相互作用模型の理解へむけて
(I) SIBYLL
板倉数記
KEK
2008年10月4日
ICRR
目次
• Mini-jet models
1. Cline, Halzen, and Luthe, PRL 31 (1973) 491
2. Gaisser and Halzen, PRL 54 (1985) 1754
3. Durand and Pi, PRL 58 (1987) 303
量子力学における高エネルギー散乱問題 (eikonal approximation)
• SIBYLL ver 1.7
Fletcher, Gaisser, Lipari, and Stanev, Phys. Rev.D50 (1994) 5710
多重散乱理論 (spp  spA)
• SIBYLL ver 2.0
Engel, Gaisser, Lipari and Stanev, proceedings for ICRC99 (Salt Lake
City)
http://dpnc.unige.ch/ams/ICRC-99/root/vol1/h2_5_03.pdf
Minijet model (1)
Gross-Wilczekの
漸近的自由性
PRL 27th April 1973
• 最初のminijet model (QCDが確立する前 1973年5月)
• はじめから宇宙線の相互作用を記述すべきものとして提案された
• CERNのISR実験を受けて理論を構成:
1. pp cross sectionが大きい, high pt pion (pt > 3GeV)が存在する
2. 生成粒子のtransverse momentum 分布
pt < 1 GeV exp{-6pt} 指数的
平均<pt > ~ 0.3GeV
pt > 3 GeV 1/pt8
べき的
< pt >はエネルギーの増加とともに増大
宇宙線の2次生成粒子の運動量分布も、低運動量成分と高運動量成分がある

high pt jet はハード散乱で生じたもの。それが断面積の増加を担う!
Minijet model (1)
平均横運動量のエネルギー依存性
2次生成粒子の横運動量分布
E = 10^4 GeV
Minijet model (1)
Parton modelが予言する「べき的」な
ds/dptを用いて、 ジェットから来る寄与
を評価
pp
積分の下端: pt = 2 -- 3 GeVで固定
さらに、幾何学的な断面積 38.5mb
を加える
1 TeV
ハードな寄与が断面積の増加を与える
ソフトな寄与はエネルギー依存性なし
Minijet model (2)
pQCDに根ざしたMinijet modelとして挙げられる最初の論文
ppbar high pt jetの存在を確証したCERNのUA1実験を受けて模型を構成
今度は、そのジェットの性質をよく記述する摂動的QCDでハード部分を計算
全ジェット断面積は前方散乱
が主で、エネルギーの増加に
伴って増加するだろうが、ptが
小さくなるとpQCDが使えなく
なるので切断が必要
Minijet model (2)
Saturationの必要性!?
Loyal Durand (1984):
“It is possible that the
problem will be reduced
to some extent by the
saturation of parton
distributions at small x
which results from
nonlinear modification
of the AP evolution
equations”
Minijet model (2)
宇宙線のデータを考慮
soft part
s0 = 38mb
Structure function:
Baier, Engels and Petterson 1980
Low momentum  exponential faloff
High momentum  power
Minijet model (3)
単純なソフト+ハードの模型では断面積が
異常に早く増加して、Tevatron やSSCエネルギー
で散乱振幅のユニタリ性を破ってしまう
 “diffraction-scattering formalism”
でユニタリ性を破らない計算をする
これは、multi-Pomeron exchangeを
足しあげることに相当(多重散乱)
 SIBYLLのminijet model はこれを採用
Minijet model (3)
ここで、c (b,s) はeikonal functionで、
A(b): pp散乱の「重なり度」。陽子の拡がり。形状因子を利用
C(s) のエネルギー依存性無視、Qminはエネルギーに依存しない
k
量子力学における散乱問題
• S matrix
 i 

ˆ
S  T exp  H int (t )dt
  

f  Sˆ i
• 微分断面積
2
ds 4 2
2
ˆ
 2 k ' ,  ' S  1 k ,   f ( k , ,  ;  ,  ' )
d k
• 中心力の場合は角運動量で展開して
ds
1
 2
d 4k
2

 (2l  1)(S 
l
l 0
'
   ' ) Pl (cos )
• 断面積
2

ds
 
 '
 '
S
 Sl
s (k )   d  2  (2l  1) Sl  
l
d
k l 0
2
 
s elastic (k )  2  (2l  1) Sl  1
k l 0
 
 
 ' 2
s inelastic (k )  2  (2l  1)  Sl
 2  (2l  1)(1 | Sl |2 )
k
s total
l 0
k
  '
2
 s elastic  s inelastic  2
k
l 0

 (2l  1)(1  Re S )
l 0
l
k’
Barone & Predazzi, 2002
“High-Energy Particle Diffraction”
高エネルギー散乱
高エネルギーの散乱では簡単にS行列が求まる(eikonal approximation,
Glauber)   2 2

H (r )  
  V (r ) (r )  E (r )
 2

2
2
k 2  2 E , U (r )  2 V (r ) と置くと [2  U (r )  k 2 ] (r )  0


入射平面波が前方方向へそのまま残るような解を考える
 (r )   (r ) eikr  [2  2ik    U (r )] (r )  0
φは運動量 k よりもゆっくりと変化するとして、2次の微分を無視
 i
 ( x, y, z )  exp
 2k

U
(
x
,
y
,
z
'
)
dz
'


z
散乱振幅(外向き散乱波の係数)
q  k'k
1
ik'  r
3
e
U
(
r
'
)

(
r
'
)
d
r'

4
iqb
ik
2
ic ( b )

d
b
e
1

e
,

2
f (k,k ' )  

散乱によるPhase shift

Sl
に相当
1
c (b )  
2k



U (b, z )dz
eikonal function
高エネルギー散乱


iqb
ik
2
ic ( b )
f (q ) 
d
b
e
1

e
,

2
1
c (b )  
2k



U (b, z )dz
ポテンシャルが弱い時、eikonal が小さいとして展開できる  Born 近似
1  eic (b)  ic (b)
相互作用を摂動的に取り入れて考えると、Born近似が1回の相互作用で
Eikonal approximationの結果は、相互作用を無限次まで足しあげた
寄与に相当
U
Eikonal がパートンパートン散乱振幅で、ハードポメロンの交換を
記述するなら、多重ポメロン交換を足しあげることに相当
SIBYLL ver 1.7
• Dual parton model にminijet productionを
加えた模型
• 現在は改良版(1999)が存在(後述)
SIBYLLの目指すもの
低エネルギーでの
ハドロン-陽子散乱
より高いエネルギーの
散乱では、低エネルギー
での性質が否定された
SIBYLLはこれらを記述
これらの性質が宇宙線
エネルギーでも続くことを
期待
SIBYLLの構成
低エネルギーでの
ハドロン・ハドロン散乱
をstring breaking model
で記述  奈良さん
より高いエネルギーの
ハドロン・ハドロン散乱
での現象はminijet model
で記述する
Durand-Piのminijet model
を採用 (説明済み)
ハドロン・ハドロン散乱
からハドロン・原子核散乱
への移行
Glauberの多重散乱理論
3
d
 r A (r )  A
Thickness function
衝突径数 b における密度の厚さについての積分
TA (b)   dz  A (b, z )
衝突径数 b における非弾性衝突の起こる確率


  
 A (bA , z A ) 2
 B (bB , z B ) 2
NN
dPAB (b) 
d bAdzA 
d bB dzB  s inel (b  bA  bB )
A
B
原子核A (B) 中のd2bdzに核子を見出す確率
PAB (b)   d bA dz A d bB dz B dPAB (b)  s
2
2
NN
inel
TAB (b)
,
AB
NN非弾性散乱の起こる確率
 
TAB (b)   d s TA ( s )TB (| b  s |)
2
NN非弾性散乱がn回起こる確率 (可能な2体散乱はAB回あるうち、bで起こるのがn回)
 AB 

PAB (n, b)  
 n 
s
AB
in
 NN TAB (b) 
s inel AB 
n

NN TAB (b) 
1

s
inel

AB 
AB  n
,
AB




2
2 
NN TAB (b) 

  d b PAB (n, b )   d b 1  1  s inel

 

AB

n


重イオン衝突
で利用
Glauberの多重散乱理論
pA collisionの場合 B=1, TAB(b)=TA(b)
AB  n
 AB   NN TAB (b)  
NN TAB (b) 


PAB (n, b)  
s inel
1  s inel
,





AB  
AB 
 n  
n
A n
 A   NN TA (b)  
T
(
b
)

NN
A
 PpA (n, b)    s inel
1

s
,
inel



A  
A 
n 
n
従って
s inpA
A



T
(
b
)


2
2 
NN
A

  d b PpA (n, b )   d b 1  1  s inel

 
A  
n

NN TA (b)
ここで、無限に大きい原子核の場合は s inel
 1 なので
s
pA
in

~  d b 1 e
2
A
NN
s inel
TA ( b )

多重Pomeron散乱の式と似ている。各散乱が独立な場合の式
原子核の分布  (r) の選び方に依存する
SIBYLL ver 2.0
• SIBYLL ver 1.7では、古い(HERA以前)parton distributionを用いていた
(EHLQ 1984)ので、HERAの新しいデータを取り入れた
 Small-x での上昇の効果が入ったので、より早く断面積が増加
 一方で、あまりにグルオン密度が高くなるとsaturationの効果が必要
 pQCDの公式が安全に使えるように、カットオフにエネルギー依存性
を与えよう(おそらくあまりに早く断面積が増加するのを抑える働きもさ
せている)
これはsaturation scaleとそっくり
のモードは全てソフトとして扱う
ダウンロード

Minijet model