第14回 スピン
・角運動量
・磁気モーメント
・ Zeeman効果
・ Stern-Gerlachの実験
・電子のスピン
・NMR
・パウリの排他原理
今日の目標
1.角運動量の一般的な定義が示せること
2.磁気モーメントを説明できること
3.ゼーマン効果を説明できること
4.ステルン・ゲルラッハの実験を説明できること
5.電子のスピンを説明できること
6.NMRの原理を説明できること
7.パウリの排他原理を交換対称性から理解すること
角運動量の性質
交換関係
[J^x , ^Jy] = i h J^z
[J^y , ^Jz] = i h J^x
角運動量
[J^z , ^Jx] = i h J^y
J^ 2 = ^Jx2 + J^y2 + ^Jz2
^ 2, ^Jz] = 0
[J
共通の固有関数が存在
^J2χjm = j(j+1) h2χjm
^Jzχjm = m h χjm
j = 0,1/2,1,3/2,2,・・・
m = -j,-j+1,・・・,0,・・・,j-1,j
角運動量の性質
磁気モーメント
磁気双極子
+qm
磁石
磁気双極子モーメント
μm= qml
l
-qm
電流が作る磁気モーメント
半径aの円電流
N
e
S
軌道角運動量
L=amev
磁気モーメント
v
I=
-ev
2πa
磁気モーメント
-eva
μ=IS
=
2
-e L
μ=
2me
Zeeman効果
磁気双極子がΔθ傾いたとき磁荷がする仕事
磁場B
ΔW=rΔθf=rΔθFsinθ
F
θ
μ
-F
磁気双極子が磁場となす角がθになるまで
の仕事
f
W=2rF(1-cosθ)=lqmH(1-cosθ)
=μB (1-cosθ)
磁場と双極子が直交した状態を基準にした
ポテンシャル(Zeemanエネルギー)
F=qmH=qmB/μ0
W-μB=-μBcosθ
VB=-μ・B=-μzB
ZeemanエネルギーのHamiltonian
eB L
eB
∂
Hz =
(-i h
)
z =
2me
2me
∂φ
Zeeman効果
-eB L
=-
z
2me
HB=H+HZ
H=
h2 2
2me∇ + V(r)
h2 2
2me∇ + V(r)
Ψ(r) = EΨ(r)
[H, HZ]= 0
HZΨ(r) = EZΨ(r)
Hz =
eB L
z
2me
[H, HB]= 0
HBΨ(r) = EBΨ(r)
EB = E + EZ
Zeeman効果
eB m h
Ez = 2m
e
磁気量子数
l,l-1,・・・,0,1,・・・,-l
Stern-Gerlachの実験(1921)
S
2l+1
m=
l
l-1
:
-(l-1)
-l
磁束密度
勾配
47Ag
N
炉
ス
リ
ッ
ト
磁石
V=-μzB
Fz=- ∂V
∂z
Stern-Gerlachの実験
=μz ∂B
∂z
ス
ク
リ
ー
ン
量
子
化
な
し
軌
道
角
運
動
量
の
み
電
子
の
ス
ピ
ン
を
含
む
電子のスピン
ナトリウムD線 (11Na)
1s22s22p63s1→ 1s22s22p63p1
電子(-(Z-1)e)
+Ze
3p状態
-e
水素様原子
励起状態:1s22s22p63p1
角運動量l=1→状態数3
588.995nm
589.592nm
3s状態
電子は固有の角運動量
をもっている
外部磁場がない→lは縮退
(Uhlenbeck & Goudsmit
2つのエネルギー状態を観測
、1925年、仮説)
スピン(spin)
→別の角運動量s
s= 1
2s+1=2
2
合成角運動量:j=l+s
電子のスピン
スピン(spin); s = (sx,sy,sz)
:角運動量の性質を満たす
^s2χs,ms(σ)= s(s+1) h2χs,ms (σ)
^szχs,ms (σ) = ms h χs,ms (σ)
s = 1/2
ms = -1/2, 1/2
電子の磁気能率(磁気モーメント)
-e
^s
μe =2
2me
eB (L + 2s^ )
Hz =
z
z
2me
磁場中の原子
HB=H+HZ
電子のスピン
縮退が解ける
エネルギー:主量子数n、方位量子数l、
磁気量子数m、スピンsに依存
水素原子の固有関数
Ψn,l,m,s,ms(r,θ,φ,σ) = Rn,l(r)Ylm(θ,φ) χs,ms(σ)
n = 1, 2, 3, …
:主量子数
l = 0, 1, 2, …, n-1
:方位量子数
m = -l, -l+1, …., 0, 1, …, l :磁気量子数
n l
1 0
2 0
1
3 0
1
2
4 0
・
m
0
0
-1,0,1
0
-1,0,1
-2,-1,0,1,2
0
・
水素原子の固有関数
spin
状態名 状態数 縮退数
2
up/down 1s
2
// //
2s
2
8
// //
2p
6
// //
3s
2
18
// //
3p
6
// //
3d
10
// //
4s
2
// //
・
・
核磁気共鳴(NMR=Nuclear Magnetic Resonannce)
陽子の磁気能率
eh
μN =
2mp
μp=gμN
内部構造のないスピン1/2の粒子ならば g=2
測定ではg=2.792847337±0.000000029 :陽子の内部構造が原因
磁場B
周りの原子から受ける磁場ΔB
V=-μp ( B+ ΔB)
COOH
R=13C OH
B+ ΔB
B=0
B
l=1
n=2
n=1
核磁気共鳴
l=0 hν
l=0
ΔE=h(ν’-ν)
ケミカルシフト
hν’ ;化合物に
よって異なる
同種粒子の交換対称性
1
1 or 2
1 or 2
1
2
2
1 2
1
2
古典粒子
量子論的
*軌跡は確率的
*衝突後の粒子は区別がつかない
同種粒子の交換対称性
2粒子の波動関数
相互作用がない場合
z
r1
r2
y
^ =
H
1
h 2
2m ∇1 + V(r1)
^ =
H
2
h 2
2m ∇2 + V(r2)
^ =H
^ +H
^
H
1
2
^HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r )
1 2
1 2
x
^H ψ (r ) = ε ψ (r )
1 α
1
α α
1
^H ψ (r ) = ε ψ (r )
2 β
2
β β
2
同種粒子の交換対称性
Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2)
E = εα + εβ
Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2)
粒子の交換
Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1)
^HΨ’(r ,r ) = EΨ’(r ,r )
1 2
1 2
Ψ(r1,r2) = c1ψα (r1) ψβ (r2) + c2ψα (r2) ψβ (r1)
^HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r )
の解
1
2
1
も
2
規格化: ∫|Ψ(r1,r2) |2dτ = 1
|c1|2 + |c2|2 = 1
交換演算子;P
PΨ(r1,r2) = Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1)
P2Ψ(r1,r2) = PΨ’(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2) = Ψ(r1,r2)
P2 = 1
∴ P = ±1 ;Pの固有値
同種2粒子系の固有関数
Ψ(r1,r2) = 1
同種粒子の交換対称性
√2
ψα (r1) ψβ (r2) ± ψα (r2) ψβ (r1)
Fermi-Dirac統計
Bose-Einstein統計
粒子の交換に対して
波動関数が対称
粒子の交換に対して
波動関数が反対称
スピンが整数
(s=1,2,・・・)
スピンが半整数
(s=1/2,3/2,・・・)
PΨ(r1,r2 ,・・・,rn)
= Ψ (r1,r2 ,・・・,rn)
光子、中間子
ボーズ粒子(Boson)
1つの状態にいくつでも
粒子が入りうる
PΨ(r1,r2 ,・・・,rn)
= -Ψ (r1,r2 ,・・・,rn)
電子、陽子、中性子
フェルミ粒子(Fermion)
1つの状態には1つの
粒子しか入れない
パウリの排他原理
同種粒子の交換対称性
2個のFermion
Ψ(r1,r2) = 1
√2
ψα (r1) ψβ (r2) - ψα (r2) ψβ (r1)
α=βならば、 Ψ(r1,r2) = 0
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3)
パリティー
(偶奇性)
1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2)
P = (-1)1 = -1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3)
P = (-1)1 = -1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1)
P = (-1)2 = 1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2)
P = (-1)2 = 1
Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1)
P = (-1)1 = -1
3個のFermion
同種粒子の交換対称性
Ψ(r1,r2 ,r3) =
1
√3!
ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3)
- ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2)
- ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3)
+ ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1)
+ ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2)
- ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1)
ψα(r1) ψα(r2) ψα(r3)
ψβ(r1) ψβ(r2) ψβ(r3)
ψγ(r1) ψγ(r2) ψγ(r3)
同種粒子の交換対称性
行列式
Slater行列式
Ψ(r1,r2 ,・・・,rZ) =
1
√Z!
ψα(r1) ψα(r2)
・ ・ ψα(rZ)
ψβ(r1) ψβ(r2)
・ ・ ψβ(rZ)
・
・
・
・
ψζ(r1) ψζ(r2)
・
・
・
・
・
・
・ ・ ψζ(rZ)
状態の等しい行があるとき
(1つの状態に2個の電子があるとしたとき)
Ψ(r1,r2 ,・・・,rZ) = 0
同種粒子の交換対称性
1つの状態に2個の電子は
入らない。
Pauliの排他原理
今日の用語
角運動量、交換関係、磁気双極子、磁気双極子モーメント、
円電流、軌道角運動量、磁気モーメント、ゼーマン効果、
ゼーマンエネルギー、磁気量子数、Stern-Gerlachの実験、
電子のスピン、ナトリウムD線、合成角運動量、主量子数、
方位量子数、スピン量子数、縮退数、核磁気共鳴、
陽子の磁気能率、ケミカルシフト、交換対称性、交換演算子、
Bose-Einstein統計、Fermi-Dirac統計、ボーズ粒子、フェルミ粒子、
パウリの排他原理、Slater行列
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