ディジタル信号処理
Digital Signal Processing
補講
周波数領域表現
周波数領域表現
交流信号をベクトルを用いて表現
• v(t)=a・cos(ωt+θ)
• 単位回転ベクトル;exp(jωt)
• v(ωt)=a・exp{j(ωt+θ)}
=a・exp{jθ}・ exp{jωt}
=A・ exp{jωt}
• オイラーの公式
• A=a・(cosθ+ jsinθ)
• exp{jωt}= cos ωt+ jsin ωt
だから
• a・cos(nωt+θ)
=1/2[a・exp{j(nωt+θ)}+a・exp{-j(nωt+θ)}]
• a・sin (nωt+θ)
=1/2j [a・exp{j(nωt+θ)}-a・exp{-j(nωt+θ)}]
• 正弦波を離散信号化すると正の周波数成分と負
の周波数成分が対(共役)になって現れる
• 解析には回転ベクトル表記を用いる
離散時間信号の周波数領域表現
フーリエ級数展開
• 周期Tの周期信号f(t)を展開すると(2.4)式
f(t)=Σ Δ(k) exp{jkωt}・・・・k=-∞~+∞
ω=2π/T
Δ(k)は角周波数kωにおける複素振幅・・・・ス
ペクトラム
• スペクトラムを式で表すと(2.5)式
Δ(k)=1/T∫f(t) exp{-jkωt}dt
脱線
用語は何国語
• スペクトル・・・仏語
• スペクトラム・・・英語
脱線終わり
仮定
離散時間信号が周期信号とする
• サンプリング時刻 t=0,T,2T,・・・(N-1)Tの
n個のデータで1周期・・・周期NT
離散時間信号のスペクトラム
X*(k)=1/NT∫0NT x*(t)exp{-jkωt/N} dt
=1/NT∫0NT x(t)δ(t-nT)exp{-jkωt/N} dt
=1/NT∫0NT x(nT)δ(t-nT)exp{-jkωT/N} dt
= ・・・・・・
=1/NTΣ∫nT-0nT+0 x(nT)δ(t-nT)exp{-jkωnT/N} dt
= ・・・・・・
=1/NTΣx(nT)exp{-j2πkn/N}
離散時間信号のスペクトラムを用いて
離散時間信号を書き改めると
• x*(t)=ΣX*(k)exp{jkωt/N}
• 周波数 0(直流)の成分,±ω/N(基本波:正弦波)
の成分, ±2ω/N(第2高調波)の成分,±3ω/N
(第3高調波)の成分,±4ω/N (第4高調波)の成
分,・・・・が含まれる
• たとえば、横軸角周波数,縦軸成分の大きさ(スペ
クトラムの絶対値|x*|)として図示すると,0を中
心に左右に対称に現れる
簡単にいうと
• 正弦波・・・・ ±ω/N のふたつの(角)周波数
成分( 直流が乗っていれば0の成分もある )
• 矩形波、鋸歯状波、三角波などの顕著な繰り
返し波形・・・・高調波はリズミカルに低減する
• 普通(?)の繰り返し波形・・・・高調波成分の
大きさは増えたり減ったり
• 繰り返しとはいいにくいけどという場合は・・・・
フーリエ変換を使わずにウエーブレット変換
脱線
ケプストラム(Cepstrum )
• 信号のスペクトラムを信号と見なしてフーリエ
変換 (FT) した結果である。“spectrum” の最
初の4文字をひっくり返した造語。
• (信号の)ケプストラムとは、(信号の)フーリ
エ変換の対数(位相アンラッピングを施したも
の)をフーリエ変換したものである。スペクトル
のスペクトルとも呼ばれる。
脱線
ウェーブレット変換
• 周波数解析の手法の一つ。
• 基本的には、小さい波(ウェーブレット)を拡大縮小、
平行移動して足し合わせることで、与えられた入力の
波形を表現しようとする手法。
• ある信号が与えられた時に、時間的に局在した周波
数成分を知りたい場合でも、フーリエ解析においては、
サイン波、コサイン波を拡大縮小して足し合わせるこ
とで入力を表現しようとしていたが、波が局在化して
いないため、時系列の情報が失われていた。
ウェーブレット変換(脱線続き)
• 基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。
• フーリエ変換によって周波数特性を求める際
に失われる時間領域の情報を、この変換に
おいては残すことが可能である。
• フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ
変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を
周波数に合わせて固定する必要があるため、
広い周波数領域の解析には向かなかった。
フーリエ級数の例
矩形波
周期2π
振幅1
デューティ50%
矩形波
周期 2π
振幅 0.5
直流分 0.5
デューティ a/π×100%
矩形波
周期 2π
振幅 1
直流分 0
デューティ 50%
矩形波
周期
振幅
直流分
デューティ
T
1
0
50%
鋸歯状波
周期 2π
振幅 1
直流分 0
三角波
周期 2π
振幅 π
直流分 0
WEB検索
• 繰り返し波形の級数展開について調べてみ
よう
脱線
ことばあそび(回文)
一文字言葉は・・・・
蚊は蚊,新聞紙
このみくんさんねんさんくみのこ
• 「予想(よそう)」がはずれて「嘘よ(うそよ)」
• 「薬(くすり)」をまちがえると「リスク」
• 「白雪(しらゆき)」もいずれ「消ゆらし」
• 「Peach」の航空券は「cheap」
おもしろかった
• ここまで
• ごきげんよう
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