9.線形写像
1
• ここでは、行列の積によって、写像を定義
できることをみていく。
• また、行列の積によって定義される写像の
性質を調べていく。
2
行列演算と写像(変換)
3
拡大とスカラー倍
y
y
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky )
p  ( x, y)
O
k 倍
k 倍
x
O
x
k倍
拡大の関係は、スカラー倍を用いて次のように
表現できる。
拡大後
 x '
 x
 y '  k  y 
 
 
拡大
拡大前
4
拡大と行列の積
y
y
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky )
p  ( x, y)
O
k 倍
k 倍
x
O
x
k倍
拡大の関係は、行列を用いても次のように
表現できる。
拡大後
 x ' k 0   x 
 y '   0 k   y 
  
 
拡大
拡大前
5
変形と行列
y
y
p  ( x, y)
O
p '  ( x ', y ')
x 座標のみを
k倍
 (kx, y )
1倍
x
O
x
k倍
行列を用いるといろいろな変形が表現できる。
変形後
 x '   k 0  x 
 y '   0 1   y 
  
 
変形
変形前
6
行列による図形の変形1
y
y
A(ax , ay ) D(dx , d y )
B(bx , by ) C (cx , cy )
O
A '(2ax , 2ay )
2倍
D '(2dx , 2d y )
B '(2bx , 2by )
C '(2cx , 2cy )
x
O
x
図形の拡大は行列を用いて表現できる。
 a 'x   2 0   ax 
a '   
a 

 y  0 2  y 
7
行列による図形の変形2
y
y
x 座標だけ
2倍
A(ax , ay ) D(d , d )
x
y
B(bx , by ) C (cx , cy )
O
A '(2ax , ay )
D '(2dx , d y )
B '(2bx , by )
x
O
C '(2cx , cy )
x
図形の変形は行列を用いて表現できる。
 a 'x   2 0   ax 
a '   
a 

 y  0 1  y 
8
練習
次の図形に各変換をほどしたとき、
うつされる図形の頂点の座標と外形を描け。
y
D(1, 2)
C (3, 2)
A(1,1)
B(3,1)
x
O
(1)
 x ' 1  x 
 y '  2  y 
 
 
(3)
(2)
 x '   2 0   x 
 y '   0 2  y 
  
 
(4)
 x '  0 1   x 
 y '   1 0   y 
  
 
 x '  1 1 1  x 
 y '  2 1 1   y 
 

 
9
回転を表す行列
p '  ( x cos  y sin  , x sin   y cos )
y
y
p '  ( x ', y ')
原点を中心に
p  ( x, y)
 回転

x
O
O
p  ( x, y)
回転も行列を用いて表すことができる。
回転を表す行列は少し複雑である。
(興味のある人は自分で導くとよい。)
回転後
 x '  cos
 y '   sin 
  
回転
 sin    x 



cos   y 
回転前
10
x
行列による図形の回転
y
y
原点を中心に
 回転

A(ax , ay )
O
x
A '(a 'x , a ' y )
x
O
 a 'x  cos
a '   
 y   sin 
 sin    ax 
 
cos   a y 
11
変形の組み合わせと行列の積1
y
A(ax , ay )
y
O
A '(a 'x , a ' y )
A ''(a ''x , a '' y )
y
x
O
 a 'x   2 0   ax 
a '   
 
 y  0 1 a y 
x
O
 a ''x  cos
 a ''   
 y   sin 
 a ''x  cos   sin    a 'x 
 a ''   
 
 y   sin  cos    a ' y 
cos   sin    2 0   ax 


 
 sin  cos    0 1   a y 
 2 cos 

 2sin 
 sin    ax 
 
cos    a y 
x
 sin    ax 
 
cos   a y 
変形の組み合わせ
は行列の積で表現
される。
12
変形の組み合わせと行列の積2
y
A(ax , ay )
A '(a 'x , a ' y )
y
A ''(a ''x , a '' y )
y
O
x
x
O
 a 'x  cos
a '   
 y   sin 
 a ''x   2 0   a 'x 
 a ''   
 a ' 
0
1
y

 y
 
 sin    ax 
 
cos   a y 
 a ''x   2
 a ''   
 y  0
2

0
0   a 'x 
 
1   a ' y 
0  cos 
1   sin 
 2 cos 

 sin 
 sin    ax 
 
cos    a y 
2sin    ax 
 
cos    a y 
O
x
変換の順序と
積の順序を注意する事。
交換はできない。
13
練習
次の1連の変形を一括して表す1つの行列を求めよ。
y
y
O
2倍
x
y
45度回転
x
O
O
Y軸方向に
1/2倍
x
y
O
x
14
練習
一つ前の練習問題で求めた行列により、
次の図形がどのような図形に変換されるかをもとめよ。
y
A(0, 2)
B(1, 0) O
C (1, 0)
x
15
正則でない行列による写像
y  3x
y
y
(3,9)
(1,1)
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
x
O
O
x
y
(3, 0)
O
x
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
正則でない行列では、複数の点から一つの
点に写像される。
16
正則でない行列による図形の変形 y
y  3x
y
D'
A
B
D
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
A'
C'
B'
C
O
O
x
正則でない行列による写像を用いると、
図形は“つぶれる”。
17
練習
 x '  1 2  x 
 y '   2 4   y 
  
 
によって写像を表す。
以下の座標を持つ四角形ABCDに対して、
各頂点が上写像によって移される点の座標を
それぞれ求めよ。
また、それらの点が一直線上にあることを確かめよ。
A(1, 2)
B(1,1)
C (2,1)
D(2, 2)
18
線形写像
ここでは、行列によって表される写像の性質を調べる。
19
線形写像
定義(線形写像)
R n からn R m への写像 が次の(1)、(2)を満たすとき、
f は R から R m への線形写像であるという。
n
x
,
y

R
(1)任意の
に対して、
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
(2)任意の x  R と任意のスカラー k  R に対して、
n
f (kx)  kf ( x)
正比例の拡張概念。
正比例は、f : R  R
の線形写像である。
20
線形写像例1
f ( x)  2 x
f :RR
写像先
写像元
x
O
(1)
f ( x1  x2 )  2( x1  x2 )
 2 x1  2 x2
 f ( x1 )  f ( x2 )
(2)
y  f ( x)
O
この2つをまとめて一つの
グラフとして表すことも多
い。実は、写像はきちんと
図示できるものだけでは
ない。
f (kx1 )  2(kx1 )
 k 2 x1
 kf ( x1 )
21
線形でない写像例1
f ( x)  x2
f :RR
x
O
(1)
y  f ( x)
O
f ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) 2
 x12  2 x1 x2  x2 2
 x12  x2 2
 f ( x1 )  f ( x2 )
22
線形でない写像例2
f ( x)  x  1
f :RR
x
O
(2)
f (kx1 )   kx1   1
 kx1  1
 kx1  k
y  f ( x)
O
一つの図で、線形写像を
表したときには、原点を
通らなければならない。
 k  x1  1
 kf  x1 
23
線形写像例2
f : R2  R2 f ( x)  Ax,
y
p  ( x, y)
k 0 
A

0
k


k 倍
p '  ( x ', y ')
y
 (kx, ky )
k 倍
x
O
O
x
k倍
(1) f ( x1  x2 )  A( x1  x2 )
 Ax1  Ax2
 f ( x1 )  f ( x2 )
(2)
f (kx1 )  A(kx1 )
 kAx1
 kf  x1 
なお、写像 f : R  R
は、
( f : R  R のように)
一枚の図で表すことはできない。
よって、定義域と値域との
対応(関係)だけに注目する。
2
2
24
線形写像例3
f :R R
2
解)
2
f
 x1 
x 
 2
 2 x1 
 x  2x 
 1
2
が線形写像かどうか調べよ。
 a1 
 b1 
a    , b     R2 , k  R
 a2 
b2 
に対して、線形写像の条件を調べる。
(1)
  a1   b1  
  a1  b1   
2(a1  b1 )

f (a  b )  f         f  



a
b
a

b
(
a

b
)

2(
a

b
)
2
 1 1
2
2 
 2  2
 2
  a1  
  b1    2a1   2b1 
f (a )  f ( b)  f      f      



a
b
a

2
a
b

2
b
2
1
2
 2
 2  1
2(a1  b1 )




(
a

b
)

2(
a

b
)
 1 1
2
2 
 f (a  b)  f (a)  f (b)
25
(2)
  a1  
  ka1    2ka1 
f (ka )  f  k     f      

a
ka
ka

2
ka
2
  2
 2  1
  a1  
 2a1   2ka1 
kf (a )  kf      k 



a
a

2
a
ka

2
ka
 1
2
 1
2
 2
 f (ka )  kf (a)
よって、線形写像である。
26
線形写像例4
f : Rn  Rm
f ( x)  Ax,
行列の形(大きさ)から、
定義域の次元と、値域の次元
(の最大値)が直ちにわかる。
(1)
f ( x1  x2 )  A( x1  x2 )
 Ax1  Ax2
 f ( x1 )  f ( x2 )
(2)
f (kx1 )  A(kx1 )
 kAx1
 kf  x1 
y  Ax
 y1   a11
 
  
 ym   am1
a21
 x1 
a1n   
  x2 
 
amn   
 xn 
27
線形写像でない例3
f : R  [0,1]
f ( )  sin  ,
角度(ラジアン)から正弦(サ
(1)
イン)をもとめる関数(写像)。
f (   )  sin    
 sin  cos   cos  sin 
 sin   sin 
 f ( )  f (  )
(2) f (k )  sin(k )
 k sin 
 kf  
28
練習
次の写像が、線形写像かどうかを
答えよ。
(1)
(2)
f1
 x1  2 
 x  3
 2

 x1 
x 
 2
f1 : R2  R2
f2
f2 : R  R
3
2
 x1 
x 
 2
 x3 
 x1  x2 
x  x 
 2 3
(4)
(3)
f3
f3 : R  R
2
3
 x1 
x 
 2
 x1 
 x 
 2 
 x1  x2 
f3
f4 : R  R
2
1
 x1 
x 
 2
 e x1  x2 
29
正比例と線形写像
スカラー
m
f :RR
正比例
y  f ( x)  ax
スカラー
スカラー
m´ n
y = f ( x)  Ax
項ベクトル
n
行列
項ベクトル
f : Rn  Rm
線形写像
30
線形写像の性質1
(線形写像と零元)
線形写像 f : R  R
される。すなわち、
n
m
に対して、零元は、零元に移
0 m  f (0 n )
R
0
証明略
n
n
f
Rm
0 m  f (0 n )
31
線形写像の性質2
(線形写像と定義域の写像先)
R n から R m への線形写像 f に対して、次の集合
f ( Rn )   f ( x)  Rm | x  Rn 
定義域全体の
移動先
は R の部分空間である。
m
R
a
n
f
Rm
f (a )
32
証明
a, b  Rn , k  R に対して、線形写像の条件を調べる。
(1) a ', b '  f ( Rn )  Rm
とすると、
n
a '  f (a), b '  f (b) なる a, b  R
R
n
f
が存在する。
Rm
f ( Rn )
a
a'
b
b'
a ' b '  f (a)  f (b)  f (a  b)
33
R
f
n
a
ab
f ( Rn )
a'
a ' b '  f (a  b)
b'
b
a  b R
Rm
n
n
a
'

b
'

f
(
a

b
)

f
R
 
なので、
34
(2) a '  f (a)  f ( Rn ), a  Rn とすると、
ka '  kf (a)  f (ka) と書ける。
ka  R
n
n
k
a
'

kf
(
a
)

f
(
k
a
)

f
R
 
なので、
以上より、和の公理とスカラー倍の公理を満たすので、
R m の部分空間である。
QED
35
像(Image)
定義(像)
線形写像 f : R  R
を f の像といい、
n
m
n
に対して、部分空間 f ( R )
定義域全体の移動先
Im( f )
値域の部分集合(部分空間)
と書く。 すなわち、
Im( f )   f ( x )  R | x  R
m
R
a
n
f
n

Rm
Im( f )
f (a )
36
像の例1
f :R R
2
y
2
y
 x ' k 0   x 
 y '   0 k   y 
  
 
p  ( x, y)
k 倍
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky )
k 倍
x
O
O
平面すべてに移される。
2
x
k倍
Im( f )  R
R
2
f
R2  Im( f )
37
像の例2
f :R R
2
y
2
y  3x
y
D'
A
B
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
D
A'
C'
B'
C
O
O
x
平面のすべての点は、直線上に移される。
Im( f )  ( x, y) | y  3x
f
R
2
( x, y) | y  3x
38
練習
次の写像
f
の像
Im f
を求めよ。
f1
(1)
f1 : R  R
3
 x1 
x 
 2
 x3 
2
(2)
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3 x1  x2 
 9 x  3 x 

1
2
39
線形写像の性質3
(0元への写像元)
R n から R m への線形写像 f に対して、次の集合
f 1 (0 )   x  R n | f ( x )  0
原点に移される
移動元
は R の部分空間である。
n
R
1
m
f (0 )
n
0n
0 n  f 1 (0 m )
f
Rm
0m
40
証明
1
m
1
m
a
',
b
'

f
(
0
)

a
'

b
'

f
(
0
)
(1)
0 m  f (a ')  f (b ')  Rm とする。
を示す。
このとき、線形写像の定義より、
f (a ' b ')  f (a ')  f (b ')  0 m  0 m  0 m
 a ' b '  f 1 (0 m )
R
n
f 1 (0 m )
a'
b'
f
Rm
0m
41
(2) a '  f 1 (0 m ), k  R  ka '  f 1 (0 m ) を示す。
0 m  f (a ')  Rm とする。
このとき、線形写像の定義より、
f (ka ')  kf (a ')  k 0 m  0 m
 ka '  f 1 (0 m )
R
n
f 1 (0 m )
a'
f
Rm
0m
QED
42
核(Kernel)
定義(核)
線形写像 f : Rn  Rm に対して、部分空間 f 1 (0 m ) を
f の核といい、
Ker( f )
値域側の原点に移される移動元
と書く。
定義域の部分集合(部分空間)
Ker( f )   x  R n | f ( x )  0
R
n
f 1 (0 m )
0n
f
Rm
0m
43
核の例1
y
 x ' k 0   x 
 y '   0 k   y 
  
 
p  ( x, y)
O
k 倍
y
p '  ( x ', y ')
 (kx, ky )
k 倍
x
O
x
k倍
原点は原点からしか移されない。
Ker( f )  0
44
核の例2
y
y
y  3x
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
O
1
y x
2
O
x
直線上の点が、原点に移される。
1 

Ker( f )  ( x, y) | y   x 
2 

45
練習
次の写像 f の核 ker f を求めよ。
(1)
f1
 x1 
x 
 2
 x3 
f1 : R3  R2
(2)
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3 x1  x2 
 9 x  3 x 

1
2
46
像と核の次元
(次元定理)
n
m
f
:
R

R
線形写像
に対して次式が成り立つ。
dim Ker( f ) + dim Im( f ) = n
証明略
 x '  1 2  x 
 y '  3 6  y 
  
 
y
y
Im f : y  3x
f (l2 )
f (l1 )
l2
O
l1
1
l0  ker f : y   x
2
l1
l2
f (l0 )
f (l1 )
O
f (l2 )
x
47
例題
次の写像に関して、dim Ker( f ) + dim Im( f ) = n
を確かめよ。
f1
 x1 
x 
 2
 x3 
f1 : R3  R2
解
Im f1  R
2
より、
 x1  x3 
 x 
 2 
dimIm f1  2
 1

  
 より、 dimker f  1
ker f1  k  0  | k  R 
1
  1

  

dimIm f1  dimker f1  3  n
48
練習
次の写像に関して、dim Ker( f ) + dim Im( f ) = n
を確かめよ。
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3 x1  x2 
 9 x  3 x 

1
2
49
線形写像と行列
(線形写像と行列)
n
m
f
:
R
®
R
に対して、次式を満たす
(1) 線形写像
m ´ n 行列 A = A f が一意に決定できる。
f (x ) = A x
(2) m ´ n 行列 A
n
m
f
:
R
®
R
に対して、写像 A
を
fA (x ) = A x
で定めると、
fA
は線形写像である。
証明略
50
(線形写像の)表現行列
定義(表現行列)
線形写像 f : Rn  Rm に対して、
m  n 行列 A  Af を
f の表現行列という。
線形写像は、その表現行列がわかれば、
すべてがわかる。
51
線形写像と基底
(線形写像と基底)
n
n
m
R
f
:
R
®
R
線形写像
は、 の
標準基底 {e 1, e 2, L , e n } の像
{f (e 1 ), f (e 2 ), L , f (e n )}
が決まれば、
任意の元 a Î R n に対して、像
f (a ) Î R m
がきまる。
言い換えると、2つの線形写像 f , g が、
{e 1, e 2, L , e n } で同じ像をとれば、全く同じ写像になる。
証明略。
52
標準基底の像と、空間全体の像
y
0 
e2   
1 
1 
e1   
0 
x
0
e '2  Ae2   
1 
x
 2
e '1  Ae1   
0
 a 'x   2 0   ax 
a '   
 a 
0
1
 y
 y 
x 座標だけ
2倍
y
O
y
x 座標だけ
2倍
x
y
O
x
53
基底の像と表現行列
(基底の像と表現行列)
n
m
f
:
R
®
R
線形写像
に対して、R n の
標準基底 {e 1, e 2, L , e n } の像を、
{f (e 1 ), f (e 2 ), L , f (e n )}
とする。このとき、 f の表現行列 A は、
A = éêf (e 1 ) f (e 2 ) L
ë
f (e n )ù
ú
û
と表せる。
証明略。
54
標準基底の像と、空間全体の像
y
0 
e2   
1 
1 
e1   
0 
x
0
e '2  Ae2   
1 
x
 2
e '1  Ae1   
0
 a 'x   2 0   ax 
a '   
 a 
0
1
 y
 y 
x 座標だけ
2倍
y
O
y
x 座標だけ
2倍
x
y
O
x
55
例題
次の線形写像 f : R 2 ® R 3 に対して、
表現行列を求めよ。
f
 x1 
x 
 2
解)
 2 x1  x2 
 x 
1


 x1  x2 
写像より、
 2 x1  x2   2 1 
  x1   
 x1 



f       x1   1 0   
  x2    x  x  1 1  x2 
 1 2  

2 1 
 A  1 0 
1 1
56
f
(別解)
 x1 
x 
 2
より、
 2 x1  x2 
 x 
1


 x1  x2 
2
 1    
f  e1   f      1 
 0   1 
 
1
 0    
f  e2   f       0 
 1    1
 
A   f  e1 
2 1 
f  e2     1 0 
 1 1
57
練習
次の写像 f 表現行列を求めよ。
(1)
f1
f1 : R3  R2
 x1 
x 
 2
 x3 
(2)
 x1  x3 
 x 
 2 
f2
f2 : R  R
2
2
 x1 
x 
 2
 3 x1  x2 
 9 x  3 x 

1
2
58
表現行列と線形写像
(表現行列と線形写像)
表現行列が A = éêëa 1 a 2 L a n ùúû であるような
R n から R m への線形写像 f について次がなりたつ。
n
Im(
f
)
=
f
(
R
) = L {a 1, a 2, L , a n }
(1)
(2)
dim Im f = rank(A )
証明略
59
例題1次の写像 f に関して、表現行列を A =
とする。このとき、
(1) Im( f ) = L {a 1, a 2, L , a n }
(2)
éa a L
2
êë 1
an ù
ú
û
dim Im f = rank(A )
を確かめよ。
f
f : R3  R2
 x1 
x 
 2
 x3 
 x1  x3 
 x 
 2 
60
解)
(1)
  x1  
 x1 
x  x 


f   x2    A  x2    1 3 
x2 

 x 


 x3 
 3
より、
1 0 1
A

0 1 0 
 1  0  1 
 Im f  R  L    ,   ,   
  0  1   0  
2
(2)
dimIm f  dim R2  2
1 0 1
rankA  rank 
2

0 1 0 
dim Im f  rankA
61
合成写像と表現行列の積
2つの線形写像
f :R R , g:R R
n
m
m
l
の表現行列をそれぞれ、
A  Af , B  Bg
とすれば、 A は m  n 型で、 B は l  m 型である。
また、合成写像 g f : R  R
表現行列をC
とすれば、C は l  n
型であり、
n
l
C  BA
と表せる。
証明略
62
イメージ
 y1 
 x1 
   y  Ax  A  
 
 
 ym 
 xn 
R
n
x
 z1 
 y1 
   z  By  B  
 
 
 zl 
 ym 
f
R
m
y
g f
 z1 
 x1 
   z  BAx  BA  
 
 
 zl 
 xn 
g
R
l
z
g f ( x)  g  f ( x)
と覚えればよい。
63
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