熱雑音計算の現状
~第一世代解析計算から第二世代解析計算へ
研究者交流会
April 2009
カリフォルニア工科大 宗宮健太郎
マックスプランク研究所 山元一広
目次
• なぜ私が熱雑音の計算をしているか
• 3種類の熱雑音
• これまでに計算されたもの
• 今回我々が計算したもの
• 第二世代熱雑音解析への道
モチベーション
~Hannover sub-SQL measurement 実験のデザイン
常温で古典雑音が
SQLの4分の1以下
• マスの最適化
• フィネスの最適化
• アーム長の最適化
• 鏡のアスペクト比の最適化
コーティング熱雑音のアスペクト比依存性を計算した例がなかった
→自分でやることに
最適なアスペクト比 (計算結果)
マスは100gに固定、ビーム径はミラー径/2.5に固定
• 鏡を薄くしすぎると熱雑音は増える
• 各熱雑音の最適点はほぼ同じだった (a=~h)
論文は意外と好評
• gr-qc 0903.2902
• AdLやAdVにとっては…
• ブラウニアンは従来モデルより5~6%減
• 論文提出後にFEMモデルが完成 → 一致
• Thermo-optic noiseは低周波で顕著な差
• 量子計測やETにとっては…
• ビーム径を広げるために鏡を薄くしようとしていた
→ デザインの変更へ
熱雑音のレビュー
いろいろな熱雑音
例:AdLIGOのETM
• 無限大鏡で計算
• BR=Brownian, TE=thermoelastic
TR=thermorefractive, TO=thermo-optic (=TE+TR)
3種類の熱雑音 (BR,TE,TR)
Brownian熱雑音
温度は一定
Brown運動で鏡表面が揺れる
Thermo-optic雑音
温度が揺らぐ (dTT)
(i) 熱膨張率経由で複素反射率が変わる
[TE]
(ii) 屈折率の温度依存性経由で複素反射率が変わる [TR]
温度変化dTはコモンなのでTEとTRはコヒーレントに足す
計算方法
1. 弾性方程式を解く
• ガウシアンのストレスを鏡表面に与える(境界条件)
• Bonduが求めた円筒型鏡の解を用いる
• Harryが求めたコーティング部分の解も用いる
円筒の歪テンソル
円筒の弾性方程式
→解はベッセル関数に
計算方法
1. 弾性方程式を解く
• ガウシアンのストレスを鏡表面に与える(境界条件)
• Bonduが求めた円筒型鏡の解を用いる
• Harryが求めたコーティング部分の解も用いる
2. 散逸パワーWを揺動散逸定理(FdT)に代入
散逸
W~F02EijTijf [BR]
揺動
計算方法
1. 弾性方程式を解く
• ガウシアンのストレスを鏡表面に与える(境界条件)
• Bonduが求めた円筒型鏡の解を用いる
• Harryが求めたコーティング部分の解も用いる
2. 散逸パワーWを揺動散逸定理(FdT)に代入
散逸
W~F02EijTijf [BR]
揺動
3. TOのWは熱伝導方程式から求められる
W~(dq/dz)2 [TO]
温度揺らぎ
熱源
TEとTRでqは異なる
熱雑音計算の歴史
ずっと昔:
1980’s:
1995:
1998:
1998:
1990’s:
1999:
2000:
2000:
2002:
2004:
2007:
2008:
2009:
揺動散逸定理
Hutchinson’s method (モード分解)
モード分解でSubstrate熱雑音を計算 (Raab, Bondu)
Levin’s method (ガウシアンのストレスを与える)
~ 無限大鏡近似
Levin’s methodで有限鏡のSubstrate熱雑音を計算
(Bondu)
Coating熱雑音が大きいことが判明
BraginskyがTE noiseを紹介 ~ 薄膜近似
BraginskyがTR noiseを紹介
有限鏡のSubstrate TE noiseを計算 (Liu)
無限大鏡のCoating熱雑音を計算 (Harry)
無限大鏡で厚いCoatingのTE noiseを計算 (Fejer)
TR用のLevin’s new method (エントロピーを与える)
Thermo-optic noise (Evans)
有限鏡で厚いCoatingのBRとTO (宗宮&山元)
計算結果
Brownian熱雑音 ~アスペクト比依存性
N=19
AdLIGO (h=20cm)
• 厚さが半径より小さいあたりから熱雑音が上昇
• AdLIGOにとっては無限大鏡との違いは2.6%(低下)
• 有限要素法の数値計算と一致 (at a=17cm, h=20cm, w=6cm; T0810009-v8 )
Brownian熱雑音 ~ビーム径依存性
N=19
ビーム径が鏡の径
に近いと誤差が出る
AdLIGO (w=6.2cm)
• 鏡が薄くなる→無限<有限
• ビーム径が大きくなる→有限<無限
• 結果的にAdLIGOのETMでは、有限<無限
水平方向と垂直方向の損失
LIGO内で2つの微妙に異なるモデルが存在した:
(i) parallel-perpendicular model
(ii) tantala-silica square-sum model
我々の方法は各々のモデルに対応して有限鏡で計算可能
model-(i) infinite 6.11e-21 m/rtHz
model-(i) finite 5.97e-21 m/rtHz (analytical)
model-(ii) infinite 5.94e-21 m/rtHz
model-(ii) finite 5.79e-21 m/rtHz (analytical)
5.73e-21 m/rtHz (FEM)
どちらが正しいモデルなのだろうか??
Multi-layer calculation
[See K.Somiya, T0900033v1]
(i) parallel-perpendicular model
これらは実は近似式
であることが判明
(ポワソン比=0)
(ii) tantala-silica square-sum model
『各レイヤーの熱雑音をいちいち足し合わせる』のと、
『厚いシリカだけコーティングした場合の熱雑音と
厚いタンタラだけの熱雑音の自乗和』とは等しいことが判明
自乗和するのが正解
(i) parallel-perpendicular model
(ii) tantala-silica square-sum model
model-(i) infinite 6.11e-21 m/rtHz
model-(i) finite 5.97e-21 m/rtHz (analytical)
model-(ii) infinite 5.94e-21 m/rtHz
model-(ii) finite 5.79e-21 m/rtHz (analytical)
5.73e-21 m/rtHz (FEM)
AdLIGO用に使われていた数値とは5-6%の違い
ただしPara/perp modelも実際の実験で有用らしい
Thermoelastic雑音
N=19
AdLIGO (h=20cm)
• Brownianと同じ感じで、鏡が薄いと雑音レベルが上がる
• CoatingとSubstrateの各々が熱源となる
• 散逸はSubstrateで生じる→コヒーレントに足す必要性
Fejer (2004) との違い
熱伝導方程式
温度揺らぎ
熱伝導率/比熱
熱膨張率
比熱
ヤング率
温度
ポワソン比
膨張(TEの熱源)
Fejer (2004) : 膨張にz依存性を入れなかった
→Coating熱弾性雑音のみ
我々の計算 : Substrate内の膨張にz依存性を導入
→Substrate熱弾性雑音がコヒーレントに加わる
この違いは、(1)周波数が低いほど、(2)鏡が薄いほど、
(3)コーティングが薄いほど、顕著に現れる
Thermoelastic雑音 (スペクトル)
AdLIGO ITM
有限鏡 Coating TE + Substrate TE
無限大鏡 Coating TE (Feyer 04)
Substrate TE (Braginsky 99)
• AdLIGOでもITMで低周波だと影響が出てくる
• Sub TEとCoa TEの単純な自乗和より大きい
Th.elastic+Th.refractive=Thermo-optic
TEの熱伝導方程式
温度揺らぎ
熱伝導率/比熱
熱膨張率
比熱
ヤング率
温度
ポワソン比
膨張(TEの熱源)
屈折率の温度依存性(TRの熱源)
TRの熱伝導方程式
波長 “仮想力”
デルタ関数
ガウス分布
右辺を足してθを求め、散逸を計算するとTO雑音が求まる
増えるのか減るのか
α(dV/dT)もβ(dn/dT)も正である
x
n
T→T+dT
x+dx
n+dn
光路長は
(x+dx)(n+dn)/n
→両方増える方向
Substrate内ではTEとTRは足しあう
(しかしこれはいま関係ない)
増えるのか減るのか
[Evans 2008]
T
S
T
S
• 雑音となる2つのパス
(1) メカニカルに押す
~TE雑音だけ
(2) 複素反射率を変える
~TEもTRも影響する
x+dx
n1+dn1
• 広い意味で、(1)をTE雑音、
(2)をTR雑音と呼んでいる
• (1)と(2)は符号が異なる
Coating表面ではTEとTRは打ち消しあう
Thermo-optic雑音 (スペクトル)
AdLIGO ITM
TE (finite)
TE (inf)
TO (finite)
TR
Sub TE
(inf)
TO (inf)
• Thermorefractive雑音は無限大鏡と同じ
• ITMだと低周波で違いが出る
Thermo-optic雑音 (スペクトル)
AdLIGO ETM
TE (finite)
TO (inf)
TO (finite)
Sub TE
(inf)
TE (inf)
TR
有限大と無限大の違いはほとんどない
有限大鏡の熱雑音のまとめ
• 鏡が薄いとBrownianとThermoelasticが大きくなる
• AdLIGOでは有限と無限大の違いは2.6%
• これまで使われていたPara/perp modelとは5.5%違う
• Coating TE雑音とSubstrate TE雑音のコヒーレント和を計算
• TE雑音(→TO雑音)は低周波で従来と異なる結果
•第一世代解析計算のおまけ
•第二世代解析計算への道
おまけ その1 ~ GEOのBS透過雑音
[LIGO-DCC T0900145v1]
BSを透過する光にとって、
Brown運動によるBSの膨張は
真空とシリカの屈折率の差を
介して雑音になる
どうやって求めるか
GEOのBS
おまけ その1 ~ GEOのBS透過雑音
[LIGO-DCC T0900145v1]
通常 (反射光の雑音)
反射面に仮想力
Tzz(z=0)=p(r)
BS (透過光の雑音)
両側に差動に仮想力
Tzz(z=0)=p(r)
Tzz(z=h)=0
Tzz(z=h)=-p(r)
ちなみに、大して大きくありませんでした (7.7e-21[1/rtHz]@100Hz)
おまけ その2 ~ 裏側コーティング
[Yanbei Chen’s note]
1次元で考えると、鏡をひっくり返すだけで
コーティング熱雑音が消えるように思える
Lj
dLj
3次元の有限鏡で計算:7%しか改善せず
実は横にひっぱられる効果の方が支配的
第二世代熱雑音解析
発端はKimbleの論文
Brownian熱雑音キャンセレーションの先駆けと言われている
第二世代熱雑音解析のポイントは2つ
(1) 鏡のさまざまな点に仮想力を加える
(2) 歪みと応力、温度とエントロピー、だけではなく
複数の共役ペアを考える
より正確な熱雑音の見積もり
雑音を相殺させるコーティングデザイン
現在のモデル : 単層膜近似
N=1 N=2
N=19
silica
tantala
R=100%
• 光は最初の膜で全反射する
• TR雑音に関しては実効的な反射率変化が
まとめてデルタ関数的に加えられる
もっと正確なモデル
N=1 N=2
100% light
R=22%
N=19
silica
tantala
34% light
R=7%
5ppm light
R=7%
• 一部の光はコーティングを透過する
• 境界条件が増える
Brownian雑音キャンセレーション
[Y.Chen 2008]
Lj
nj
dLj
BR = njdLj + Ljdnj
dnとdLとに相関はあるのか?
“Clausius-Mossotti relation”
for silica…
nj+dnj
• z方向のみのキャンセレーション
• Yanbei Chenの学生が計算中
全部を計算する
Brownian熱雑音:温度を固定、力を加え、体積変化を見る
Thermo-optic雑音:力を固定、エントロピーを加え、温度変化を見る
これらのクロスタームは存在するのか
(力とエントロピーを両方正しく加えられるか)
蓑さんが計算中
αとβの温度依存性:Thermo-optic雑音の見積もりに必須
αとβの圧力依存性、体積依存性、etc.
いろいろな実験が必要
まとめ
• 現在用いられている鏡の熱雑音解析はこれでほぼ完了か
• 量子計測実験、ETデザインに有用
• GEOのBS雑音の解析など
• 第二世代解析を開発中;Brownian熱雑音の低減へ
• 実用化のためにはいくつかのパラメタの測定が必要
ダウンロード

をTE雑音