計測工学8
最小二乗法3
1
実験式の簡便な導出方法
• 選定法、平均法については、近年の表計
算ソフト(Excel等)を用いれば最小二乗法
も容易に扱えるため、解説しない
2
対数と指数
• aをx回かけることをaxと表わし、aのx乗という
– aを底(てい)
– xを指数あるいはベキという
• 対数とはその逆演算
• 例)指数 y=ax , z=103 , u=ep
• 例)対数
ln について
語源 natural logarithm
読み方 ナチュラルログ
エルエヌ
ローン
– aを底とする対数 x=loga y
– 常用対数(10を底) log10 z = log10 103 = 3
– 自然対数(eを底) p=loge u = ln u
3
両対数目盛のグラフ
• 対数(log)スケールについて (教科書p42)
実験式: y=axn
があるとき、その両辺の常用対数をとれば
対 数: log y = log a + n log x
となり、両対数目盛のグラフ用紙にプロットすると
直線状になる(log y = 定数 + 傾き× log x)
対数の基本的性質
log(ab) = log a + log b
log(a/b) = log a – log b
log ab = b log a
4
対数目盛・対数値 演習
• 演習課題 教科書p44
表3.4の実験データか
らy=axnのaとnを最小
二乗法によって求め
る(配布したExcelシー
トを使う)
5
対数目盛・対数値 演習
① まず表4.3の実験
データのグラフ(散
布図)を作成します。
横軸x , 縦軸 yでグラ
フを作成すると、右
図のようなグラフが
出来ます。
8
7
6
5
y 4
3
2
1
0
0
50
x
100
6
② log(x) , log(y)
を計算します。(セルD3に
入力される式は
=LOG(B3)
のようになるでしょう。この
式をコピーするとよいで
しょう。)
③ 横軸 log(x),縦軸 log(y)
でグラフを作成します。
右図のようなグラフが出来
ます。
log y
対数目盛・対数値 演習
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
log x
7
④ 最小二乗法で係数を求めま
す。
グラフ上のデータ系列を右
クリックし、「近似曲線の追
加」を選びます。
・近似または回帰の種類
線形近似
・オプション
グラフに数式を表示する
として「OK」で近似曲線を追
加します。(近似曲線の追加
機能を使うということは、最
小二乗法を使ったということ
になります)
log y
対数目盛・対数値 演習
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y = 0.4883x - 0.1059
0
1
2
3
log x
8
⑤ 表示された数式
y = 0.4883x - 0.1059
は、
実験式: y=axn
のための
log y = log a + n log x
に対応します。
n=0.4883
log a = -0.1059
⑥ よって求めるaとnは
a=10-0.1059=0.7836
n=0.4883
となります。
log y
対数目盛・対数値 演習
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
y = 0.4883x - 0.1059
0
1
2
3
log x
9
対数目盛・対数値 演習
⑦ 最後に補足ですが
x, yからlog x, logyを計
算しなくても、x,yのグラ
フから直接近似式を求
めることが出来ます。
⑧ x,yのグラフで「近似曲
線の追加」を
・近似または回帰の種
類
累乗近似
・オプション
グラフに数式を表示
する
で「OK」します。
右図のような式が表示
されるはずです。
8
7
6
5
y 4
3
2
y = 0.7837x 0.4883
1
0
0
50
x
100
10
Excelで近似曲線を計算するた
めの方程式
• 線形近似
y = mx + b
m は傾き、b は y 切片
• 多項式近似
y=b+c1x+c2x2+c3x3+・・・+c6x6
b とc1~c6は定数です。
• 対数近似
y = c ln x + b
c と b は定数
• 指数近似
y = cebx
c と b は定数
• 累乗近似
y = cxb
この式の c と b は定数です。
• 移動平均
近くのn個のデータの平均をとる
ノイズの大きい信号系列のノイズ
低減(ディジタルフィルタとして
言えば、ローパスフィルタの機
能がある)
11
青字で表わした定数が最小二乗法によって決められる数値
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