【第三講義】 1次元写像の軌道と安定性
〔3.0〕 前回の復習
【質問】 {(x,y) : 0< x2+y2 <1}の閉包を求めよ.
【質問】左の写像の最大の不変集合Λを答えよ.
【質問】不変集合Λ上に周期軌道は幾つ存在するか.
【質問】不変集合Λ上に非周期軌道は幾つ存在するか.
【質問】ある軌道X={xn : n=0,1,..,∞}のみによって,
不変集合Λが定義できるとき,Xとは
いかなる性質を持つか答えよ.
【質問】Cantor集合に関する3つの性質を挙げよ.
0
x0
x2 1
x1
【質問】以下の過程の極限で生成される自己相似集合の非整数次元を求めよ.
1
1
1/3
1/3
∞
〔3.1〕 同相写像
【定義:1:1写像】Xの元がYの元に重複なく対応づけられる場合,
写像f : X→Yは1:1(one to one)であるという.
【定義:上への写像】Xの元の像がYの全ての元を覆う場合,
写像f : X→Yは上への(on to)写像という.
【定義:リプシッツ連続写像】距離空間(X,d)上の写像f : X→Xが,d(fx,fy) ≦ K d(x,y)
を満足するならば,fをリプシッツ連続写像といい,kをリプシッツ定数という.
【質問】 f ∈C1[0,1]のリプシッツ定数を求めよ.
【定義:同相写像】距離空間(X,d)上の写像f : X→Xが,
・連続 ・1:1 ・上への写像 ・逆写像も連続
を満足するならば,fを同相写像といい,fが微分可能でならば,可微分同相写像という.
【質問】次の写像f : I →I は,いかなる写像であるか答えよ.
〔3.2〕 剛体回転
テーブルは,1秒間に1回転する.
ストロボは,1秒間にN回点灯する.
1秒間に4回点灯した場合,
4つの点が順に観察できる.
【質問1】剛体回転を1次元写像f : [0,1]→ [0,1]でモデリングしてみよ.
1
y
W
0
0
x
【質問2】Wが有理数のとき,軌道はどうなるか?
【質問3】Wが有理数のとき,周期軌道はいくつ存在するか?
【質問4】Wが無理数のとき,軌道はどうなるか?
【質問5】準周期軌道は[0,1]上で稠密であることを示せ.
1
〔3.3〕周期軌道の安定性
【定義:不動点】写像f : I→Iにおいて,f p = p を満足する軌道を不動点という.
【定義:安定不動点】不動点pに開近傍Upが存在し, limn →∞ fnx = p for all x ∈ Up
であるとき不動点pは漸近安定であるという.
【質問】上記の定義でなぜ閉近傍でなく開近傍なのか,説明せよ.
【命題:安定不動点】不動点pにおいて|f’(p)|<1の場合, 不動点pは漸近安定である.
【証明】テーラー展開 f(x) = p + f’(p) (x-p) + O((x-p)2) から,f(x) - p = f’(p) (x-p) + O((x-p)2).
|fn(x) - p| = |f(fn-1x) - p| = |f’(p)| |fn-1(x) - p| =…….= |f’(p)|n| x - p| .
【定義:周期点】写像f : I→Iにおいて,f p0 = pn (p0≠pi)を満足する軌道{p0,p1,..,pn-1}を
n周期点という.
【質問】n周期点が漸近安定である条件を述べよ.
【回答】n周期点は,n回合成写像の不動点より,連鎖則から|f’(p0) f’(p1)…f’(pn-1)| < 1.
〔3.4〕軌道の安定性
不変集合上の複雑さと軌道の長時間発展の様相は深く関係している.
Ω:無理数
1
y
W
0
0
e
x
剛体回転:初期誤差を保持
1
0 e
x
カオス的写像:爆発的な誤差増大
(軌道不安定性)
【質問】稠密な軌道と周期軌道が共存する写像は,必ず軌道不安定性を持つ.
その理由を述べよ.
1
〔3.5〕 1次元写像のリアプノフ指数
【定義:リアプノフ指数】微分可能写像f : I→Iにおける軌道{x0, x1,..}に沿った線素拡大率
L(n) = |f’(x0)| |f’(x1)| |f’(x2)| …… |f’(xn)| e
の長時間平均 limn →∞ log L(n)/(n log e) をリアプノフ指数という.
【質問】次の写像のリアプノフ指数を求めよ.
リアプノフ指数が,正なら軌道不安定,零なら中立,負なら安定.
〔3.6〕 カオス的不変集合の定義
【定義:カオス的不変集合】
①コンパクトである.
②分解不可能である.
Λ
・位相推移性
V
⇔ ① および 稠密な軌道
W
fW
・位相混合性:位相推移性より強い条件
③軌道不安定である.
・敏感な初期値依存性:||fnx-fny|| > d
・指数的軌道不安定性:||fnx-fny||  eln
(正Lyapnov指数:l>0 )
x y
Λ
【定義:カオス的不変集合Λの構造】
①確率的な乱雑な軌道を持つ.
②稠密な軌道を持つ.⇒ 閉包を取ると不変集合となる.
③非周期点は非可算存在する.
④周期点は可算存在し,その全体は稠密.
V
【質問】下の写像の不変集合は,カオス的であることを説明せよ.
【質問】無理回転において,下の写像の不変集合は,カオス的ではないことを説明せよ.
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