黒体輻射
1. 黒体輻射
2. StefanのT4法則、 Wienの変位測
3. Rayleigh-Jeansの式
空洞中の電磁波の空間モード
エネルギー等分配の法則
4. Wienの輻射公式
黒体輻射
1
1
2000K
6000K
光
強 0.5
度
光
強 0.5
度
5000K
1750K
0
4000K
1500K
1250K
0
2
1000K 4
波長(μm)
3000K
6
0
0
1
2
3
波数(10000cm‐1)
黒体輻射
StefanのT4法則
黒体輻射のパワー密度PはT4に比例する
P  T
4
  1.35 10 cal  cm s K
12
2 1
Wienの変位測
mT  const.
4
空洞中の電磁波(光)の観測
L
L
L
弦の振動
定在波
L
 n 
Ax   C sin
x  sin2t 
 L 
n = 0, 1, 2, 3,・・・
  2L n
c
c
  n

2L
空洞中の電磁波(光)のモード
x方向のモード
y方向のモード
z方向のモード
z y
x
L
 nx   n y   nz
Ax, y, z   C sin
x  sin
y  sin
 L   L   L
nx, ny, nz = 0, 1, 2,

z  sin2t 

2次元の波のモード
 nx   n y 
Ax, y   C sin
x  sin
y 
 L   L 
1
0.5
2
0
-0.5
1.5
-1
0
1
0.5
0.5
1
1.5
2
0
2次元の波のモード
2
1
00.5
-0.5
-1
1.5
λy
1
0.5
y
λx
0
0
0.5
1
1.5
2
x
1 1
     
 

 x   y 
1
2
2
波はベクトル!
モード
2次元の波のモード(正方形の場合)
 nx   n y 
Ax, y   C sin
x  sin
y 
 L   L 
n , n  の組でモードが決まる
x
y
3次元波のモード(立方体の場合)
n 
Ax, y, z   C sin x
 L
  n y   nz
x  sin
y  sin
  L   L

z  sin2t 

n , n , n の組でモードが決まる
x
y
z
空洞中(3次元)の電磁波のモード
 nx   n y   nz
Ax, y, z   C sin
x  sin
y  sin
 L   L   L

z  sin2t 

nx, ny, nz = 0, 1, 2,
3,・・・
2L
y 
ny
2L
x 
nx
2
2L
z 
nz
1 1 1
        
 


 x   y   z 
1
2
2
波はベクトル!
空洞中の電磁波のモード
c
c
2
2
2
 
nx  n y  nz
 2L
nz
4
3
2
1
0
0
1
2
3
nx
空洞中の電磁波のモード
(x方向だけを考える)
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
振動数が高い
2L

n
c
c
 
n
 2L
n
空洞中の電磁波のモード
c
c
 
nx2  n 2y  nz2
 2L
2L

c
n x2  n 2y  nz2
2L
半径
の球に含まれる格子点(モード)は
c
全て振動数がνと小さいかまたは等しい。
空洞中の電磁波の空間モード
2L
半径
の球に含まれる格子点(モード)の数
c
= 振動数がνよりも小さいモードの数N(ν)
モードの数の計算
・格子点当たりの体積は1
・球の1/8だけを計算(nx, ny, xz≧0)
・偏光の自由度(縦偏光か横偏光か)は2
2 4
N   
8 3
3
2

L
8





  V 3
3
c
 c 
3
V  L3
周
波
数
ν
ν+δν
ν
N(ν+δν)
N(ν)
モードの数
空洞中の電磁波の空間モード
dN v 
N      N   
  D( )
d
は振動数がν~ν+δνの範囲にあるモードの数
ここで
dN v 

D  
 8V  3
d
c
2
詳細平衡の定理
・一定の時間が経過すると系の全ての部分の
温度が等しくなる(熱平衡状態)。
・熱平衡状態では、系の全ての部分で光の
放出(輻射)と吸収がつり合う。
・黒体の温度がTならば、輻射場(光の各モード)
の温度もTとなる。
・光の各モードは「振り子」に置き換えられる。
・各「振り子」のエネルギーは温度Tでのボルツマン

の分布p(ε)に従う。
kT
p   e
モードあたりのエネルギー=kT
振動モード
各々の振動モードは、振り子に対応する!
エネルギー
等分配の法則
1
K  kT
2
1
K  V  kT
2
振り子
E  K  V  kT
ν
周
波
数
kT
モードの数
Rayleigh-Jeansの式
振動数がνからν+dνの間にある
単位体積あたりの輻射のエネルギー
kTD d 8 kT
u  d 

d
3
V
c
2
1
光
強 0.5
度
0
0
波長λが短いと
実験に合わない!
1750K
2
6
4
波長(μm)
Rayleigh-Jeansの式
2
8 kT
u  d 
d
3
c
d
c
c
c
 2
d   2 d

d



1
u  d 
8kT
4
d
光
強 0.5
度
0
0
1750K
2
6
4
波長(μm)
Wienの輻射公式
根拠無しの直感!
8 ka a T
u  d 
e
d
3
c
3
波長λが長いと
実験に合わない!
1
光
強 0.5
度
0
0
1750K
2
6
4
波長(μm)
問題1
Rayleigh-Jeansの式
8 2 kT
u  d 
d
3
c
を波長λに関する式に変換せよ。
ヒント
  c
問題2
体積Vの空洞において、周波数がνより小さい
電磁波のモードの数は次式で与えられる。
2 4
N   
8 3
3
2

L
8





  V 3
3
c
 c 
3
エネルギー等分配の法則からRayleigh-Jeansの式
8 2 kT
u  d 
d
3
c
を求めよ。
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