2009年度 電磁波工学
7
Maxwell’s Equations
B
H



E





0

t
t
自由空間中( 0 ,  0 )

D
E
  H  i 
 i  0
t
t

 D   0E
構成関係式

B   0 H
xˆ
E  
x
Ex
xˆ
H  
x
Hx
・・・ 波源も散乱体も何もない真空空間
波源なし
X方向へ伝搬する波動を考える!!
yˆ
zˆ

  xˆ  E z  E y   yˆ  E x  E z   zˆ  E y  E x 
 y
y
z
z   z
x   x
y 

Ey
Ez
0
y,z方向に変化なし
yˆ
zˆ

  xˆ  H z  H y   yˆ  H x  H z   zˆ  H y  H x 
 y
y
z
z   z
x   x
y 

Hy
Hz

y

z
 0, i  0
0
x成分の方程式
 0   0
H x
H
E
E
,  x  0  0  0 x ,  x  0
t
t
t
t
y成分の方程式
H y
E z

  0
,
x
t
(c)
E y
H z

 0
x
t
z成分の方程式
E y
H z

  0
x
t
(e)

H y
x
 0
E z
t
(a) & (b)
(d)
(f)
(Ez, -Hy)の組と
(Ey, Hz)の組に
分離可能
2009年度 電磁波工学
式(a)および(b)より
H x E x

 0 ・・・ 時間微分が0 → 時間変化無し →
t
t
この場合x方向
時間変化する電磁界は横方向
(伝播方向に垂直)成分しかない!
時間的に変化しない定数→0である必要はない!
H y
 E z



 0  (1)
0

x
t

 H y   E z  0  (2)
0
 x
t
式(c)及び(f)より
 Ez 
  V,
E 
 y
I
 V


 0  (1)"
0
 x
t

 V   I  0  (2)"
0
 x
t
 Hy 

  I
H
 z 
式(d)及び(e)より
2H y
 2 Ez
(1)   0の時間微分   0
  0 0
 0  (3)
xt
t 2
2H y
 2 Ez
(2)の x微分 

 0  (4)
0
x 2
tx
I
2H y
2H y
式 (4)  式 (3) 2   0  0
 0  (5)
x
t 2
2I
2I 2I 1 2I
 2   0  0 2  2  2 2  0  (5)"  H y  Iとして
x
t
x c t
H
電磁界 E → 電圧; V
H
電流; I
0, 0 → キャパシタ; C
インダクタ; L
→電気回路の回路方程式と同形
同様にしてEzについて解くと,
波動方程式 式(5)”および(6)”の解は,xとtで2回微分可能な関数Fを
2
2
 Ez
 Ez
  0 0
 0  (6)
用いて次のようにかける。
2
x
t 2
Ez  Vとして
 2V
 2V  2V 1  2V
V E V0 
V
  0  0 2  2  2 2  0  (6)"
      F x  ct   c  1
(7)
2
x
t
x
c t


I
I
0 0
   0 
波動方程式
8
2階微分方程式の解
2009年度 電磁波工学
9
複数の解がある場合の一般解はその線形和
V,Iについて,F x  ct  の係数をV+およびI+,F x  ct  の係数をV-およびI-と置きそれぞれの
線形和で次のように表す。
V  V F x  ct   V F x  ct , I  I  F x  ct   I  F x  ct  (8)
I
V
  0
の両辺を計算するために,x-ct = w-,そして,x+ct = w+と置く。
x
t
V
F x  ct 
F x  ct 
F w 
F w 
変数変換のために微係数を
 V
 V
 cV
 cV
 (9)
計算すると(xは定数)
t
t
t
w
w
式(2)”
ct  w ,  c t  w
 F w 
F w  

 cV
 V

w

w




I
F x  ct 
F x  ct 
F w 
F w 
 I
 I
 I
 I
 (10)
x
x
x
w
w
1 F x 1ct  1F (w )
1
 c
,  c V , I 
t
w t z w
0は+x方向に進む波には
正の値をとり-x方向に進む
V  IR(オームの法則)
1
1H 1 E1
よって,式(2)”より

,

波には負の符号をとる。
1

x

w

x
w


I

V
電界磁界が対を形成す
V 
F w 
F w   I
F w 
F w 
 
 0
    0cV
  0cVR
 I
 I
 (11) る場合,その比を表し
k

y
x
t

w
w 
x
w
w
となり,同じ微分の前の係数を比較すれば次式が得られる。
I    0cV , I    0cV  (12)
ここで,  c  
0
0
0
1


0 0
 0 0
1
c  1
 0 0
0  120 
ている。
伝搬方向k,電界E,磁界Hは,
F xI ct   F (w )V , I 
R
V
互いに直交している!
電界磁界の関係になおすと・・・
E  0H  kˆ
[補足-5]へ
E
Ey
V の
V
V
E
V
E
y 0を真空の特性インピーダンス(波動インピーダンス)あるいは界インピーダンスと呼ぶ。

  0 ( x方向),  
  0 ( x方向),   z   0 ( x方向),   z   0 ( x方向)
I H z
I H z
I  H y
I  H y
面状に一様な電磁界が一群となって伝搬する波(p.22)
2009年度 電磁波工学
10
Pointing Vector S  E  H  (Ey H z  Ez H y )x  (Ez Hxz  Ex H z )y  (Ex H y  Ey H x )z
一般の媒質中で,平面波では,電磁波の進む方向と電磁界ベクトルの回転 E  Η の方向は一致する。
S x  E y H z について,xで偏微分しMaxwellの方程式の関係を用いると以下のようになる。
f x   E y , g x   H z
E y
H z
S x E y
H z
w

 (13
 0Ey

H z  Ey

)z
   0
0H
t
t
x
x
x
t
2 
1
1
w   0 E y2   0 H z2
2
2
S  E H
E y
 
 
E y 1  E y2
H z 1  H z2
Hz 2 
,2 Ey

1   H

2 tE y 
t
2 t
zt
t
 0
 
t


を用いる。
 1
1
2
2
静電磁界(Static Electromagnetic
 Field)におけるエネルギー密度
 0 H z   0 E y 
t  2
2

ポインティングベクトル ・・・ 方向を含んだ単位面積あたりの電力流密度
H z

  0
x 課 題 t
(e)

Hf (z x) g ( x)Ey g ( x) f ( x)  f ( x) g ( x)
(d) x

 0
x
x
x
t
1.教科書の式(1.28)のiが空間に供給された外部電流iextと伝導電流sE
の和とする。電磁界E及びHはiextのみで励振されるものとした場合に,教
科書p.24の式(2.23)を導出せよ。
2. また,Sを任意ベクトルAを用いた(S+∇×A)に置き換えた場合,同式
(2.23)はどの様になるか答えよ。
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