7. 不確実性の処理
期待値、感度分析、情報の価値
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1
7.1 期待値分析 (expected value)
7.2 感度分析
(sensitivity analysis)
7.3 情報と準オプション価値
(value of information)
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2
7.1 期待値分析
n=(独立な)事象の数
C =事象iにおける費用
i
B=事象iにおける便益
i
NB  B  C:事象
iにおける純便益
i
i
i
NB  ( NB1 , NB2 ,, NBn )
p =事象iの発生する確率
i
E[ NB]  p NB  p NB    p NB:期待純便益
1
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1
2
2
n
n
3
小惑星衝突に対する地球防衛プロジェクト
防災基盤型社会資本整備
表7.1
偶発事象
確率
大規模 (直
中規模(直径
径 1km 以上
の)小惑星と
20m 以上 1km
未満の)小惑
衝突
星と衝突
0.001
行動
0.004
中規模(直径
20m) 以 上 の 小
惑星と衝突し
ない
0.995
便益
0.001×25000+0.004×5000-60
費用
期待純便益
前進基地
25000
5000
0
60
-15
近地球基地
20000
4000
0
20
16
0
0
0
0
0
防衛なし
(注意) 大規模小惑星と衝突するときは中規模小惑星と衝突しない。
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4
予防接種事業分析のための意思決定ツリー
□=意思決定分岐(node)
○ =「(自然による)無作為選択(random selection)の分岐」
=「機会ノード(chance node)」
V =予防接種事業
Vaccination Program
NV =予防接種事業なし
予防接種をすると 2 年間にわたりその効果が続くとする。
インフルエンザは、ある年に流行すると、次の年は免疫が残るので流行
しない。
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5
意思決定ツリー
<2年目>
<1年目>
V
1
0
NV
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2
6
上側の大枝:予防接種事業
C a =直接的な行政費(administration cost)
C s =有害な副作用の費用(costs of adverse side effects)
Pt =第 t 年にインフルエンザが流行(epidemic)する確率
1  Pt =第 t 年にインフルエンザが流行しない確率
C e|v =予防接種しているときにインフルエンザが流行したときの費用
インフルエンザが流行しなかったときの費用=ゼロ
07/11/21
7
<2年目>
意思決定ツリー
<1年目>
P1
Ce/v
免疫が残る
2年間にわ
たる効果
1-P1
NV
P2
Ce/v
1-P2
0
V
Ca+Cs
1
0
0
NV
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2
8
下側の大枝:予防接種事業なし
Ce|nv =予防接種していないときにインフルエンザが流行したときの費用
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9
<2年目>
意思決定ツリー
<1年目>
P1
P2
Ce/v
Ce/v
1-P2
0
1-P1
V
1-P2
1
Ca+Cs
0
0
V
0
P2
Ce/v
Ca+Cs
NV
1-P1
2
0
1-P2
0
NV
P1
P2
Ce/nv
07/11/21
免疫が残る
Ce/nv
10
意思決定ツリーの解の求め方
将来から現在に向かって(後ろ向きに)解いて行く
「分岐2」における意思決定:
P2 Ce|nv =予防接種事業を開始しなかったときの期待費用
Ca  Cs  P2 Ce|v =予防接種事業を開始したときの期待費用(全体)
流行確率
仮定: Ca  Cs  P2 (Ce|nv  Ce|v )
検討すべきケースを絞るための仮定
この仮定の下では「分岐2」おける最適な意思決定
=「予防接種事業なし NV 」
流行の有無にかかわらず
生じる予防接種の費用
07/11/21
流行したときの予防接種
による費用軽減の便益
11
意思決定ツリー
<1年目>
<2年目>
P1
P2
Ce/v
P2Ce/v
1-P2
0
1-P1
V
Ca+Cs P2Ce/v /(1+d)
1-P2
1
0
0
V
Ca+Cs +P2Ce/v
Ca+Cs
P2Ce/nv /(1+d)
NV
Ce/v
1-P1
0
P2
Ce/v
2
0
1-P2
0
NV
P2Ce/nv
P1
d =割引率
07/11/21
P2
Ce/nv
Ce/nv
仮定 : Ca+Cs >P2(Ce/nv - Ce/v)
12
「分岐0」における意思決定:
E[Cv ] =予防接種事業を開始したときに生ずる期待費用の現在価値
E[C nv ] =予防接種事業を開始しないときに生ずる期待費用の現在価値
d =割引率
とすれば、
E[Cv ]  Ca  Cs  P1Ce|v  (1  P1 )P2Ce|v /(1  d )
E[Cnv ]  P1Ce|nv  (1  P1 )P2Ce|nv /(1  d )
である。
E[C nv ] - E[Cv ]
=予防接種事業における期待純便益の現在価値
07/11/21
13
<2年目>
意思決定ツリー
<1年目>
P1
P2
Ce/v
P2Ce/v
E[Cv]
0
V
0
V
Ca+Cs +P2Ce/v
Ca+Cs
P2Ce/nv /(1+d)
NV
1-P1
0
P2
Ce/v
2
0
E[Cnv]
1-P2
0
NV
P2Ce/nv
P1
E[Cv ]  Ca  Cs  P1Ce|v  (1  P1 )P2Ce|v /(1  d )
E[Cnv ]  P1Ce|nv  (1  P1 )P2Ce|nv /(1  d )
1-P2
1
0
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1-P2
1-P1
Ca+Cs P2Ce/v /(1+d)
Ce/v
P2
Ce/nv
Ce/nv
仮定 : Ca+Cs >P2(Ce/nv - Ce/v)
14
7.2 感度分析
感度分析の3つの方法:
①
部分的感度分析
partial sensitivity analysis
②
最悪・最善ケース分析
worst- and best-case analysis
③
モンテカルロ感度分析
Monte Carlo sensitivity analysis
07/11/21
15
① 部分的感度分析
感度分析を綿密に行うためには、重要度の高い想定に
関する部分的な限界効果を考察する必要がある。
しかしながら、
ここには「鶏が先か卵が先か」という問題が存在する。
つまり、
重要度の高い想定を見分けること自体、感度分析を行
う前にはできない場合が多い。
なぜなら、
想定の重要度は、想定の範囲や想定の変化に対する
純便益の限界的な反応に左右されるからである。
07/11/21
16
② 最悪・最善ケース分析
情報が異なる選択に導く潜在的な可能性が大
⇒ 意思決定における情報の価値は大
最悪ケースの純便益がプラス
⇒ 最悪ケースの情報的価値が大
最善ケースの純便益がマイナス ⇒ 最善ケースの情報的価値が大
最悪ケースの分析は次のようなバイアスに対するチェックになる。
•
•
認識上の限界(cognitive limitations)
楽観的予測を生み出す官僚主義的誘因
(bureaucratic incentives)
純便益がパラメーターの非線形関数 ⇒ 注意が必要
07/11/21
17
③ モンテカルロ感度分析
<モンテカルロ分析の3段階>
1.
重要度の高いパラメーターについての確率分布を指定
2.
各パラメーターの確率分布から無作為抽出を行って得た
パラメーターの値の組を用いて、純便益の実現値を計算
3.
2段階の作業を何回も繰り返して、純便益の実現値を大
量に作り出す。それらの実現値の平均値が純便益の期
待値の推定値になる。また、ヒストグラムを作成すること
で純便益の分布の特徴を捉える。
07/11/21
18
7.3 情報と準オプション価値
科学者が次のような探査装置の開発を提案したとする。
その装置は
1.
「大型小惑星と地球が必ず衝突する」ということを
0.001の確率で教えてくれる。
2.
「大型小惑星と地球は絶対衝突しない」ということ
を0.999の確率で教えてくれる。
というものである。
このような「情報の価値」は次のようにしても求められる。
07/11/21
19
表7.2
ゲーム1
=「大型小惑星と地球が必ず衝突する」という探査
結果がもたらされた場合のゲーム
ゲーム2
=「大型小惑星と地球が絶対衝突しない」という探
査結果がもたらされた場合のゲーム
07/11/21
20
表 7.2
ゲーム1
費
便益
ゲーム2
期待純便益
便益
期待純便益
用
偶
大規模小惑星
中規模小惑星
中規模以上と
発
と衝突
と衝突
衝突なし
0.004/0.999
0.995/0.999
事
象
確率
1
60
前進基地
25000
24940
5000
0
-39.99
20
近地球基地
20000
19980
4000
0
-3.98
0
0
0
0
0
0
防衛なし
25000-60=24940
20000-60=19980
07/11/21
0.004/0.999×5000-60≒-39.99
0.004/0.999×4000-20≒-3.98
21
表7.2における期待純便益
=0.001×24940+0.999×0=24.94
情報の価値
=「表7.2における期待純便益」
-「表7.1における期待純便益」
=24.94-16
=8.94
である。
したがって、探査装置が8.94(兆ドル)以下であれば、
この装置に投資する価値があることになる。
07/11/21
22
準オプション価値
意思決定に関係するより良い情報が将来入手可能で
あれば、意思決定を遅らせるほうが賢明かもしれない。
準オプション価値
=取り消し不可能な意思決定を遅らせることによって得
られる情報の期待価値
適切な意思決定問題の定式化
⇒ 準オプション価値の計算
⇒ 正確な期待純便益の計算
07/11/21
23
開発に関連した準オプション価値
「開発」のタイミングは第 1 期と第 2 期の 2 回ある。
FD =全体の開発(Full Development)
LD =限定的な開発(Limited Development)
ND =開発せず(No Development)
また、開発は不可逆的であり「ND→LD→FD」と
いう方向しか移行できない。
07/11/21
24
第1期
第2期
FD
LD
ND
07/11/21
25
事象「低価値(Low Value)」
=将来世代が自然保護区域の保存に現世代と同じ価値をおく。
事象「高価値(High Value)」
=将来世代が自然保護区域の保存に現世代より高い価値をおく。
p =事象「低価値」の発生確率
1  p =事象「高価値」の発生確率
07/11/21
26
第1期
第2期
FDを選択すると第2期
← 不可逆性
に選択の余地はない。
p
1-p
FD
p
LD
1-p
ND
p
1-p
07/11/21
27
各期の純便益を「開発せず(ND)」を基準に測る。
「低価値」の下で、
B F =「 ND → FD 」で生じる純便益
BL =「 ND → LD 」で生じる純便益
B F - BL =「 LD → FD 」で生じる純便益
「高価値」の下で、
 C F =「 ND → FD 」で生じる純便益
 C L =「 ND → LD 」で生じる純便益
 (C F  C L ) =「 LD → FD 」で生じる純便益
仮定: BF  BL  0  C L  C F
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第1期
第2期
BF - BL
BF
FD
p
-CF
LD
1-p
FD
p
0
BL
FD
LD
0
1-p
ND
-(CF - CL)
-CL
LD
FD
LD
p
0
ND
1-p
0
FD
LD
BF>BL>0>-CL>-CF
BF
BL
0
-CF
-CL
ND
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0
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外生的学習(exogenous learning)のケース
• 1期経過後に、どちらの事象が発生したかを確実に知るこ
とができるとする。
E[ FD]  pBF  (1  p)CF
E[ LD]  p[ BL  ( BF  BL ) /(1  d )]  (1  p)CL
E[ ND]  pBF /(1  d )
 p( BF  BL ) /(1  d ) =LDを選択することで得られる準オプション価値
QOV  
=NDを選択することで得られる準オプション価値
 pBF /(1  d )
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30
7.1 期待値分析 (expected value)
7.2 感度分析
(sensitivity analysis)
7.3 情報と準オプション価値
(value of information)
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31
ダウンロード

P 2 C e/nv