対称時空
• 外向き(u=-)と内向き(v=+)光的ベクトルに沿った面積膨張
where
• 臨界面:
– 一般性を失うことなく
が臨界面でゼロであると置ける
• 捕捉地平線 (Hayward `94)
– Futureもしくはpast, innerもしくはouter型の臨界面が断面となる超曲面の
閉包
未来
黄色: Sに垂直な``外向き’’光線
赤: Sに垂直な``内向き’’光線
非捕捉面
コンパクトな空間的2次元面S
未来型marginal surface
未来型捕捉面
静的な地平線の4つのクラス
Outer
Inner
BH-type
Anti-cosmological
area
area
Future
v
Cosmological
v
White-hole
Past
area
area
動的ワームホールスロートの2つ定義
• Hochberg & Visserによる定義 (1997)
– θ+=0 and ∂θ+/ ∂ +>0
• 空間的になれる
• Haywardによる定義 (1999)
– θ+=0 and ∂θ+/ ∂-<0
• Outer型で時間的な捕捉地平線
• 捕捉地平線による定義
– 光的(空間的ではない)超曲面上でスロートを定義
• 定理
– スロート上で光的エネルギー条件が破れる
今ひとつの可能な定義
• 球対称計量:diag(gAB,r2γab)
• 定義: ワームホールスロート
– ζは動径空間的ベクトル
– S2の面積は空間的超曲面上で極小
– スライス依存
• 通行可能性とは直接関係なし
– 注:例えば宇宙論的な状況では過去無限遠は無く、通行可能性に意
味はない
我々が示すこと
• 「隠された」クラスのワームホール時空が存在する
–
–
–
–
「宇宙論的」ワームホールのクラス
Hochberg-VisserやHaywardの意味でワームホールではない
ブラックホール地平線なし
時空全体でエネルギー条件を満たせる
定義:動的ワームホールスロート
• 定理
– スロートは分岐型補足地平線かもしくは捕捉領域内にある
– 我々のスロートは捕捉地平線である必要はない
• 定義(動的ワームホールスロート)
– ワームホールスロートで分岐型捕捉地平線でないもの
• 定義 (準静的ワームホールスロート)
– ワームホールスロートで分岐型捕捉地平線であるもの
エネルギー条件の破れの回避可能性
• 定理
– 時空に動的ワームホールスロートがあり、空間的無限遠でθ+ θ-<0
が成り立つ場合、時空には少なくともひとつ捕捉地平線がある
– 漸近的平坦 => 捕捉地平線が存在
• 漸近的フリードマン宇宙の場合(θ+ θ->0)、捕捉地平線がな
い場合も可能
– Hochberg-VisserやHaywardの意味でワームホールではない
– 光的エネルギー条件の破れの定理をすり抜けることが可能
宇宙論的ワームホール厳密解
• 計量:
– 漸近的平坦フリードマン宇宙
– 物質: 完全流体+ゴーストスカラー場
• a(t)=t/t0とすると
– t0<2b: 捕捉地平線なし(いたるところ捕捉面)
– t0<b: 優勢エネルギー条件が成立
• ブラックホール地平線がなく、ワームホールスロートが存在
– HaywardやHochberg-Visserのワームホールではない
– エネルギー条件がいたるところ成立できる
ペンローズ図
定義に伴う問題
• 最大拡張Schwarzschild時空
は動的ワームホールとなる
• これを排除するには条件を
追加する必要がある
• 例:BH地平線なし
(III)ワームホール形成
動機(再)
• ワームホール形成
– 時空の空間部分のトポロジーチェンジ
– 解析的な結果は少ない
– 厳密解から一般的な性質を読み取りたい
• ワームホール形勢を表す厳密なモデル(解)を構成する
– 4次元球対称時空
– 無質量ゴーストスカラー場 (or ``K-essence’’)
• 運動エネルギー項が逆符号
• 最も単純なエキゾチック物質
系
• 作用:
– 物質: ゴーストスカラー場:
– 基礎方程式:
• もし非ゴースト
の解のスカラー場がパラメータによっ
て純虚数になったら、それはゴースト
の解とみなせる
Roberts解 (1989)
•
•
•
一般相対論の4次元球対称解
実スカラー場解
双光的座標の計量
– 1パラメータ解 (C1かC2のどちらかを1にできる)
•
Misner-sharp質量とKretschmann不変量
Roberts解におけるスカラー場
•
For non-zero C1,
•
For zero C1,
•
•
C1C2=1/4はMinkowski
スカラー場はC1C2>1/4で純虚数、すなわちゴーストスカ
ラー場
ゴースト場の場合のペンローズ図
瞬間的な曲率特異点(時空における唯一面積半径が0)
Roberts
動的ワームホール時空
Minkowski
光的超曲面での接続
• 2つのRoberts時空はu=0かv=0で正則につながる
– Barrabes-Israel条件(1991):誘導計量とtransverse曲率の連続性
• u=0の誘導計量
• u=0のtransverse曲率
– ここで
– u=0ではC1 は同じでなくてはならないがC2 は違ってもよい
– v=0ではC2 は同じでなくてはならないがC1 は違ってもよい
• Robert時空は過去のMinkowski時空と正則につながる
– ワームホール形成を表すことが可能
ワームホール形成の時空
正則な中心がなく、
2つの異なる無限遠
がある超曲面
影:Roberts
白:
Minkowski(s)
正則な中心がある
初期超曲面
u=v=0の瞬間的特異点
• 一般的か?
– 空間的にコンパクトな時空の場合、トポロジーチェンジは特異点か閉
じた時間的曲線を伴う (Geroch 1971)
• 空間的にコンパクトでない場合にも一般的かもしれない
• 裸の曲率特異点
– ワームホール形成の瞬間に現れ、すぐに消える
– そこから出る因果的動径・非動径測地線がともに存在
• 弱い特異点
– 動径測地線に沿ってのParallelly propagating frameでRiemannテ
ンソルの成分が1/λより遅く発散する(λはアフィンパラメータ)
• TiplerまたKrolakの意味で弱い
– 測地線に伴うヤコビ場で定義される体積とその微分が特異点で有限
特異点の強さ
• 測地線N(アフィンλ=0が特異点とする)に沿ってのJacobi場(J(i):i=1,2,3
for timelike and i=1,2 for null)を考え、J(i) で構成される体積Vを考える
• Tipler strong
– 特異点でVが0になる
– 定理:Tipler strongなら
は特異点で収束しない
• Krolak strong
– 特異点でVは有限だがVの微分が発散
– 定理:Krolak strongなら
は収束しない
• Nに沿ってのParallelly propagating frame:
– Timelike Nの場合:
– Null Nの場合:
(IV)まとめ
まとめ1
• 動的ワームホールスロートの2つの定義
– 光的超曲面上
• 通行可能性と関係
• エネルギー条件の破れ
• あるクラスのワームホールを見逃す
– 空間的超曲面
• 通行可能性と無関係
• エネルギー条件が保たれる場合もある
• Schwarzschild時空は動的ワームホール
• より洗練された定義は可能か?
まとめ2
• ワームホール形成を表す厳密解を構成した
– Roberts時空とMinkowskiを正則にくっつける
• Roberts時空はゴーストスカラー場
– 裸の特異点がワームホール形成の瞬間に現れるが瞬間的に消える
• 弱い裸の特異点
• 問題
– 特異点形成は一般的か?
– そうだとして、弱い特異点は
一般的か?
• 一般的なワームホール形成
の性質を知るために、違う
厳密なモデルが有効
From Scientific American
FIN
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Wormhole dynamics revisited