事例研究(ミクロ経済政策・問題分析 III)
- 規制産業と料金・価格制度 (第7回 – 手法(4) 応用データ解析/基礎的手法)
2015年 6月 10日
戒能一成
0. 本講の目的
(手法面)
- 応用データ解析の手順や基本的な作業の流れ
(Strategy) を理解する
- 特にグラフ化や統計検定などの手法を用いた、
データ解析手法の選択と検定・確認について
理解する
(内容面)
- 計量経済学・統計学を実戦で応用する際の
基礎的留意点を理解する (1)
2
1. 制度の効果を測るには
1-1. 政策分析の基本手順
- 料金・価格制度やその変更が及ぼす効果を推計
するためには、以下の 2つの作業が必要
1) 制度変更による経済データへの影響経路と、
因果関係・寄与度の推定 (「モデル構築」)
→ 制度変更がどのような変化をもたらすか?
2) 制度の創設・変更と同時に生じた経済データ
の「有意な変化」の計測 (「モデル実証」)
→ 数量・価格や費用は本当に変化したか?
(→ 変化していれば余剰分析が応用可能)
3
1. 制度の効果を測るには
1-2. 政策分析の条件(1)
- 制度(変更)の効果推計に際し充足すべき条件
1) 他の条件一定 “Ceteris Paribus”
→ 制度変更以外の外的要因変化の影響が、
可能な限り十分除去されていること
2) 政策影響の独立性 “Unconfoundness”
→ 制度(変更)の影響が、制度の実施/非実施
と独立と見なせること ( 影響の均質性 )
3) 対照群・時間の存在 “Overlap”
→ 制度(変更)が非実施の群・時間があること 4
1. 制度の効果を測るには
1-3. 政策分析の条件(2)
- 制度(変更)の効果推計に際し充足すべき条件
→ 分析手法・手順の選択や精度を規定
時間 →
対象
↓
X1
X2
対照群横断比較?
→ 独立性が必要
(影響の均質性)
X3
X4
0
1
・・・ t (制度変更) ・・・ n (2010)
対照時系列比較?
→ 外的要因除去が必要
y10 y11
・・・
y1t (変更)・・・ y1n (変更)
y20 y21
・・・
y2t (変更)・・・ y2n (変更)
y30 y31
・・・
y3t ( -- ) ・・・ y3n( -- )
y40 y41
・・・
y4t ( -- ) ・・・ y4n( -- )
外的要因(毎年度変化)の影響が存在
異質性
が存在
5
1. 制度の効果を測るには
1-4. 制度影響モデルの仮構築(1)
- 問題とする財サービスの費用、価格・料金、数量
などについて、制度が及ぼす影響経路・内容を、
経済理論に基づく簡単な影響モデルで記述
→ 費用、料金・価格、数量の変化
- 当該変化において、外的要因が存在する場合、
(後で取除くことを目的に)外的要因の影響経路と
内容を加味したモデルを構築
→ 需要変化(率)、一般物価・金利、他の制度
6
1. 制度の効果を測るには
1-5. 制度影響モデルの仮構築(2)
- 制度影響モデル(例: 投資影響による費用変化)
- C(t)
→ Y(t)
- Cfix(H)
- cval(t)
= Cfix(t,H) + cval(t) * Q(t) + ε(t)
= α1(or α0) + β* X(t) + ε(t)
= △Cfixpo(H(1or0)) + Cfixtr
= cfuel(t) + cwaste(t)
C(t): t期実質総費用,
Q(t): t期供給量,
ε(t): 誤差項
Cfix(t,H): t期固定費
△Cfixpo(H(1or0)) 政策実施(H(1))以降の実質減価償却費 +
同利払費変化(政策影響部分)
Cfixtr
過去10年平均実質固定費 (不変)
cval(t) : t期可変費原単位
cfuel(t),cwaste(t)
実質単位燃料費・ゴミ処理費 (外部要因)
7
1. 制度の効果を測るには
1-6. 制度影響モデルの実測・修正
- 1-4. で構築した制度影響モデルを、実際の統計
データを用いて実測する
- 実際の統計処理はパッケージ・ソフトで実施する
(STATA, EViews, ・・・ )
→ 重要なのは、必要とされる前提条件に応じた
適切な手法の選択と、検定結果などの解釈
- 明らかに理論と矛盾する結果が出た場合には、
1-4. に戻って制度影響モデルを再考する
(ex. 正の価格弾力性, 負の所得効果・・・)
8
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-1. 線形回帰モデルとは
- 最も簡単な線形回帰モデルは、被説明変数(例:
費用)を説明変数(前期固定資産、燃料費・・・)で
最小二乗法により回帰分析したモデル
yi
y = α + x’β + ε
→ y* = α* + x’β*
α* = y – x’β*
β* = (x’x)-1x’y
σ*2 = (y -y*)’(y -y*)/(n-k)
- 最も簡単で扱いやすい手法だが・・・
y*i=α*+xiβi*
ε~N(0, σ*2)
xi
9
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-2. 線形回帰モデルと前提条件(1)
- 線形回帰モデルが適用できる前提条件は 4つ
#1: 線形性 Linearity
- 適切な変換で y = α+x‘β+ε型になること
→ 適用困難例と対処
- yが離散値(0, 1), 切断値( yi | yi > 0 )
→ ダミー変数・切断変数モデル回帰
→ 平均措置効果(ATE; matching 他)
- y がCES型(= (Kδ+Lδ)γ)等連続非線形
→ 非線形回帰 (数値解析法)
10
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-3. 線形回帰モデルと前提条件(2)
#2: 説明変数の外生性 Strict Exogeniety
- 説明変数 X が誤差項 ε と独立であること
⇔ E( εi | X ) = 0 ( i = 1 to n )
→ 適用困難例と対処
- 説明変数 X が誤差項εと相関あり
( XとYが需給均衡・同時決定の場合など )
→ 操作変数法 Instrumental Variable
Xとは相関があるが εとは相関が
ない変数 Z を探して併用回帰
11
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-4. 線形回帰モデルと前提条件(3)
#3: 説明変数の非多重共線性 No Multicolinarity
- 説明変数 xi が他の xj (i≠j)の組合わせで
表現できないこと ⇔ rank Xkxn’Xnxk = k
→ 適用困難例と対処
- 説明変数 X の間での相関高
→ 主成分回帰
→ 一部変数除去 (= モデルの見直し)
(ex. ダミー変数は全ての分類に設定できない
∵ 少なくとも分類の 1つは他の補集合 )
12
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-5. 線形回帰モデルと前提条件(4)
#4: 誤差項の均一分散性 Homoskedasticity
- 誤差項 ε の分散は全て σ2 で共分散なし
⇔ E(ε’ε| X) = σ2 I
- 通常さらに 誤差項εは正規分布 N(0, σ2I)
と仮定する
→ 適用困難例と対処
- 分散が不均一
→ 不均一分散回帰 Heterosked. robust
- 系列相関あり [重要]
→ 時系列分析法 Time Series Analysis13
2. 応用データ解析の基礎(1): 線形回帰モデル
2-6. 線形回帰モデルと実用上の問題
- 現実の料金・価格制度の分析という視点からは、
線形回帰モデルの前提条件が成立しない場合多
#1 線形性:
成立しない場合有
(→ “凸/凹型” Convex/Concave, 離散型など)
#2 説明変数の外生性:
(回避可能)
#3 説明変数の非多重共線性: (回避可能)
#4 誤差項の均一分散性:
ほぼ確実に成立せず
(→ 殆どの場合「時系列相関」あり, 粘着性など)
→ 分析手法として時系列分析・パネルデータ分析
が有効 (後述)
14
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-1. 決定係数・自由度修正済決定係数
- 決定係数 R2 ; 最も一般的な精度指標
- 推計式 y* = α* + x’β* が、実際の y の変動
のどの程度を説明しているかを表す係数
→ 0≦R2≦1, R2 =1– (y-y*)2/(y’(I-x(x’x)-1x)y)
- 但し、説明変数 X をたくさん使うと R2 は実際
の精度と無関係に大きくなるので、自由度修正
済決定係数 R2 (Adjusted R2) が用いられる
→ Adj. R2 = 1 – (n-1)/(n-k-1) * (1 – R2)
n: 試料数 k:説明変数数 Adj.R2 ≦1
15
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-2. グラフ化(=可視化)による考察の重要性(1)
- 記述統計量(=X,Yの平均・分散等)と決定係数の
みに頼ると危険、必ずグラフ化(=可視化)すべき
- Anscombe (‘73) Yni = 3.0 + 0.5Xi Adj.R2 =0.666
i
Xi
Y1i
Y2i
Y3i
1
10.0
8.04
9.14
7.46
2
3
4
8.0
13.0
9.0
6.95
7.58
8.81
8.14
8.74
8.77
6.77
12.74
7.11
5
11.0
8.33
9.26
7.81
6
14.0
9.96
8.10
8.84
7
6.0
7.24
6.13
6.08
8
4.0
4.26
3.10
5.39
9
12.0
10.84
9.13
8.15
10
7.0
4.82
7.26
6.42
11
5.0
5.68
4.74
5.73
平均
9.00
7.50
7.50
7.50
分散
3.32
2.03
2.03
2.03
16
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-3. グラフ化(=可視化)による考察の重要性(2)
- Y2:前提 #1(線形) に問題有 (要変数変換)
Y2i = -6.00 + 2.78 Xi – 0.13 Xi2 + εi
Adj.R2 = 0.999
- Y3:前提 #1, #4(均一分散) に問題有 (特異値)
Y3i = +4.01 + 0.35 Xi + 4.24 DM#10 + εi Adj.R2 = 0.999
17
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-4. 統計検定の基礎(1)
- ある 2つの値の間に差があるかを判定するには
条件を揃えた上で当該試料の「ばらつき」と比べ
「差」が十分大きい(= 「A1≠A0」) かを判定する
- 仮に試料の「ばらつき(標準偏差などの指標)」と
比べ「A1-A0」が小さければ差があるとは言えず
A(t)
平均 A0
(評価時点)
平均A1
σ
t
A1 – A0
18
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-5. 統計検定の基礎(2)
- 統計検定の多くは、検定したい内容を否定する
仮説(帰無仮説: Ho)を敢えて設けた上で、当該
帰無仮説が統計的に見て「真」である確率が
十分に小さいといえるか否かを判定
→ 帰無仮説が「真」の確率が十分小
⇒ 内容を否定する仮説が「棄却」 ⇒ ○
- つまり 「背理法」
- 通常「95%有意」(= 確率 5%以下, “*”)が、
稀に「99%有意」(同 1%以下,”**“)が用いられる
19
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-6. 統計検定の基礎(3)
- 95%・片側検定の場合、確率(= 確率密度積分
値)が2.5%となる点 Z(0.025) に対し帰無仮説に対
応する検定統計値 Z (= 試料の「ばらつき」に対す
る検定対象値の比) の大小を判定
- Z < Z(0.025) なら帰無仮説が「真」の確率大 ⇒ ×
d (帰無仮説が真である) 確率密度 (片側)
z 保留域
(= ×)
z
d (帰無仮説が真である) 確率密度 (両側)
z 棄却域
(= ○)
z 保留域 z
(= ×)
確率密度積分値(=確率)
片側 2.5%
0 (=Z(0.500))
(Z(0.500)~Z(0.025))
Z(0.025) ( Z(<0.025) )
z 棄却域
(= ○)
確率密度積分値(=確率)
両側 5.0%
0 (=Z(1.00)) (Z(1.00)~Z(0.05)) Z(0.05)
Z(<0.05) 20
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-7. 回帰係数の有意性の検定 (⇒β≠0? )
- (Student) t-検定 ; β≠0? [重要]
tk = β*k / ( σ*2・(x’x)-1kk )0.5
(t値)
回帰係数k 回帰係数k に対応する試料のばらつき具合
tk ~ t(n-k) 自由度 n-k の t分布, 片側
- 結果を p値 (tk に対応する確率) で表すこと多し
- 確率密度の総和(不定積分)は 1
- 確率密度の +∞ からの積分値(=確率)が
2.5%(95%・片側の場合)となる臨界点 t(0.025)
に対し、仮説(帰無仮説)に対応した tk の
大小を判定
- tk ≧t(0.025) (= 帰無仮説「真」の確率≦ 5%)
の場合帰無仮説を棄却 (= ○)
- tk <t(0.025) の場合帰無仮説を保留
(= 帰無仮説「真」の確率> 5%, ×)
0 (=t(0.500))
d (帰無仮説が真である) 確率密度, t分布
tk 保留域
(= ×)
tk
tk 棄却域
(= ○)
確率密度積分値(=確率)
片側 2.5%
t (n-k)
t(0.025)(片側・95%) t 検定統計値 21
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-8. 回帰係数の信頼区間推定
- 95%水準での t検定の考え方を拡張して、逆に
回帰係数β*k が信頼できる確率95%の範囲(=
β*k との差が 0 と言える確率が片側2.5%以上の
範囲、「信頼区間」) を推計できる
- β*k(±5%) = β*k ± t(0.025) * ( σ*2・(x’x)-1kk )0.5
d (帰無仮説が真である)
確率密度, t分布
β*k: △β*k=0
△β*k(±5%) = t(0.025) * ( σ*2・(x’x)-1kk )0.5
確率密度積分値(=確率)
片側 2.5%
t (n-k)
0 (= t0.500 )
t(0.025)
t 検定統計値
22
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-9. 平均値の差の検定(⇒∀β=0の際, α1≠α0?)
- Welch-t検定; α1≠α0 ?
tw = (α1 – α0) / ( σ*12/N1 + σ*02/N0 )0.5
平均値の差 / 状態1・0 の「ばらつき」の合成値
tw ~ t(v) 自由度v の t分布, 片側
v = (σ1/N1+σ0/No)2 / (σ12/(N12・(N1-1)) + σ02/(N02・(N0-1)))0.5
y
N0個・標準偏差 σ0
N1個・標準偏差 σ1
d (帰無仮説が真である) 確率密度, t分布
tw 保留域
(= ×)
平均
α0
α1
tw
tw 棄却域
(= ○)
確率密度積分値(=確率)
片側 2.5%
t (n-k)
0
β=0 ⇒ y はほぼ一定で推移
T (時間)
t(0.025)(片側・95%)
t 検定統計値 23
3. 応用データ解析の基礎(2): 線形回帰と検定
3-10. 平均値の差の検定の応用 (簡易定常化法)
- 分析対象 y が複数の説明変数 X から影響を
受けている場合でも、 βi ≫ βothers ならば、
(Xi の y への影響が他の X より卓越する場合)
y/X1 はほぼ一定となり、 Welch t-検定が使える
y
= α + Xi*βi + Xj*βj + ε
y/Xi = βi + Xj/Xi*βj + α/Xi + ε/Xi
→ << βi
y/Xi = βi + ε’ (= Xj/Xi*βj + α/Xi + ε/Xi )
→ ほぼ一定なら Welch t-検定が適用可
24
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-1. 回帰分析と結果の解釈(1) STATA
- 例: 酒類消費量(家計調・県庁所在地別・2008)
→ まず P-Qグラフ(価格-数量)を書いてみる
25
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-2. 回帰分析と結果の解釈(2) STATA
- 焼酎購入量(家計調・県庁所在地別・2008)
lsaq: 消費量(対数, l) lsap: 価格(対数, \/l)
lexp: 消費支出(対数) lpdp: 人口密度(対数)
lbeep,lsesp,hhpsp: ビール・清酒・発泡酒価格(対数)
. reg lsaq lsap lbeep lsesp lhpsp lexp lpdp
↑適切な代替財は?
Source
SS
df
MS
Model
Residual
2.67358707
2.49448231
6
40
.445597846
.062362058
Total
5.16806938
46
.112349334
Number of obs = 47
F( 6,
40) = 7.15
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.5173
Adj R-squared = 0.4449
Root MSE
= .24972
βi (係数)
lsaq
lsap
lbeep
lsesp
lhpsp
lexp
lpdp
_cons
Coef.
-1.427614
3.301218
.3204504
-.5590815
-.6802628
-.1579981
2.657071
t値・p値
Std. Err.
.3314886
1.130336
.3194426
.7909589
.4823904
.0537782
10.10848
t
-4.31
2.92
1.00
-0.71
-1.41
-2.94
0.26
P>|t|
0.000
0.006
0.322
0.484
0.166
0.005
0.794
[95% Conf. Interval]
-2.097578
1.016723
-.3251671
-2.157669
-1.65521
-.2666878
-17.77292
-.7576508
5.585713
.966068
1.039506
.2946847
-.0493084
23.08706
26
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-3. 回帰分析と結果の解釈(3) STATA
- 焼酎購入量(家計調・県庁所在地別・2008)
lsaq: 消費量(対数, l) lsap: 価格(対数, \/l)
lexp: 消費支出(対数) lpdp: 人口密度(対数)
lbeep: ビール価格(対数)
. reg lsaq lsap lbeep lexp lpdp
Source
推計式説明
分・残差分
SS
二乗和・ k, n-k ・平均二乗和
df
MS
Model
Residual
2.59129468
2.5767747
4
42
.647823671
.061351779
Total
5.16806938
46
.112349334
Number of obs = 47
F( 4,
42) = 10.56
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.5014
Adj R-squared = 0.4539
Root MSE
= .24769
t値・p値
lsaq
lsap
lbeep
lexp
lpdp
_cons
Coef.
-1.452444
3.232778
-.7018367
-.1476392
.0037443
βi (係数)
Std. Err.
.32794
1.085017
.4758033
.0525584
9.692547
t
-4.43
2.98
-1.48
-2.81
0.00
√σ2(xx)-1(標準誤差)
P>|t|
0.000
0.005
0.148
0.008
1.000
F検定結果
R2・ Adj.R2
残差平方和
[95% Conf. Interval]
-2.114253
1.043126
-1.662047
-.2537063
-19.55661
-.7906338
5.42243
.2583733
-.041572
19.5641
95%信頼区間上限・下限
27
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-4. 回帰分析と結果の解釈(4) STATA
- 焼酎購入量(家計調・県庁所在地別・2008)
理論と整合するか ? (1)
eqx,px + eqx,py + eqx,I = 0 (需要関数の同次性条件)
Min(-2.11+1.04-1.66) Max(-0.79+5.42+0.26)
. reg lsaq lsap lbeep lexp lpdp
= -2.73 ~+4.89
Source
SS
df
MS
Model
Residual
2.59129468
2.5767747
4
42
.647823671
.061351779
Total
5.16806938
βi (係数)
46
.112349334
lsaq
lsap
lbeep
lexp
lpdp
_cons
Coef.
-1.452444
3.232778
-.7018367
-.1476392
.0037443
Number of obs = 47
F( 4,
42) = 10.56
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.5014
Adj R-squared = 0.4539
Root MSE
= .24769
t値・p値
Std. Err.
.32794
1.085017
.4758033
.0525584
9.692547
t
-4.43
2.98
-1.48
-2.81
0.00
P>|t|
0.000
0.005
0.148
0.008
1.000
[95% Conf. Interval]
-2.114253
1.043126
-1.662047
-.2537063
-19.55661
-.7906338
5.42243
.2583733
-.041572
19.5641
95%信頼区間上限・下限
28
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-5. 回帰分析と結果の解釈(5) STATA
- 焼酎購入量(家計調・県庁所在地別・2008)
理論と整合するか ? (2) 人口密度を外すと・・・
eqx,px + eqx,py + eqx,I = 0 (需要関数の同次性条件)
Min(-2.42+1.05-1.85) Max(-1.07+5.75+0.21)
. reg lsaq lsap lbeep lexp
= -3.22 ~ +4.89
Source
SS
df
MS
Model
Residual
2.10718286
3.06088652
3
43
.702394287
.071183408
Total
5.16806938
βi (係数)
46
.112349334
lsaq
lsap
lbeep
lexp
_cons
Coef.
-1.741788
3.405312
-.8154809
-.4769214
Number of obs = 47
F( 3,
43) = 9.87
Prob > F
= 0.0000
R-squared
= 0.4077
Adj R-squared = 0.3664
Root MSE
= .2668
t値・p値
Std. Err.
.3353633
1.16685
.5106551
10.43869
t
-5.19
2.92
-1.60
-0.05
P>|t|
0.000
0.006
0.118
0.964
[95% Conf. Interval]
-2.418113
1.052134
-1.845315
-21.52855
-1.065464
5.75849
.2143532
20.5747
95%信頼区間上限・下限
29
4. 応用データ解析の基礎(3): 実戦編
4-6. 回帰分析と結果の解釈(6) STATA
- 不均一分散最小二乗法 (Heterosked. robust)
→ 回帰係数βi は同じ、標準誤差が異なる
. hettest
(←分散均一性検定が棄却: 清酒の例)
Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity
Ho: Constant variance
Variables: fitted values of lsesq
chi2(
1)
=
17.26
Prob > chi2 = 0.0000
. regress lsesq lsesp lexp lpdp, robust
Linear regression
Number of obs = 47
F( 3,
43) =
4.26
Prob > F
= 0.0101
R-squared
= 0.1756
Root MSE
= .49607
√(x’x)-1x’Ωx(x’x)-1
lsesq
lsesp
lexp
lpdp
_cons
Coef.
-.7272809
2.65602
-.0517519
-30.95186
Robust
Std. Err.
.4543773
1.511482
.0654726
23.00742
t
-1.60
1.76
-0.79
-1.35
P>|t|
0.117
0.086
0.434
0.186
[95% Conf. Interval]
-1.64362
-.3921736
-.1837901
-77.35076
.1890582
5.704214
.0802862
15.44703
30
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