工学系12大学大学院単位互換 e-Learning科目
磁気光学入門第4回 電磁気学に基づく磁気光学の理論(2)
マクスウェルの方程式
佐藤勝昭
東京農工大学
復習コーナー
第3回に学んだこと
 電磁気学に基づく光と磁気の理論(1)
 円偏光と磁気光学効果について学びました。
 光と物質の結びつきを誘電率テンソルで表さ
れることを学びました。
第4回に学ぶこと
今回は光と磁気第3章3.3と3.4に沿ってお話しします。
 光の伝搬とマクスウェルの方程式



ファラデー配置の場合の固有値と固有状態


2つの固有値と対応する固有状態(円偏光)
ファラデー効果の現象論


固有解:波動解、固有値:複素屈折率
ファラデー効果と誘電率テンソル
フォークト配置の場合の固有値と固有状態

コットンムートン効果:磁気誘起の複屈折
マクスウェルの方程式

光の電界ベクトルをE 、電束密度ベクトルをD 、磁界
ベクトルをH、磁束密度ベクトルをB、電流をJとすると、
次の関係が成立します。
B
rot E  
t
D
rot H 
J
t
(3.17)
(SI単位系)
マクスウェル方程式をEとHで表す

簡単のため, J=0と置きます。
[つまり、伝導電流を分極電流(変位電流)の中に繰り込みます]

BとH、DとEの関係式が得られます。
B  μ0 H
D~
εε E
誘電率テンソル
0

(3.17)に代入すると次の関係式が得られます。
H
t
E
~
rot H  ε  0
t
rot E    0
(3.18)
式(3.18)においては、微分方程式が2個、
変数もEとHの2個ですから、解を求める
ことが出来ます。
マクスウェル方程式を解く:2つの方法
1. 1つは、第2式をtで1回偏微分し ∂/∂tとrotの順番を
入れ替え、 ∂H/∂tに第1式を代入します。この後、
exp(-iωt+iKr)の形の波動式を代入し、Eについて
の2次方程式を得ます。
2. もう1つは、EとHに先にexp(-iωt+iKr)の形の波動
関数を代入し、通常の連立1次方程式にします。こ
こでHを消去するとEについての2次方程式を得ま
す。(教科書「光と磁気」では後のやり方を使って
います。)
マクスウェル方程式を解く [1]
H
rot E    0
t
E
~
rot H  ε  0
t

(3.18)
第2式をtで1回偏微分し ∂/∂tとrotの順番を入れ替え、
∂H/∂tに第1式を代入します。この後、 exp(-iωt+iKr)
の形の波動式を代入し、Eについての2次方程式を
得ます。
マクスウェル方程式を解く [1]-1

(3.18)の第2式の両辺をtで偏微分します。
2


E
~
rot H  ε  0 2
t
t

∂/∂tとrotの順番を入れ替えます。

ここに(3.18)の第1式
H ~  2 E
rot
 ε0 2
t
t
H
1
  rot E
t
0
を代入します。
マクスウェル方程式を解く [1]-2
これより
2

E
~
rot(- rot E )  ε  0 2
0
t
1
が得られ、
2
~
 E
ε  E
~
rot rot E   ε  0 0 2   2 2 となります。
t
c t
1
ここで、 0  0  2 という関係を用いました。
c
~
ε  2 E をマクスウェルの方程式と
rot rot E   2 2 いうことがあります。
c t
2
マクスウェル方程式を解く [1]-3

ここで、rot、grad、divの間に成り立つ次の公式を用い
ます。
rot rot E  grad divE  2 E
この結果Eについての2階の微分方程式が得られます。
2
1

E
2
~
grad divE   E   ε 2 2
c t
 この式に次の波動の式 E  E 0 exp(it )  exp(iK  r )

を代入するとEについての方程式(3.20)が得られます。
2
2~
(3.20)
( E  K ) K  K E  ( / c)  E  0
自習課題(1) [提出の必要はありません]
始めにrot Aにrotを及ぼすとどうなるか確かめてくださ
い。(物理数学などで学んだはずです)
rot rot A=∇×(∇×A)=grad(divA)-∇2A
 次に、

2
1

E
2
~
grad divE   E   ε 2 2
c t
に波動の式 E  E 0 exp(it )  exp(iK  r ) を代入し
( E  K ) K  K E  ( / c)  E  0 が成立することを確
かめてください。
2
2~
マクスウェル方程式を解く [2]
H
rot E    0
t
E
~
rot H  ε  0
t

(3.18)
EとHに、exp(-iωt+iKr)の形の波動関数を代入
し、通常の連立1次方程式にします。ここでHを
消去するとEについての2次方程式を得ます。
マクスウェル方程式を解く [2]-1

ここでは、微分演算を使わない方法を紹介します。 EおよびHにつ
いての波動の式は、波数ベクトルKとして
E  E 0 exp(it )  exp(iK  r )
H  H 0 exp(it )  exp(iK  r )
(3.19)
のように表すことができます。ここにE0,H0は時間や距離に依
存しない定数ベクトルです。
 式(3.19)をマクスウェルの方程式(3.18)に代入すると、
K  E  ωμ0 H
K  H  ω~
ε ε0 E
となります。
マクスウェル方程式を解く [2]-2

両式からHを消去し、
KH  K
1
0
(K  E) 
1
0
K  K  E  ~ 0 E
固有方程式として
( E  K ) K  K E  ( / c) 2 ~E  0
2
が得られます。
ここにKは波数ベクトルです。
(3.20)
自習課題(2)[提出の必要はありません]

式(3.19)を式(3.18)に代入して式(3.20)を導いてくださ
い。ここで、ベクトル積の公式
A  ( B  C )  (C  A) B  ( B  A)C
を利用してください。
固有方程式を解く [1]

いずれの手続きでも式(3.20)が導かれました。
2
( E  K)K  K E  ( / c) 2 ~
ε E  0 (3.20)
それでは(3.20)を解いてKの固有値と対応する電界ベクトルEの
固有関数を求めましょう。
ˆ  n  i
 ここで複素屈折率、すなわち、 N
を導入します。ここにnは屈折率、は消光係数です。
実数部は空間的な波の波長を与えます
 媒質中において波数Kは
[注]
K  Nˆ / c  n / c  i / c
虚数部は波の減衰を与えます。
[注] 波数Kは2π/λ’となる。ここに’は媒質中での波長で、媒質中での光速をc’とす
ると/c’と表される。媒質中での光速c’は屈折率をnとするとc/nで与えられるか
ら、K=n/cである。ここで屈折率を拡張して複素屈折率N、すなわちn+iを導入
すると、上の式となる。
複素屈折率n+iκ






電磁波の空間変化をexp(iKz)で表します。
K=N/c= (n+i)/cとします。
exp(iKz)=exp(inz/c)exp(- z/c)と書けます。
この波動は、振幅が距離zとともに振動しながら減衰
する波を表します。
光の強度の減衰を表すときには| exp(iKz)|2 を考えま
す。 | exp(iKz)|2 =exp(-2z/c)
これを吸収係数 を用いてexp(-z)に等しいと置くと、
= 2/c=4/と表すことができます。
固有方程式を解く [2]
波数ベクトルの向きに平行で長さが N̂ であるような屈
折率ベクトル N̂ を用いると、(3.19)の第1式は
(3.21)
E  E0 exp{i(t  Nˆ  r / c)}
となり、固有方程式(3.20)は
Nˆ 2 E  ( E  Nˆ ) Nˆ  ~E  0
(3.22)
によって記述できます。
 以下では、第2回に述べた2つの配置(ファラデー配置
とフォークト配置)について固有値を求めます。

ファラデー配置の場合

磁化がz軸方向にあるとして、z軸に平行に進む波(N //z)
に対して式(3.21)は
E  E0 exp{i(t  Nˆ z / c)}

と表されます。固有方程式(3.22)は
 Nˆ 2   xx
  xy
0  E x 

 
2
  xy
Nˆ   xx
0  E y   0

 
0
0


zz  E z 

(3.23)
(3.24)
と書けます。この式は下に2式に分けられます。
 Nˆ 2   xx

  xy

  xy  Ex 
   0, (3.24' )   zz Ez  0 (3.24" )
2
Nˆ   xx  E y 
永年方程式

式(3.24’)がEの如何によらず成立するには、
Nˆ 2   xx
 xy

  xy
Nˆ 2   xx
0
これより、N2の固有値として2個の値
Nˆ 2   xx  i xy

(3.25)
N̂
  xx
2

  xx
2

2
2
  xy
0
 2
2
  xy
 i xy
(3.26)
を得られます。これらの固有値に対応する固有関数は、
E0
Nˆ 
E 
(i  ij ) exp{i (t 
z)
2
c

N̂
2
(3.27)
E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応します。
E+、E-は、それぞれ、右円偏光、左円偏光に対応
E0
i  i j exp it 
E 
2
実数部のみを考えると
E0
cost i  sint j
ReE  
2


x軸
cosωt
y軸
sinωt
図の出典:佐藤勝昭「光と磁気」
直交する2つの直線偏光
の位相が90度異なってい
るときに合成したベクトル
の軌跡は円になります。
x軸にcost、y軸にsin t
を入力したときのオシロス
コープのリサージュ波形を
思い出してください。
提出課題

Z軸に平行に進む波に対して固有方程式(3.22)は(3.24)になる
こと、および、Eの如何に関わらず成立するには(3.25)が成立す
ること、固有値が(3.26)で与えられることを導いてください。
 Nˆ 2   xx

  xy

0

  xy
Nˆ 2   xx
0
Nˆ 2   xx
 xy
0  E x 
 
0  E y   0

  zz  E z 
  xy
Nˆ   xx
2
0
2
ˆ
N    xx  i xy
(3.24)
(3.25)
(3.26)
ここまでのまとめ

光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると,磁
化された等方性物質の複素屈折率は
2
ˆ
N    xx  i xy
で与えられる2つの固有値をとり,それぞれが右
円偏光および左円偏光に対応する.
(ここに,εxxは誘電テンソルの対角成分,εxyは非
対角成分である.)
 もしεxyが0であれば,円偏光は固有関数ではなく,
磁気光学効果は生じない.
ファラデー効果の現象論
前回に述べたようにテンソルの非対角成分が存在す
ると、物質の左右円偏光に対する応答の違いを生じ、
その結果ファラデー効果が生じます。ファラデー効果
の回転角、楕円率などが誘電テンソルεの成分を使っ
てどのように書き表せるかを述べます。
 結論から先に述べると、ファラデー回転角φF、ファラ
デー楕円率ηFはεxyの実数部と虚数部との一次結合で
与えられることが導かれます。


まず,右円偏光および左円偏光に対する屈折率n+とnー,
消光係数κ+とκ- およびεxyとの関係からスタートします。
左右円偏光に対する光学定数の差と誘電
率テンソルの成分の関係

すでに述べたように、磁化と平行に進む光の複素屈折率の
固有値は
Nˆ 2   xx  i xy
(3.26)
と書けますが、複号を別々に書くと、
N̂  n  i  N̂  n  i  となります。
ここで、
n  n
  
n  n  n ;        ; n 
; 
2
2
という置き換えをすると、
n  n  n / 2; n  n  n / 2
      / 2;       / 2
Nˆ   n  i   (n  n / 2)  i(   / 2)
 (n  i )  (n  i ) / 2
となるので、
左右円偏光に対する光学定数の差ΔNと
誘電率テンソルの成分の関係(1)
n 
 
1
1
Nˆ   n 
 i  

(
n

i

)

(

n

i


)

N

N

2
2 
2
2

ここに

N  N  N  n  i
(3.38)
このN±を(3.26)に代入して


2
2
ˆ
ˆ
ˆ
N   N  N / 2  Nˆ 2  Nˆ Nˆ   xx  i xy
 xx  n 2   2 ;  xx  2n
 xy  n  n  xy    nn
(3.39)
(3.26’)
(3.37)
自習課題(3)[提出の必要はありません]

式(3.39)の関係式を導いてみよう。
ヒント
式(3.26)の第1式
N 2   xx  i xy に
N+=n++i+、xx=’xx+i”xx , xy=’xy+i”xy を代入すると
(n++i+)2=’xx+i”xx+i(’xy+i”xy)が得られる。
これに、n+=n+n/2, +=+ /2を代入し、
nおよびについて1次の項のみを考えると、
n 2   2  nn    i(2n  n  n)   xx   xy  i( xx   xy )
同様に
N 2   xx  i xy
について、
n 2   2  nn    i(2n  n  n)   xx   xy  i( xx   xy )
これらについて、実数部同士、虚数部同士を比較することによって式(3.39)が得られる。
左右円偏光に対する光学定数の差ΔNと
誘電率テンソルの成分の関係(1)


ΔnとΔκをεxyを使って表
すと次式になります。
 xy  n xy
n xy   xy
n  2
;  
2
n 
n2   2
ΔNに書き直すと
Nˆ  n  i 
i(n  i )( xy  i xy )
n 
2
2

i xy
 xx
(3.40)
(3.41)
xy
こんな導き方もできます。 ˆ
ˆ
ˆ
N  N   N    x x  i x y   x x  i x y  i
 xx
ファラデー効果をn, で表す(1)
図3.4に示すようにxz面を振動面とする直線偏光Einが物質に入
射したとします。ここに光の進行方向はz軸の向きである。x軸の
単位ベクトルをi,y軸の単位ベクトルをjとすると入射光の電界
ベクトルは次式で与えられます。
Ein=E0exp(-iωt)i
(3.42)
 ここで、右円偏光単位ベクトルrと、左円
偏光単位ベクトルlを次式のように定義します。
r=(i+ij)/21/2, l=(i-ij)/21/2
(3.43)
 式(3.42)をrとl を使って表すと、
Ein=E0exp(-iωt)(r+l ) (3.44)
 のように表されます。

図の出典:佐藤勝昭「光と磁気」
ファラデー効果をn, で表す(2)

物質中の複素屈折率は右円偏光に対してはN+、左円
偏光に対してはN-である。表面をz=0として物質中の
z=の位置では,位相がそれぞれ iN+  /c および
iN-  /c だけ進むので、


E0
exp(i t ) exp(iNˆ  / c)r  exp(iNˆ  / c)l
2


E0
Nˆ 
Nˆ
Nˆ

exp i (t   )exp(i
 )r  exp(i
 )l 
c 
2c
2c
2


E out 
(3.45)
と表されます。第2式で は
N   N  N / 2, N   N  N / 2 と置き換えました。
ファラデー効果をn, で表す(3)
ここで、ふたたび、もとのxy座標系に戻すと

E out
E0
N 


exp  i (t   ) 
2
c



N
N 
N
N  

exp(
i


)

exp(

i


)
i

i
exp(
i


)

exp(

i

 ) j 



2c
2c
2c
2c


 

さらに式(3.38)を使って書き直すと
(3.45’)
N 

E out  E 0 exp  i (t   ) 
c 


n

n   n

n  
 )i
 sin(
 )i  sin(
 )i
 cos(
 ) j 
cos(
2
c
2
c
2
c
2
c
2
c
2
c
 
 

(3.46)
ファラデー効果をn, で表す(4)

図3.5に示すように、座標系を
z軸の回りに=-(Δn /2c)だ
け回転した座標系をx’y’zで表し
その単位ベクトルをi’,j’,k’とす
ると、座標変換の式は
 i '   cos
  
 j '     sin 
 k '  0
  
sin 
cos
0
0  i 
 
0  j 
1  k 
(3.47)
で表せる。これを使ってEoutは次のように書き直せます。
Eout
N 



 E0 exp i (t   ) i' i(
 ) j' 
c 
2c


(3.48)
ファラデー効果をn, で表す(5)

もし,磁気円二色性がないとすると=0であるから、
Eoutはi‘成分のみとなり,x’軸方向の直線偏光であるこ
とがわかります。入射直線偏光はx軸からx’軸へとだ
け回転したのである。これがファラデー回転角Fであ
る。すなわち,ファラデー回転角は
 n
(3.49)
F  

2c
0のときは、式(3.48)はx’軸を長軸、y’軸を短軸とす
る楕円偏光になります。この楕円偏光の楕円率ηFは短
軸と長軸の振幅の比で与えられ

(3.51)
F  

と表されます。
2c
ファラデー効果をxx, xyで表す(1)

 F   F  i F
いま、複素ファラデー回転角
を
によって定義すると

Nˆ
ΦF   n  i   

2c
2c
(3.52)
(3.53)
i xy
ˆ
を代入すると
と書けます。この式に式(3.41) N 
 xx
 i xy
F   

(3.54)
2c 
xx
となり、複素ファラデー回転角は比誘電率の非対角成
分xyに比例し、対角成分xxの平方根に反比例するこ
とがわかります。
ファラデー効果をxx, xyで表す(2)

式(3.54)を実数部と虚数部に分けて記述すると
  xy  n xy
F    2

2
2c n  
 n xy   xy
F    2

2
2c n  
(3.55)
このように,ファラデー回転角と楕円率は誘電テンソル
の非対角成分の実数部と虚数部の線形結合で表され
ることがわかりました。
ファラデー効果をxx, xyで表す(3)

通常ファラデー効果は、透明な領域で測定されるので,式
(3.55)において=0と置くと,
 xy
F 

となって、回転角がxyの虚数部
2cn
(3.57)
に、楕円率がxyの実数部に対
 xy
応することがわか りました。
F  

2cn
磁化Mによる展開式を代入すると
F  
i


 xy(1) M
 xx( 0)  12  xx( 2) M 2
となり、磁気光学効果はMの小さいときほぼMに比例します。
フォークト配置の磁気光学

磁化Mに垂直なx軸に平行に進む波(N//x)に対しては、
波動関数は、
E  E0 exp{i (t  Nx / c)} (3.29)

と表されます。固有方程式は
   xx

  xy
 0


  xy
 E x 
 
0
 E y   0
N 2   zz  E z 
0
N 2   xx
0
(3.30)
となるので、永年方程式は次の式で表されます。
  xx
  xy
0
 xy
N 2   xx
0
0
0
N 2   zz
0
(3.31)
フォークト配置の場合の固有値

N2の固有値として

2
ˆ
N1   xx 
2
xy
 xx
および
2
ˆ
N 2   zz
という2つの解を得ます。 対応する固有関数は

 Nˆ 1 
E1  A exp i  t 
x  xy i   xx j 
c 


(3.33)

 Nˆ 2 
E 2  B exp i  t 
x k
c 


となり、磁気複屈折を生じます。
コットンムートン効果





コットンムートン効果は光の進行方向と磁界とが垂直な場合
(フォークト配置)の磁気光学効果です.
この効果は磁化Mの偶数次の効果であって磁界の向きに依
存しません.
いま,磁化Mが存在するとMの方向に一軸異方性が誘起さ
れ, M方向に振動する直線偏光(常光線)とMに垂直の方向
に振動する光(異常光線)とに対して屈折率の差が生じて,
複屈折を起こす現象です.
磁化のある場合の誘電テンソルの対角成分εxx(M)とεzz(M)が
一般的には等しくないことから生じます.εテンソルの対角成
分はその対称性からMについて偶数次でなければならない
ので,複屈折によって生じる光学的遅延もMの偶数次となり
ます.
コットンムートン効果は導波路型光アイソレータにおいて,
モード変換部として用いられます.
今回学んだこと
光の伝搬をマクスウェルの方程式で記述すると,磁化された等方
性物質の屈折率NはN2=xxixyで与えられる2つの固有値をとり,
それぞれが右円偏光および左円偏光に対応します.(ここに,εxx
は誘電率テンソルの対角成分,εxyは非対角成分です.)もし,εxy
が0であれば,円偏光は固有関数ではなく,磁気光学効果は生じ
ません。
 長さの磁性体におけるファラデー回転角Fおよびファラデー楕円
率Fは,左右円偏光に対する屈折率の差Δnおよび消光係数の差
Δκを用いて 表すことができます。
 さらに、ファラデー回転角と楕円率は誘電率テンソルの非対角成
分の実数部と虚数部の線形結合で表されることがわかりました。
 また、磁化が光の進行方向に対して垂直なフォークト配置ではコッ
トンムートン効果という磁気複屈折現象が生じることを学びました。

課題

Z軸に平行に進む波に対して固有方程式(3.22)は(3.24)になる
こと、および、Eの如何に関わらず成立するには(3.25)が成立す
ること、固有値が(3.26)で与えられることを導いてください。
 Nˆ 2   xx

  xy

0

  xy
Nˆ 2   xx
0
Nˆ 2   xx
 xy
0  E x 
 
0  E y   0

  zz  E z 
  xy
Nˆ   xx
2
0
2
ˆ
N    xx  i xy
(3.24)
(3.25)
(3.26)
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N - 東京農工大学